Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 8

§3.7.2) меченых (см. §3.7.3)функций Морса на поверхности M c s(M ) отмеченными точками (утверждения 3.7.4и 3.7.7); в случае M = S 2 , T 2 установлен гомеоморфизм между классифицирующиммногообразием B (имеющим гомотопический тип пространства F) и некоторым открытым подпространством пространства меченых конфигураций p + r различных точек наповерхности M , где p и r — количество точек локальных минимумов и максимумовфункций из пространства F (утверждение 3.7.5) [144].Также для полноты изложения в §3.2 включен совместный результат Д.А.

Пермякова иавтора [143] о гомотопической эквивалентности F ∼ F1 ∼ F1 пространств функций Морса иоснащенных функций Морса на компактных поверхностях.В главе 4 изучается вопрос о существовании непрерывных C 0 -траекторных инвариантов на пространстве IBnondeg (Q) невырожденных интегрируемых несжимаемых течений накомпактном 3-мерном многообразии Q. Более точно, изучается следующий вопрос. Существуют ли продолжимые траекторные инварианты на том или ином страте Максвелла впространстве IBnondeg (Q) (т.е. инварианты Болсинова-Фоменко на пространстве систем насоответствующем 3-атоме, которые можно непрерывно продолжить в некоторую окрестностьданного страта Максвелла до инварианта траекторной эквивалентности)?Эти вопросы тесно связаны со следующими. Существуют ли непрерывные инварианты C 0 сопряженности на пространстве Hnondeg (P ) невырожденных гамильтоновых систем на компактной поверхности P ? Более точно, изучается следующий вопрос.

Существуют ли продолжимые инварианты C 0 -сопряженности на том или ином страте Максвелла в пространствеHnondeg (P ) (т.е. инварианты Болсинова-Фоменко на пространстве систем на соответствующем2-атоме, которые можно непрерывно продолжить в некоторую окрестность данного стратаМаксвелла до инварианта C 0 -сопряженности)? Изучаются также аналогичные вопросы о существовании относительно-продолжимых инвариантов по отношению к фиксированномуоткрытому страту Максвелла, примыкающему к данному страту Максвелла.Основными результатами главы 4 являются теорема 4.5.6 и следствия 4.5.9, 4.5.10, 4.5.16и 4.5.17. А именно, мы указываем бесконечную серию стратов Максвелла (т.е.

классов траекторной эквивалентности, отвечающих некоторым 2-атомам, названным “бициклическими”)в пространстве Hnondeg (P ) невырожденных гамильтоновых систем на компактной поверхности P , и на каждом таком страте Максвелла строим относительно-продолжимый инвариантC 0 -сопряженности по отношению к “бициклическим возмущениям” систем из данного стратаМаксвелла (теорема 4.5.6). Мы также получаем эффективные достаточные условия относительно-устойчивой C 0 -несопряженности (определение 4.1.21) пары гамильтоновых систем набициклическом атоме по отношению к классу бициклических возмущений (следствия 4.5.9 и4.5.10).Основными результатами главы 4 являются следующие [137]:• введены бесконечная серия бициклических “атомов” (бифуркаций линий уровня морсовских функций Гамильтона) и ее бесконечная подсерия вполне бициклических атомовВВЕДЕНИЕ24(определения 4.5.4 и 4.5.14) [137],• обнаружены относительно-продолжимые m–инварианты (определение 4.1.22 и замечание 4.3.13) гамильтоновых систем на бициклических атомах (точнее, на отвечающихим стратах Максвелла) по отношению к соответствующим открытым классам “бициклических возмущений” (определение 4.5.5 и теорема 4.5.6) [137],• получены эффективные достаточные условия (следствия 4.5.9 и 4.5.10) [137, 145] относительно-устойчивой C 0 -несопряженности (определение 4.1.21) пары гамильтоновыхсистем на бициклическом атоме по отношению к классу бициклических возмущений;этим условиям удовлетворяют почти все пары систем на атоме (см.

комментарий 4.5.3);• получены эффективные достаточные условия (следствия 4.5.16 и 4.5.17) [137, 145] устойчивой C 0 -несопряженности (определение 4.1.19) пары гамильтоновых систем на вполнебициклическом атоме; этим условиям удовлетворяют почти все пары систем на атоме.Сформулируем эти результаты в виде двух теорем [137].Пусть H(M ) — пространство гамильтоновых систем на поверхности M , функции Гамильтона которых являются функциями Морса F1 ∈ Fnum,fr (M ) с оснащенно-нумерованнымикритическими точками (см. (4.10) и определение 2.2.2 (В)). Пусть F ∈ Fnum,fr (P ) — функцияМорса с ровно одним критическим значением c ∈ R на компактной поверхности P с краем,K = F −1 (c). Пусть H(F ) = H(P, K) ⊆ H(P ) — пространство систем, функции Гамильтонакоторых топологически послойно эквивалентны функции F (определения 2.2.4 (C) и 4.1.18).Пусть n — число критических точек функции F иΛ : H(F ) → C 0 (K; R) ∼v 7→ Λ(v) = (Λ1 (v), . .

. , Λn (v)),= Rn ,[m] : H(F ) → H 1 (K; R) ∼= Rn+1 , v 7→ [m(v)],— грубые Λ- и m-инварианты Болсинова-Фоменко (определение 4.2.9) симплектической сопряженности (определение 4.1.8) гамильтоновых систем v ∈ H(F ) на данном атоме.Теорема (4.1.1, [137, 145]). Предположим, что топологическая пара (P, K) является бициклическим седловым атомом (определение 4.5.4). Пусть Z1 и Z2 — соответствующаяe ⊂ H(P ) — соответствующийпара ориентированных гамильтоновых циклов графа K, и Hкласс бициклических возмущений (см. (4.16) и определение 4.5.5) гамильтоновых системна данном атоме. Тогда:(A) ИнвариантB(v) = h[m(v)], [Z1 ] − [Z2 ]i, v ∈ H(F ),является инвариантом C 1 –сопряженности, относительно–C r –продолжимым (определеe бициклических возмущений при любом r ≥ 5.ние 4.1.22) по отношению к классу H(B) Если число граничных окружностей поверхности P равно двум, то инвариант B =B(v) является инвариантом C 0 –сопряженности гамильтоновых систем на данном атоме.

Если атом (P, K)# является знакоопределенно-бициклическим (определение 4.3.24), тоинвариант B = B(v) не является инвариантом C 0 –сопряженности.(C) Если пара гамильтоновых систем v1 , v2 ∈ H(F ) на этом атоме удовлетворяет условиям (Λ1 (v1 ) : · · · : Λn (v1 )) 6= (Λ1 (v2 ) : · · · : Λn (v2 )) и B(v1 ) 6= B(v2 ), то системы v1 и v2eотносительно-устойчиво C 0 -несопряжены (определение 4.1.21) по отношению к классу H00бициклических возмущений, т.е. они изначально не были C -сопряжены и остаются C –несопряженными (в любых инвариантных связных окрестностях множеств критическихe при любом r ≥ 5.точек гамильтонианов) при любых C r -малых возмущениях класса H,e бициклических возмущений, пары (v1 , v2 ) ∈ H(F ) × H(F )(D) По отношению к классу H0относительно-устойчиво C –несопряженных гамильтоновых систем на этом атоме образуют подпространство полной меры в пространстве H(F ) × H(F ) (см.

комментарий4.5.3).ВВЕДЕНИЕ25Теорема (4.1.2, [137, 145]). Предположим, что род поверхности P положителен, а топологическая пара (P, K) имеет максимальную и абелеву дискретную группу симметрий, т.е.принадлежит серии V (определения 4.5.11, 4.5.12 и теорема 4.5.13), т.е. является вполнебициклическим атомом (см. теорему 4.5.15). Пусть O1 , . .

. , Oν — атомные окружностиатома (P, K), т.е. регулярные погруженные замкнутые кривые в графе K ⊂ P , с произвольно фиксированной ориентацией. Тогда:(A) Если пара гамильтоновых систем v1 , v2 ∈ H(F ) на этом атоме удовлетворяет условиям Λj (v1 ) : Λj 0 (v1 ) 6= Λj (v2 ) : Λj 0 (v2 ) для любых j 6= j 0 и B(v1 ) 6= B(v2 ) для любого функционала B = B(v) вида B(v) = h[m(v)], [O1 ] ± · · · ± [Oν ]i (для всевозможных знаков в сумме),то системы v1 и v2 устойчиво C 0 –несопряжены (определение 4.1.19), т.е. они изначальноне были C 0 –сопряжены, и остаются C 0 –несопряженными (в любых инвариантных связных окрестностях множеств критических точек гамильтонианов) при любых C r -малыхвозмущениях этих систем, где r ≥ 5.(B) Пары (v1 , v2 ) ∈ H(F ) × H(F ) устойчиво C 0 -несопряженных гамильтоновых системна этом атоме образуют множество полной меры в пространстве H(F ) × H(F ) (см.

комментарий 4.5.3).Отметим, что обнаруженный нами относительно-продолжимый m-инвариант B = B(v)на подпространстве H(F ) ⊂ H(P ) имеет простой геометрический смысл: значение B(v) налюбой системе v ∈ H(F ) равно сумме главных значений Ai (v) = h[m(v)], [Oi ]i периода системы v на атомных окружностях Oi данного атома, взятых с подходящими ориентациями(определение 4.3.7): B(v) = A1 (v) + . . .

+ Aν (v).Для полноты изложения мы также получаем следующие дополнительные результаты:• доказано, что пространство Hnondeg (M ) невырожденных гамильтоновых систем на компатной поверхности M C 5 -открыто, но не C 4 -открыто (§4.1.3) в пространстве H(M )почти невырожденных гамильтоновых систем на M (теорема 4.2.2), тем самым получен положительный ответ на вопрос (Q5) А.С. Мищенко (1999 г.);• доказано, что для любого плоского атома и любого атома серии V (в том числе любоговполне бициклического атома) не существует продолжимых инвариантов на пространстве гамильтоновых систем на этом атоме (следствие 4.5.19);• доказано, что для любого плоского атома и любого атома серии V (в том числе любоговполне бициклического атома) и любого класса простых возмущений (т.е.

возмущений общего положения) систем на нем, обнаруженный нами набор из g относительнопродолжимых m–инвариантов по отношению к этому классу возмущений является полным (утверждение 4.4.2 и теорема 4.5.18), т.е. любой относительно-продолжимый инвариант является функцией от инвариантов данного набора, где количество g инвариантов данного набора равно роду атома (т.е. роду несущей поверхности P ); в частности,в случае любого плоского атома не существует относительно-продолжимых инвариантов и любые две системы на этом атоме можно сделать C 0 -сопряженными путем скольугодно малых возмущений этих систем в данном классе возмущений;• доказано, что пространство IBnondeg (Q) невырожденных интегрируемых несжимаемыхтечений на компактном 3-многообразии Q с краем (соотв. пространство IHnondeg (Q)невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы на невырожденном изоэнергетическом 3-мерном многообразии QE ≈ Q) C 5 -открыто в пространстве IB(Q) интегрируемых несжимаемых течений на Q (соотв.

в пространствеIH(Q) всех интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы), тем самымполучен положительный ответ на вопрос (Q5)3D А.С. Мищенко 1999 г. (замечание 4.1.7);ВВЕДЕНИЕ26• обнаружены относительно-продолжимые C 0 -траекторные m–инварианты интегрируемых несжимаемых течений (соответственно интегрируемых гамильтоновых систем с2 степенями свободы) на бициклических 3-атомах (точнее, на отвечающих им стратах Максвелла) по отношению к соответствующим открытым классам “бициклическихвозмущений” (определение 4.5.5, теорема 4.5.6 и замечание 4.1.7),• получены эффективные достаточные условия (следствия 4.5.9, 4.5.10 и замечание 4.1.7)относительно-устойчивой C 0 -траекторной неэквивалентности (определяемой аналогично определению 4.1.21) пары интегрируемых несжимаемых 3-мерных течений (соответственно пары интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы) на бициклическом 3-атоме по отношению к классу бициклических возмущений; этим условиямудовлетворяют почти все пары интегрируемых течений (соответственно интегрируемыхсистем) на 3-атоме (см.

комментарий 4.5.3);• получены эффективные достаточные условия (следствия 4.5.16 и 4.5.17) устойчивойC 0 -траекторной неэквивалентности (аналог определения 4.1.19) пары интегрируемыхнесжимаемых 3-мерных течений (соответственно пары интегрируемых гамильтоновыхсистем с 2 степенями свободы) на вполне бициклическом 3-атоме; этим условиям удовлетворяют почти все пары интегрируемых течений (соответственно интегрируемыхсистем) на 3-атоме.В главе 5 изучаются топологические инварианты (т.е.

D 0 (Q)–инвариантные функционалы) на пространстве Bexact (Q) точных (необязательно интегрируемых) несжимаемых теченийбез нулей на компактном 3-мерном многообразии Q. Интегральные линии такого векторногополя попарно не пересекаются и заполняют всю область, касаясь ее границы, и тем самымобразуют “распределенный узел” в данной области (т.е. узел “распределен” по всей области).Хорошо известен инвариант Хопфа — функционал спиральности, где “спиральность” несжимаемого течения равна усредненному коэффициенту зацепления интегральных траекторий(т.е.