Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 9

соответствующего распределенного узла) [5]. Казалось вполне правдоподобным, что могут существовать и другие (не сводящиеся к спиральности) инварианты на пространствеBexact (Q) точных несжимаемых течений, которые бы отвечали (например, через процедуруусреднения) каким-либо инвариантам узлов, отличным от коэффициента зацепления. Однако автору удалось доказать, что любой топологический инвариант несжимаемых течений,имеющий регулярную и непрерывную относительно C 1 -топологии производную, локально (ав некоторых случаях и глобально) на Bexact (Q) выражается через функционал спиральности(теоремы 5.2.7, 5.2.10 и 5.3.9).В главе 5 изучаются дифференцируемые D 0 (Q)–инвариантные функционалы на пространfω (D2 ).стве Bexact (Q), а также дифференцируемые инварианты сопряженности на группе DВ ней получены следующие основные результаты [138, 139]:fω (D2 )• доказано, что любой инвариант сопряженности на универсальной накрывающей D2группы Dω (D ) симплектоморфизмов круга, имеющий регулярную и непрерывную относительно C 1 -топологии производную, выражается через инвариант Калаби (теоремы5.2.7 и 5.2.10);• доказано, что любой дифференцируемый D 0 (Q)–инвариантный функционал на пространстве Bexact (Q) точных несжимаемых течений без нулей на компактном связномориентируемом 3-мерном многообразии Q, имеющий регулярную и непрерывную относительно C 1 -топологии производную, локально на Bexact (Q) (а в случае Q = M × S 1 с∂Q 6= ∅ — глобально на множестве 2–форм B ∈ Bexact (Q), допускающих секущую поверхность, изотопную M × {∗}) выражается через функционал спиральности (теорема5.3.9).ВВЕДЕНИЕ27Сформулируем эти результаты в виде одной теоремы.fω (D2 ) → R — инвариант сопряженности наТеорема (5.1.1, [138, 139]).

(A) Пусть I : Dfω (D2 ), дифференцируемый на C 1 -открытом подмножестве U ⊂ Dfω (D2 ) и имегруппе Dющий регулярную и непрерывную производную относительно C 1 -топологии на U . Тогдавсюду в U этот инвариант выражается через инвариант Калаби, т.е. имеет вид I|U =h ◦ Cal|U для некоторой функции h : R → R.(B) Пусть Q — компактное гладкое 3-мерное многообразие, и κ ⊥ ⊆ H1 (∂Q; Q) — такоеподпространство, что H1 (∂Q; Q) = κ ⊥ ⊕ ker (j∂Q )∗ и κ ⊥ является хорошим (определение5.3.1 (B)).

Пусть функционал I : Bexact (Q) → R на пространстве Bexact (Q) всех точныхнесжимаемых течений без нулей на Q является D 0 (Q)–инвариантным, дифференцируем(по отношению к Aκ⊥ -калибровке) на C 1 –открытом подмножестве U ⊆ Bexact (Q) и имеет регулярную и непрерывную относительно C 1 –топологии производную на U . Тогда C 1 локально на U (т.е. в некоторой достаточно малой C 1 -окрестности UB любой 2-формыB ∈ U со свойством Hκ⊥ (B) 6= 0) функционал I выражается через функционал спиральности, т.е.

I|UB = hB ◦ Hκ⊥ |UB для некоторых функций hB : R → R.Если при этом Q = M ×S 1 и U состоит из всех точных 2–форм без нулей на Q, которыеобладают сечением, изотопным поверхности M × {0}, т.е. имеют вид ψ ∗ B, где ψ ∈ D 0 (Q),B ∈ Bexact (Q) и B|M ×{0} задает положительную ориентацию, то всюду на U функционал Iвыражается через функционал спиральности, т.е. I|U = h ◦ Hκ⊥ |U для некоторой функцииh : R → R.(C) Пусть Q = M × S 1 и B0 := {B ∈ Bexact (Q) | Flux(B) = const} — совокупность точныхнесжимаемых течений фиксированного когомологического класса (т.е. имеющихфиксироRexactванный поток) без нулей, где Flux : B(Q) → HomQ (H2 (Q, ∂Q; Q), R), [Π] 7→ Π B, — функционал потока на пространстве Bexact (Q), см. определение 5.3.1 (A).

Пусть подмножествоB00 ⊂ B0 состоит из всех 2–форм B ∈ B0 , обладающих секущей поверхностью P ⊂ Q, изотопной поверхности M × {0} и трансверсальной интегральным кривым поля ker B (т.е. B00состоит из всех 2–форм вида ψ ∗ B ∈ B0 , где ψ ∈ D 0 (Q) и B|M ×{0} задает положительнуюориентацию). Пусть функционал I : B00 → R является D 0 (Q)–инвариантным, дифференцируем и имеет регулярную и непрерывную относительно C 1 –топологии производную наB00 .

Тогда всюду на B00 функционал I выражается через функционал спиральности, т.е.I = h ◦ Hκ⊥ |B00 для некоторой функции h : R → R.Глава 1Реализация гладких функций наповерхностях в виде функций высотыВ этой главе излагаются результаты работ автора [129, 130, 131].1.1ВведениеВ данной главе доказывается критерий, дающий ответ на следующий естественный вопрос.Какие гладкие функции на двумерных поверхностях M , с конечным числом критическихточек, можно или нельзя реализовать в виде функций высоты при погружении поверхностив евклидово трехмерное пространство R3 ? Вместо функций высоты можно эквивалентнымобразом рассматривать функции расстояния ρx0 (x), задающие расстояние от какой-то фиксированной (достаточно далекой от M ) точки x0 в R3 до переменной точки x на погруженном(вложенном) подмногообразии M в R3 . Изучение функций высоты на погруженных подмногообразиях полезно для описания фокальных точек этих подмногообразий [104].Кроме того, задача изучения функций высоты на двумерных поверхностях представляетопределенный интерес в связи с теорией интегрируемых гамильтоновых систем и классификации особенностей лиувиллевых слоений.

См. работы [31, 8, 9, 10]. Полученная в этихработах лиувиллева и траекторная классификация интегрируемых систем с двумя степенями свободы дана в терминах так называемых атомов и молекул. Напомним, что атомы —это двумерные поверхности f −1 [c − ε, c + ε] с краем, являющиеся прообразом окрестностикритического значения c функции Морса f на двумерной поверхности M . При этом на критическом уровне может находиться несколько критических точек. Отметим (см. [112, 113]),что классификация особенностей многомерных лиувиллевых слоений также дается в терминах таких же двумерных атомов. Кроме того, изучение свойств бифуркаций функции Морсав окрестности ее критического уровня, на котором лежит, вообще говоря, много критическихточек, представляет и самостоятельный интерес.Нетрудно показать, что каждый отдельно взятый атом, — т.е. окрестность f −1 [c − ε, c + ε]критического уровня c функции Морса f , — всегда можно так погрузить в R3 , что функция fна нем превратится в функцию высоты.

Это утверждение остается справедливым не толькодля функций Морса, но и для гладкой функции, имеющей лишь конечное число критическихточек. Так что локально, т.е. в окрестности каждого отдельного критического уровня функции f , никаких препятствий для решения высотной задачи — нет. Препятствия появляютсятолько тогда, когда требуется решить задачу в целом, т.е. представить заданную функциюf как функцию высоты сразу на всей двумерной замкнутой поверхности Mg рода g.Перейдем теперь к подробному изложению.Напомним, что гладкая функция f на гладком многообразии M n называется функциейМорса, если все ее критические точки невырождены [104].28ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ29Определение 1.1.1. Функция f на M n называется функцией высоты при погружении (вложении) в евклидово пространство, если ее можно представить в виде f (x) = xN (x), где xN —декартова координата точки x из M n при некотором погружении (вложении) многообразияM n в RN .Функции высоты образуют естественный подкласс в классе всех гладких функций.Основное внимание мы уделим реализации гладких функций на двумерных поверхностях M , и имеющих лишь конечное число критических точек, в виде функций высоты (илифункции расстояния ρx0 (x)) при подходящем погружении поверхности M в R3 .

При этомвыяснилось, что при реализации функции в виде функции высоты предположение о невырожденности ее изолированных критических точек отнюдь не не является обязательным.Основным техническим приемом, используемым при доказательстве результатов настоящей работы, является известная теория препятствий.Основными результатами настоящей главы являются теоремы 1.3.1, 1.3.2, 1.7.4, 1.7.5 и,как следствие, новое доказательство предложения 1.7.2 о выворачивании сферы наизнанку.А именно, основными результатами настоящей главы являются следующие:• получен критерий того, когда гладкая функция f с конечным числом критическихточек на связной замкнутой ориентируемой поверхности M реализуема в виде функциивысоты при некотором погружении поверхности в 3-мерное евклидово пространствоR3 ; ответ сформулирован в терминах индексов критических точек данной функции f инаправлений (вверх или вниз) векторного поля нормалей к поверхности в этих точках(теорема 1.3.1);• доказано, что любая гладкая функция f с конечным числом критических точек налюбой связной замкнутой неориентируемой поверхности M реализуема в виде функции высоты при некотором погружении поверхности в R3 , причем для любых напередзаданных вложений в R3 достаточно малых окрестностей критических точек, реализующих функцию f как функцию высоты (такие вложения всегда существуют) (теорема1.3.2);• для любой гладкой функции f с конечным числом критических точек на связной замкнутой поверхности M , описано множество связных компонент пространства всехпогружений поверхности в R3 , реализующих данную функцию f в виде функции высоты, при условии что эта функция реализуема в виде функции высоты при погружении(теорема 1.7.4);• доказано, что для любого погружения замкнутой поверхности M в R3 , имеющего морсовскую функцию высоты, любая гладкая деформация этой функции в пространствеморсовских функций реализуется в виде деформации функции высоты при некоторойгладкой деформации заданного погружения, причем пространство всех таких деформаций в пространстве погружений линейно связно (теорема 1.7.5);• получено новое доказательство хорошо известного факта о том, что пространство всехгладких погружений сферы S 2 в R3 линейно связно; в частности, получается новое ипростое доказательство известного “парадокса Смейла”, что двумерную сферу можно“вывернуть наизнанку” в R3 .