Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 7

Пусть Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ) — пространство функций Морса с оснащенно-нумерованными критическими точками (см. определение 2.2.2 (В)). Пусть D 0 — компонента единицы в группе D ± = Diff(M ).Теорема (2.1.3, [132, 145]). (A) Две функции Морса f, g ∈ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) топологически эквивалентны (см. определение 2.2.4 (B)) тогда и только тогда, когда отвечающие им≤“упорядоченные” графы G≤f , Gg (т.е. объединения Gf , Gg критических уровней функций f, g снекоторым отношением частичного порядка, см.

обозначения 2.3.1 (Б) и 2.3.3 (А)) изотопны≤0в M , т.е. h(G≤f ) = Gg для некоторого диффеоморфизма h ∈ D .num,fr(B) Пусть f, g ∈ Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ) — пара топологически послойно эквивалентных функций Морса с оснащенно-нумерованными критическими точками. Пусть fe, ge ∈num,frFp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ) — функции, близкие к f, g по C 2 –норме и не слишком большие по C 3 –норме (см.

(2.5) и (2.6) при r = 2). Пусть W num — ориентированный граф Кронрода-Рибафункции fe с метками в вершинах, отвечающими нумерации критических точек (определение 2.4.1). Тогда возмущенные функции fe и ge топологически послойно эквивалентны втом и только том случае, когда набор критических значений функции ge согласован (определение 2.5.3) с графом W num функции fe.Пусть Ffix ⊆ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) — множество функций Морса f ∈ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ),имеющих фиксированное множество критических точек индекса λ, для любого λ ∈ {0, 1, 2}.Для ориентируемой поверхности M обозначим через D ⊂ D ± группу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов. Пусть D ∗ ⊆ D — группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов M , оставляющих неподвижными все критические точки функций f ∈ Ffix , (D ∗ )0 —20ВВЕДЕНИЕкомпонента связности idM в D ∗ .

Для любой функции f ∈ Ffix обозначим через Fffix компоненту связности функции f в Ffix , и через Df∗ ⊂ D ∗ множество диффеоморфизмов, сохраняющихFffix . Пусть Hf — подгруппа Df∗ , порожденная (D ∗ )0 и всеми диффеоморфизмами h ∈ D ∗ ,сохраняющими какие-либо функции f1 ∈ Fffix , и пусть Hfabs — ее подгруппа, порожденная(D ∗ )0 и скручиваниями Дэна вокруг компонент линий уровня функций f1 ∈ Fffix . Оказывается, что в большинстве случаев Fffix ( Ffix и Df∗ ( D ∗ , поэтому нетривиален вопрос онахождении факторгрупп в цепочке нормальных подгрупп (D ∗ )0 ⊆ Hfabs ⊆ Hf ⊆ Df∗ .Теорема (2.1.4, [133]). Предположим, что M — компактная связная ориентируемая поверхность рода g и число седел q ≥ 1. Тогда для любой функции f ∈ Ffix выполнено |π0 (Ffix )| =[D ∗ : Df∗ ] = ∞ и(D ∗ )0 ( Hfabs ( Hf ⊆ Df∗ , если род g ≥ 1,(D ∗ )0 ( Hfabs = Hf ( Df∗ , если род g = 0 и число седел q ≥ 2,(D ∗ )0 = Hfabs = Hf = Df∗ , если число седел q = 1,а также оценки для рангов факторгрупп:q − 1 ≤ rank (Df∗ /Hf ) ≤ rank (π1 (K)), rank (D ∗ /hhDf∗ ii) ≥ p + r − 1 при g = 0,rank (Df∗ /Hf ) ≤ rank (π1 (K)),rank (Hf /Hfabs ) ≥ q − 1при g > 0.Более того, существуют мономорфизм Zq+g−1 Hfabs /(D ∗ )0 и эпиморфизмы Hf /Hfabs →e иK —Z2q−1 при g ≥ 1, Df∗ /Hf → Zq−1при g = 0, π1 (K) → Df∗ /Hf в общем случае.

Здесь K2fix(q − 1)-мерные полиэдральные комплексы, ассоциированные с пространством F (и называемые комплексами функций Морса), причем имеется гомопопическая эквивалентность∗e ∼ Ffix , D ∗ /(D ∗ )0 действует эффективно на K,e K∼eK/(D ∗ )0 ) конечен и связен.= K/(DДля полноты изложения в §2.4 приводится критерий А.Т. Фоменко [10, гл. 2, §§3–8, теоремы 4 и 8] послойной эквивалентности функций Морса на компактной ориентируемой поверхности M (предложение 2.4.6 и его следствия 2.4.11 и 2.4.12). В §2.6 для полноты изложенияприводится решение С.В. Матвеева [129, теоремы 8 и 8’] вопроса А.Т. Фоменко о линейнойсвязности пространств Fp,q,r (M ) функций Морса с фиксированным числом критических точек локальных минимумов, локальных максимумов и седел (теорема 2.1.1, или теоремы 2.6.1и 2.6.2), а также обобщения теоремы Матвеева на случай морсовских функций с нумерованными и оснащенными критическими точками (теоремы 2.6.9 и 2.6.11), полученные авторомв [129].В главе 3 дается ответ на следующий естественный вопрос.

Как описать структуру и топологию (связных компонент) пространств морсовских функций на двумерных компактныхмногообразиях?Уловить структуру пространства F(M ) морсовских функций на поверхности M казалосьзадачей очень трудной, ибо это пространство бесконечномерно. Однако автору удалось придумать некий конечномерный геометрический объект с понятной структурой и доказать егогомотопическую эквивалентность пространству F(M ), снабженному C ∞ -топологией (теоремы 3.4.1, 3.5.6, 3.7.1 и 3.7.6).Основными результатами главы 3 являются следующие результаты автора о топологииболее общих пространств F = Fp,q,r;bp,bq,br;∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ) функций Морса на компактнойповерхности M в случае, когда число пронумерованных критических точек pb + qb + rb > χ(M )[134, 135, 136]:• введено понятие косого цилиндрически-полиэдрального комплекса (определение 3.3.2)[134]; в случае pb + qb + rb > χ(M ) построены косой цилиндрически-полиэдральный комe (“комплекс оснащенных функций Морса”) и стратифицированное многообразиеплекс K21ВВЕДЕНИЕf (универсальное пространство модулей оснащенных функций Морса), ассоциированMные с пространством F (теоремы 3.3.3, 3.3.13, 3.3.14, утверждение 3.4.7) [134, 135];e ∼ R× Mf и [f ]top ∼ R×D[f ]top , f ∈• доказаны гомотопические эквивалентности F ∼ R× KF1 , где R — соответствующее многообразие из (3.1) и D[f ]top — косая ручка комплексаe отвечающая классу [f ]top топологической эквивалентности (определение 2.2.4 (B))K,функции Морса f ∈ F1 (теоремы 3.5.10, 3.5.10 и 3.4.1, следствие 3.5.9) [135, 136];• получена верхняя оценка hdF ≤ 3q+1 для гомологической размерности пространства F;получены верхние оценки для чисел Бетти пространства F в случае p∗ +q ∗ +r∗ ≤ χ(M )+e (следствия 3.3.61 и нулевого рода поверхности M (т.е.

в случае конечного полиэдра K)и 3.4.2) [134, 135].Здесь и далее через F1 обозначено множество функций Морса f ∈ F, у которых все локальныеминимумы и локальные максимумы равны −1 и 1 соответственно.Сформулируем основные из этих результатов (теоремы 3.3.3, 3.4.1, 3.5.10, следствия 3.3.6и 3.4.2) в виде одной теоремы [134, 135, 136].Теорема (3.1.2, [134, 135, 136]). Пусть M — связная замкнутая ориентируемая поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t ∂ − M на d+ положительных и d− отрицательныхграничных окружностей,F = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )— пространство функций Морса на M , имеющих p, q, r критических точек локальных минимумов, седловых точек и точек локальных максимумов, в том числе pb, qb, rb пронумерованных критических точек и p∗ , q ∗ , r∗ закрепленных критических точек соответственно.Пусть F1 ⊂ F — соответствующие пространства оснащенных функций Морса (см.

определения 3.2.2). Предположим, что количество pb + qb+ rb пронумерованных критических точекпревосходит χ(M ). Тогда:(A) Существует косой цилиндрически-полиэдральный комплекс(3q − 2, q ≥ 2,e =Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ ,e=Kdim K0,q = 1,(называемый комплексом оснащенных функций Морса) ранга q − 1, косые цилиндрическиеручки которого находятся во взаимно однозначном соответствии с классами топологической эквивалентности [f ]top функций Морса f ∈ F1 . Индекс ручки D[f ]top , отвечающей классу топологической эквивалентности [f ]top , равен q − s(f ), где s(f ) — количество седловыхкритических значений функции f .

Подошва ∂D[f ]top ручки D[f ]top содержится в объединенииручек D[g]top , таких что [f ]top ≺ [g]top .e автоморфизмами косого(B) Дискретная группа D ± /D 0 кокомпактно действует на Kцилиндрически-полиэдрального комплекса, причем индуцированное действие на множестверучек согласовано с естественным действием на множестве F1 / ∼top классов топологической эквивалентности функций. В частности, для любого класса топологической эквивалентности [f ]top все ручки D[f h]top , h ∈ D ± , гомеоморфны одной и той же стандартнойкосой цилиндрической ручке(D[f ] × S[f ] )/Γ[f ] ≈ (D[f ] × (Rc([f ]) × (S 1 )d([f ]) ) × P[f ] )/Γ[f ] ∼ (S 1 )d([f ]) /Γ[f ] ,где [f ] — класс эквивалентности функции f ∈ F1 , Γ[f ] — конечная группа, действующаясвободно на стандартном утолщенном цилиндре D[f ] × S[f ] и действующая на инвариантном торе (S 1 )d([f ]) ⊂ D[f ] × S[f ] композициями сдвигов и перестановок прямых сомножителей S 1 в произведении (S 1 )d([f ]) , см.

определение 3.3.1(В). Имеется D ± /D 0 -эквивариантный22ВВЕДЕНИЕe на D ± /D 0 -инвариантное подмножество некоторого гладкого 3qгомеоморфизм полиэдра Kf = Mfp+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ с плоской аффинной связмерного многообразия Mностью, на котором группа D ± /D 0 действует диффеоморфизмами, сохраняющими связность.(C) Существуют гомотопические эквивалентности и гомеоморфизмef ∼ RD 0 × K,F ∼ F 1 ∼ F ∼ F1 ≈ D 0 × Mгде RD 0 – одно из многообразий RP 3 , S 1 , S 1 × S 1 и точка, см. (3.2).(D) Для любой функции Морса f ∈ F1 имеются гомотопические эквивалентности игомеоморфизм001 d([f ])f[f ]top ∼ Forg−1/Γ[f ] ) ∼ RD 0 × ((S 1 )d([f ]) /Γ[f ] ),1 ([f ]top ) ≈ D × M[f ]top ∼ D × ((S )f[f ]top ⊂ Mf и (S 1 )d([f ]) — соответствуюгде Forg1 : F1 → F1 — забывающее отображение, Mщие (s([f ]) + 2q)-мерное подмногообразие и тор.e = βj (M)f = 0 при любом j ≥ 3q − 1; βj (F) = 0 при любом j ≥ 3q + 2.(E) βj (K)(F) Пусть M̄ = S 2 (обозначение 3.1.4) и p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) + 1 ≤ pb + qb + rb.

Тогдаe = K является конечным, связным и компактным косым торическиD = D 0 , комплекс Kполиэдральным комплексом; полином Пуанкаре полиэдра K имеет видXXP (K; t) =tq−s(f ) P (D[f ] ; t) − (1 + t)R1 (t) =tq−s(f ) (1 + t)d([f ]) − (1 + t)R(t)[f ]∈F1 /∼[f ]∈F1 /∼для некоторых многочленов R1 (t) и R2 (t) с целыми неотрицательными коэффициентами,R(t) = R1 (t) + R2 (t). В частности, верны неравенства Морса:f = (−1)q−1 [f ] ∈ F1 / ∼ | s(f ) = 1 ,χ(K) = χ(M)βj (K) ≤ qj , j ≥ 0.Для полноты изложения мы также получаем в главе 3 следующие дополнительные результаты:e функций Морса,• в случае pb + qb + rb > χ(M ) построены полиэдральный комплекс Ke → K,e если все критиассоцированный с пространством F, и естественная проекция Kческие точки локальных экстремумов пронумерованы или все седловые критическиеточки пронумерованы (следствие 3.3.5);e получен критерий того, когда проекция• доказана несжимаемость ручек комплекса K;e → Ke является гомотопической эквивалентностью (предложение 3.6.4); полученыKe являются цилиндрическими ручкакритерии того, когда все косые ручки комплекса Kми или гомотопически эквивалентны торам (предложение 3.3.15);• описаны гомотопические типы большинства пространств F функций Морса с количеством седел q ≤ 2 (примеры 3.6.2 и 3.7.9); в частности показано, что пространствоF = F1,2,1 (T 2 ) функций МорсаWс 4 критическими точками на двумерном торе гомотопически эквивалентно (S 1 )2 × ( S 1 ), и поэтому его первое, второе и третье числа Беттибесконечны;N• в общем случае (без предположения о выполнении неравенства pb+ qb+br > χ(M ) и о морсовости функций f ∈ F) построено гладкое стратифицированное многообразие B (универсальное пространство модулей оснащенных функций на компактной связной ориентируемой поверхности M с s(M ) отмеченными точками, где s(M ) := max{0, χ(M ) + 1}при ∂M = ∅, s(M ) := 1 и отмеченная точка принадлежит ∂M при ∂M 6= ∅), ассоциированное с пространством F гладких функций с заданными локальными особенностямиВВЕДЕНИЕ23типов Aµ на гладкой двумерной замкнутой ориентируемой поверхности M ; доказаныгомотопические эквивалентности F ∼ B и [f ]top ∼ B[f ]top , f ∈ F, где B[f ]top ⊂ B —страт, отвечающий классу [f ]top топологической эквивалентности (определение 2.2.4(B)) функции f ∈ F (теоремы 3.7.1 и 3.7.6) [144];• в общем случае (без предположения о выполнении неравенства pb+ qb+br > χ(M ) и о морсовости функций f ∈ F) показано, что пространство F гладких функций с заданнымилокальными особенностями типов Aµ на гладкой двумерной замкнутой ориентируемойповерхности M имеет ту же топологию, что и соответствующее пространство морсовских функций (с некоторыми метками в критических точках), а именно: классифицирующее многообразие B (имеющее гомотопический тип пространства F) гомеоморфноуниверсальному пространству модулей оснащенных (см.