Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 12

Достаточно взять точку min какого-нибудьлокального минимума и точку max какого-нибудь локального максимума функции (такиеточки всегда существуют). С другой стороны, для любого гладкого векторного поля w наMg , имеющего конечное число особых точек (нулей) x1 , .

. . , xN , имеет место равенство:NXk=1indxk (w) = χ(Mg ) = 2 − 2g.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ36Таким образом, среди чисел indxk (grad f ) имеются две единицы, а сумма оставшихся чиселравна −2g. Допустим теперь, что у функции f на поверхности Mg (где g ≥ 2) число критических точек меньше четырех. Приведем это предположение к противоречию. Посколькуg ≥ 2, то число критических точек не может равняться двум (тогда поверхность была быгомеоморфной сфере, то есть род g равнялся бы нулю).

Следовательно, критических точекровно три: min — минимум, max — максимум, sad — седло. Поэтому indsad (grad f ) = −2g.В то же время, в силу критерия реализуемости (см. теорему 1.3.1), имеем: εmin + εmax +εsad indsad grad f = 0. Поэтому εmin + εmax − 2gεsad = 0. Так как εk = ±1, то отсюда получаем,что |2g| ≤ 2, что противоречит условию g ≥ 2. Пункт “а” теоремы 1.1.2 доказан.(б–1) Пусть теперь g = 0 (сфера) или g = 1 (тор).

Снова возьмем какую-то точку minминимума и какую-то точку max максимума для функции f . В силу теоремы об индексевекторного поля, имеем:XX1+1+indxk (grad f ) = 2 − 2g, то естьindxk (grad f ) = −2g.xk 6=min,maxxk 6=min,maxДля случая сферы имеем: xk 6=min,max indxk (grad f ) = 0. Из теоремы 1.3.1 получаем, что мыпостроим искомое погружение сферы R3 , если подберем числа εi = ±1, удовлетворяющиеследующему равенству:X(E 0 )εk indxk (grad f ) = 0.εmin + εmax +Pxk 6=min,maxДостаточно положить εmin = −εmax = −1 и εk = 1 при xk 6= min, max.

Отметим, что построенное таким образом искомое погружение сферы в R3 обладает тем свойством, что в однойкритической точке функции высоты (а именно, в точке min локального минимума) положительная нормаль направлена вниз, а во всех остальных критических точках — направленавверх.Осталосьрассмотреть случай тора. Рассуждения аналогичны. Здесь мы имеем равенствоPindxk (grad f ) = −2. Нужно подобрать εi = ±1 так, чтобы удовлетворить равенствуxk 6=min,max(E 0 ).

Очевидно, что достаточно положить εmin = εmax = 1 и εk = 1 при xk 6= min, max.Тогда, в силу теоремы 1.3.1, существует некоторое погружение тора в R3 , реализующее данную функцию f как функцию высоты. Отметим, что это погружение обладает следующимлюбопытным свойством. А именно, в каждой критической точке xk положительная нормальк погруженному тору направлена вверх. Это погружение можно предъявить в явном виде.Оно извлекается из доказательства теоремы 1.3.1.Доказательство пунктов “б–2” и “в” теоремы 1.1.2. В ориентируемом случае это утверждение следует из равенства (E), так как сумма в левой части этого равенства содержит Nслагаемых, из которых ровно N/2 слагаемых должны равняться −1, а остальные слагаемыедолжны равняться +1.

В неориентируемом случае утверждение очевидно вытекает из болеесильной теоремы 1.3.2 (которая будет доказана ниже): согласно теореме 1.3.2, в неориентируемом случае никаких препятствий к решению высотной задачи нет, так что число нормальноне эквивалентных погружений максимально и равно 2N .Тем самым, теорема 1.1.2 полностью доказана.1.4Критерий реализуемости функции в виде функциивысоты для погружений ориентируемой поверхности(доказательство теоремы 1.3.1)В этом параграфе мы доказываем теорему 1.3.1.ГЛАВА 1.1.4.1РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ37НеобходимостьПусть f : Mg → R — функция высоты при некотором погружении замкнутой ориентируемой двумерной поверхности Mg в R3 .

Пусть x1 , . . . , xN — критические точки функции f , аc1 < c2 < · · · < cL — критические значения функции f . Отметим, что 2 ≤ L ≤ N . Тогдадля любого некритического (регулярного) значения a 6∈ {c1 , . . . , cN } функции f регулярнаякривая γa = f −1 (a) погружена в горизонтальную плоскость Π(a) высоты a. Выберем естественную ориентацию кривой γa , то есть — такое направление обхода γa , при котором область{x ∈ Mg |f (x) < a} меньших значений в Mg находится слева.Определим индекс indΠ γ гладкой замкнутой ориентированной кривой γ в ориентированной плоскости Π как степень гауссова отображения γ → S 1 , сопоставляющего точке x изγ единичную нормаль у кривой γ в точке x.

Все нормали при этом переносим параллельно самим себе в какую-то фиксированную точку 0. Хорошо известны следующие свойстваиндекса кривой.1) (Инвариантность определения). При диффеоморфизме плоскости Π на себя, сохраняющем ориентацию, индексы кривых γ сохраняются.

При диффеоморфизме плоскости Π,меняющем ориентацию, индексы кривых заменяются на противоположные.2) (Инвариантность при гомотопии). Индекс кривой не меняется при гладкой гомотопиикривой в плоскости Π.3) (Теорема Уитни, [126]). Если две кривые имеют одинаковые индексы, то существуетгладкая деформация (регулярная гомотопия) одной кривой в другую.Вычислим индексы кривых γa в плоскости Π(a), при a 6∈ {c1 , .

. . , cN }. Будем считать приэтом, что индекс пустой кривой равен нулю.Лемма 1.4.1. Когда значение a изменяется в интервале ck < a < ck+1 (при 1 ≤ k ≤ L − 1),то индекс кривой γa в плоскости Π(a) не меняется. В частности,indΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck+1 −ε) γck+1 −ε = 0.Это утверждение легко следует из свойства (2) индекса кривой.Лемма 1.4.2. Предположим, что поверхность с краем f −1 [ck − ε, ck + ε] не содержит критических точек функции f , отличных от точки xk , для некоторого ε > 0. Тогда для всехдостаточно малых ε мы имеем:indΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck −ε) γck −ε = εk indxk (grad f ),(Ek )где εk = ±1 — знак, показывающий, вверх или вниз направлена положительная нормаль кповерхности в точке xk . В частности, индексы линий уровня функции f вблизи точки xkминимума или максимума f совпадают с εk = ±1.Доказательство.

Спроектируем двумерную поверхность f −1 [ck − ε, ck + ε] (с краем) на горизонтальную плоскость Π(ck ) вдоль вертикальных прямых. Ясно, что при этом все кривые γaжестко сместятся вниз на расстояние a − ck . Окружим точку xk малой окрестностью U (диффеоморфной диску) в поверхности Mg . В этой малой окрестности рассматриваемая намипроекция π : U → Π(ck ) является диффеоморфизмом, поскольку плоскость Π(ck ) являетсякасательной к поверхности Mg . Следовательно (см.

свойство (1)), индекс любой замкнутойкривой γ в U равен (с точностью до знака εk ) индексу проекции этой кривой в Π(ck ):indΠ(ck ) π(γ) = εk indU γ.(Π)В частности, индексы линий уровня вблизи точки xk максимума или минимума функции fравны εk .Теперь мы можем подсчитать разность индексов кривых γck +ε и γck −ε в плоскостях Π(ck +ε)и Π(ck − ε). Продеформируем эти кривые в поверхности Mg навстречу друг другу вдольГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ38Рис. 1.2.

Звездообразная область V , ограниченная продеформированнымикривыми γck +ε и γck −εтраекторий векторного поля ϕ(x)grad f /|grad f |, где ϕ(x) — гладкая функция в атоме f −1 [ck −ε, ck +ε], равная единице вне окрестности U и равная нулю в окрестности точки xk , причем 0 ≤ϕ(x) ≤ 1. Ясно, что если ε достаточно мало, то полученные в результате деформации кривыесовпадают вне окрестности U и ограничивают внутри U некоторую (звездообразную) областьV , содержащую точку xk (рис.

1.2). Ясно также, что, в процессе деформации, проекциикривых на плоскость Π(ck ) все время оставались погруженными в Π(ck ). Следовательно,индексы проекций кривых на Π(ck ) не изменились. Таким образом, с учетом формулы (Π),имеем:indΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck −ε) γck −ε = εk indU (∂V ),где поле нормалей на границе ∂V области V выбрано таким образом, чтобы при обходеграницы ∂V вектор нормали изменялся непрерывно.Рис. 1.3. Поле нормалей к кривой ∂V гомотопно векторному полю grad f на∂VПолученное нами равенство равносильно равенству (Ek ) из леммы 1.4.2, так как на кривой∂V непрерывное поле нормалей гомотопно векторному полю grad f на этой кривой (рис. 1.3).Кроме того, индекс поля grad f на границе ∂V равен индексу indxk (grad f ) в единственнойособой точке xk ∈ V векторного поля grad f . Лемма 1.4.2 доказана.Вернемся к доказательству необходимости.

Преположим теперь, что критический уровеньf (ck ) содержит несколько критических точек. Тогда аналогичное доказательство для атомаf −1 [ck − ε, ck + ε] показывает, чтоXindΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck −ε) γck −ε =εs indxs (grad f ),(Ek0 )−1где сумма справа берется по всем s таким, что f (xs ) = ck .ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ39Далее, складывая равенства (Ek0 ) по k = 1, 2, . . . , L, получаемLXεk indxk (grad f ) =k=1LXindΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck −ε) γck −ε =k=1L−1XindΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck+1 −ε) γck+1 −ε .k=1Однако каждое слагаемое последней суммы равно нулю в силу леммы 1.4.1. Отсюда и получается искомое равенство (E):LXεk indxk (grad f ) = 0.k=1Необходимость в теореме 1.3.1 доказана.1.4.2ДостаточностьТеперь рассмотрим любую гладкую функцию f на замкнутой ориентируемой двумернойповерхности Mg , имеющую конечное число критических точек x1 , .

. . , xN и удовлетворяющуюусловию (E) для некоторых εk = ±1, 1 ≤ k ≤ N . Мы хотим построить гладкое погружениеповерхности Mg в R3 , реализующее функцию f как функцию высоты, и такое, что вектор εk eявляется положительной нормалью к поверхности Mg в критической точке xk , для каждогоk = 1, 2, . . . , N .Идея построения такого погружения заключается в следующей конструкции.