Диссертация (Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками)

Институт проблем механики РАНна правах рукописиЛожников Дмитрий АндреевичАСИМПТОТИКИ В ЗАДАЧАХ О ЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ НАМЕЛКОЙ ВОДЕ, ПОРОЖДЕННЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫМИИСТОЧНИКАМИСпециальность:01.01.03 “Математическая физика”ДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наукпрофессор С.Ю. ДоброхотовМосква, 2014Оглавление1 Введение41.1 Характеристика работы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2 Краткое содержание диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2.1Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .1.2.399Асимптотическое решение в окрестности фокальных точекфронта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.2.4Асимптотическое решение при малых временах . . . . . .191.2.5Распространение длинных волн над подводными банкамии хребтами . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .201.3 Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231.4 Публикации автора по теме диссертации . . . . . . . . . . . . . .232 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта242.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта 252.3 Алгоритм построения возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности регулярных точек фронта . . .

. . . . . . . .302.4 Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярныхточек фронта с численным моделированием волн цунами . . . . .23332.5 Алгоритм вычисления суммы функций, построенных на сетках сне совпадающими узлами . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .363 Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фронта393.1 Определение асимптотического решения в окрестности фокальных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393.2 Примеры волновых фронтов и поведение основных величин вдольфронта .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423.3 Склейка асимптотики для окрестности регулярных точек фронтас асимптотикой для окрестности фокальных точек . . . . . . . . .513.4 Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .564 Асимптотическое решение при малых временах655 Распространение длинных волн над подводными банками и хребтами705.1 Образование фокальных точек и волн над круглыми банками . .735.2 Фокальные точки и волны над вытянутыми банками: появлениепространственно-временных каустик . . . . . . . . . . . . . .

. . .755.3 Поведение возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фронтов с каскадом пространственно-временных каустик:подводный хребет как генератор захваченных волн . . . . . . . .785.4 Волны над кривыми хребтами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .805.5 Алгоритм построения каустик . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .866 Заключение89Список литературы90Глава 1Введение1.1Характеристика работыАктуальность темы. Диссертация посвящена исследованию асимптотическихрешений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменными коэффициентами и линеаризованной системы уравнений мелкой воды с локализованными начальными данными. Рассматриваемые уравнения относятся к классу линейных гиперболических систем с переменными коэффициентами.

Длясистем такого типа основная масса публикаций в математической литературебыла посвящена асимптотикам решений, описывающих распространение сингулярностей (типа δ -функции) и часто называемых “разложениями по гладкости” (Д. Людвиг, В.М. Бабич, Л. Хермандер, Й. Дюйстермаат, Ю.В. Егоров, В.Гийемин, Ш. Стернберг и др. [1, 2, 3, 4]). Асимптотиками, которые описывают быстроосциллирующие решения занимались В.П. Маслов и М.В. Федорюк[5, 6, 7, 8, 9, 10, 11], В.М.

Бабич, В.С. Булдырев и Л.А.Молотков [12, 13, 14, 15],Ю.А. Кравцов, Б.Р. Вайнберг [16], Л.М. Бреховских [17], А. Майда, В.Г. Данилов, Ле Ву Ань [18, 19, 20], В.В. Кучеренко [21], Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов [22], С.Ю. Доброхотов [23], [24], [25], [26], [27]. Публикаций, посвященныхасимптотике решения задачи Коши с локализованными начальными даннымидля линейных гиперболических систем до сравнительно недавнего времени в45математической литературе было существенно меньше.

Для гиперболическихсистем с постоянными коэффициентами асимптотикам таких решений посвящена статья В.П. Маслова и М.В. Федорюка [11]. На гиперболические системы с переменными коэффициентами результаты этой статьи были обобщеныв [28]. Асимптотические формулы, полученные в этих работах, были не оченьэффективными, как с теоретической, так и с прикладной точек зрения.

Подходк получению максимально эффективных формул для таких задач и основанный на обобщении канонического оператора Маслова был предложен в работах[29], [30]. Затем в разных ситуациях он был реализован в цикле работ С.Ю.Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тироцци, С.Я.

Секерж-Зеньковича (отметим [31, 32, 33, 34, 35]). Тем не менее, реализация этого подхода в конкретныхситуациях оставляет много возможностей и вопросов о способе выбора асимптотического представления в окрестности фокальных точек (не гладких точекфронтов), точек самопересечения фронтов, представления решения при малыхвременах, ситуаций, когда фронты имеют достаточно сложный вид и т.д. Такие вопросы возникают при рассмотрении как общих гиперболических систем спеременными коэффициентами, так и при изучении конкретных гиперболических систем, связанных с приложениями.

Отметим, что рассмотренные задачидля двумерного волнового уравнения с переменной скоростью, а также для линеаризованной системы уравнений мелкой воды возникают, в частности, приописании распространения длинных волн в океане (например, волн цунами).Исследования таких волн проводятся как численными, так и аналитическимиметодами. Литература, посвященная проблеме цунами, очень обширна.

Отметим работы Ю.И. Шокина, Л.Б. Чубарова, А.Г. Марчука, А.С. Алексеева, В.К.Гусякова, К.В. Симонова, З.И. Федотовой и соавторов [36], [37], [38], [39], [40],[41], [42], [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50], [51], [52], [53], [54], а также обзорные работы [55], [56], [57], [58], [59], [60], [61].

Также отметим монографиюЕ.Н. Пелиновского ”Гидродинамика волн цунами”, содержащую аналитическиеподходы, и недавние работы Г.М. Кобелькова и соавтров [62], [63], [64]. Одна-6ко, несмотря на большое число публикаций, здесь по-прежнему остается ещемного интересных открытых вопросов, связанных, в том числе, с аналитическим описанием влияния донных неоднородностей на распространение волн ивизуализацией соответствующих аналитических формул.Такого сорта задачи, разумеется, возникают и для других гиперболическихсистем.

Напомним, что более тридцати лет назад в монографиях В.П. Масловабыла высказана идея, что сочетание асимптотических методов с компьютерным моделированием должно позволить сильно продвинуться в решении задачматематической физики, особенно задач, связанных с приложениями. Эта возможность появилась в последние десятилетия благодаря успехам вычислительной техники и бурному развитию программирования в области визуализациирезультатов математического моделирования. По-существу в диссертации соображение В.П. Маслова реализовано в задачах о распространении длинных волн(порожденных локализованными источниками) в бассейнах с неровным дном,включая волны над подводными банками и хребтами.Цель работы. Основная цель работы — построение, исследование и визуализация асимптотических решений задачи Коши для двумерного волновогоуравнения с переменной скоростью и линеаризованной системы уравнений мелкой воды в бассейне с переменным, в том числе и с реальным дном, с учетомимеющихся фокальных точек и пространственно-временных каустик, возникающих при прохождении волн, порожденных локализованными источниками,над подводными неоднородностями, типа донных хребтов, а также изучениеповедения асимптотического решения при малых временах.Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми.Основной результат второй главы диссертации — алгоритм нахождения фокальных точек на фронте, построение асимптотического решения в окрестноститочек самопересечения фронта, построение решения в окрестности двух и бо-7лее участков фронта, которые проходят близко друг от друга, а также сделаносравнение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронтас решением, полученным при численном решении конечно-разностных аналогов уравнений мелкой воды. Показано, что, в частности, в окрестности точки самопересечения фронта, сечения асимптотического и численного решенияпрактически совпадают.В третьей главе построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек: исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальных точек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта, исследовано качество склейки в зависимости от выбора локальной системы координат в окрестности фокальной точки и в зависимости отстепени разложения по степеням малого параметра асимптотического решенияв окрестности фокальной точки.В четвертой главе построено и исследовано асимптотическое решение прималых временах.В пятой главе подробно рассмотрено распространение длинных волн надвытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводнымихребтами могут образовываться захваченные волны и пространственно-временныекаустики.Все алгоритмы запрограммированы на языке C/C++ и в диссертации снабжены подробными иллюстрациями и примерами.Методика исследования основана на использовании квазиклассическихасимптотик в виде модифицированного канонического оператора Маслова дляпостроения асимптотических решений в задачах с локализованными начальными условиями и их последующей компьютерной визуализацией.

Обычно квазиклассические асимптотики (и лучевые разложения) используются для построения осциллирующих решений. При этом, канонический оператор Маслова позволяет учитывать явления, связанные с наличием фокальных точек и каустик.8Для решения задач с локализованными начальными условиями прямое применение этих методов не годится, поскольку решение определяется не осциллирующими, а быстроубывающими функциями, локализованными в окрестностифронтов.