Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 4

Арнольд [1].С использованием параметрического h-принципа В.А. Васильев (см. работу [14] и ссылкив ней) изучил кольца когомологий пространств Rn -значных функций с умеренными особенностями на любом гладком многообразии (т.е. функций, не имеющих “слишком сложных”критических точек, где морсовская особенность и особенность типа рождение-уничтожениепары критических точек считаются не слишком сложными). Однако 1-параметрический hпринцип невыполнен для пространств функций Морса на некоторых компактных многообразиях размерности большей 5, как показано в работах [64, 81].Топология отдельно взятого класса топологической сопряженности (т.е.

страта Максвелла) из пространства функций Морса на замкнутой поверхности M изучалась в работахС.И. Максименко [97] в случае поверхности M 6= S 2 , T 2 . В частности, С.И. Максименко [97]доказал стягиваемость связных компонент стабилизатора любой функции Морса на замкнутой поверхности при действии группы диффеоморфизмов поверхности, а также доказаласферичность любой орбиты этого действия и изучил некоторые свойства ее фундаментальной группы.Как отмечалось выше, J. Harer и D. Zagier [78] с помощью указанного комбинаторногорезультата получили важный топологический результат — вычислили эйлерову характеристику χ(Gsg ) “комплекса ленточных графов” Gsg при s > 2−2g, а значит, ввиду [124], и χ(Msg ),ВВЕДЕНИЕ11где Msg — пространство модулей комплексных алгебраических кривых рода g с s > 3 − 3gпронумерованными проколами. Изложим подробнее историю вопроса о пространстве Msg .K.

Strebel [124] показал (1984), что пространство Msg имеет каноническое клеточное разбиение ([79, 94, 124] или [114]), клетки которого находятся во взаимно-однозначном соответствиис классами изотопности некоторых графов в поверхности M рода g с s проколами. Другимисловами, согласно [124, 88] существует канонический вещественно-аналитический гомеоморфизм≈s > 3 − 3g,Gsg → Msg × Rs>0 ,sгде Gg — хорошо известный “комплекс ленточных графов”. Упомянутое клеточное разбиениеможет быть описано либо в духе [114, 115, 116] (“в гиперболической постановке”), либо с использованием квадратичных дифференциалов [124] (“в канонической постановке”) как в [79]или [94]. Любая точка клеточного комплекса Gsg представляется квадратичным дифференциалом, “квадратный корень” из которого имеет простые полюса в проколах и не имеет другихполюсов, причем его горизонтальное слоение имеет единственный особый слой — некоторыйграф G ⊂ M , являющийся строгим деформационным ретрактом поверхности M с выколотыми полюсами; такой квадратичный дифференциал называется гороциклическим.

С помощьюупомянутой выше производящей функции для чисел εg (q) Харер и Загье вычислили (1986)эйлерову характеристику комплекса Gsg ленточных графов, тем самым ввиду упомянутогорезультата Штребеля они получили [78] формулу(2g + s − 3)!χ(Msg ) = χ(Gsg ) = (−1)sB2g2g(2g − 2)!при s > 2 − 2g, где Bg есть g-ое число Бернулли, определяемое производящей функциейPznzn≥0 Bn n! = ez −1 . Позднее аналогичные формулы [75] и производящие функции для них[48, 49] были получены как для эйлеровой характеристики, так и для орбиобразной эйлеровойхарактеристики пространства Msg и его компактификации Msg Делиня-Мамфорда [68].IV. Топологические инварианты интегрируемых 3-мерных несжимаемых течений (интегрируемых гамильтоновых систем на изоэнергетических 3-мерных многообразиях)Функции Морса на поверхностях изучали А.Т.

Фоменко [32], С.В. Матвеев и Фоменко [21,23, 22], Матвеев, Фоменко и Шарко [23], Фоменко и Х. Цишанг [35], А.В. Болсинов и Фоменко [9, 10] в связи с задачей классификации (лиувиллевой, траекторной) невырожденныхинтегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на неособых компактных 3-мерных изоэнергетических многообразиях.

Эквивалентным образом можно изучатьневырожденные интегрируемые несжимаемые течения без нулей на замкнутых 3-мерныхмногообразиях (см. §4.1.1).Фоменко и Цишанг [35] построили полный инвариант лиувиллевой эквивалентности такихсистем. Фоменко и Болсинов [9, 10] построили полный инвариант траекторной эквивалентности таких систем.Важным инструментом обеих теорий является описание классов послойной эквивалентности (определение 2.2.4 (C) и предложение 2.4.6) функций Морса на замкнутых поверхностях,в терминах комбинаторного объекта — “молекулы” функции Морса.

Из наших результатовглавы 2 следует, что разбиение пространства F(M ) функций Морса на поверхности M наклассы топологической послойной эквивалентности является стратификацией, где страты(называемые стратами Максвелла) отвечают некоторым графам — “молекулам” Фоменко(см. §2.5.2). Отсюда следует, что разбиение пространства IB(Q) интегрируемых несжимаемых течений на 3-мерном многообразии Q (т.е. пространства IH(Q) интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы на неособых 3-мерных изоэнергетических поверхностях QE ≈ Q) на классы лиувиллевой эквивалентности тоже является стратификацией, где12ВВЕДЕНИЕстраты (тоже называемые стратами Максвелла) характеризуются некоторыми графами —“мечеными молекулами” Фоменко-Цишанга.Траекторные инварианты Болсинова-Фоменко на пространстве IHnondeg (Q) гамильтоновых систем определялись по-разному на разных стратах Максвелла — классах лиувиллевойэквивалентности гамильтоновых систем.Возникает следующий вопрос.

Существуют ли “продолжимые” траекторные инвариантына том или ином страте Максвелла, т.е. (непостоянные) инварианты Болсинова-Фоменко, которые можно непрерывно продолжить в некоторую окрестность данного страта Максвелладо инварианта траекторной эквивалентности? Другими словами, существуют ли (нетривиальные) непрерывные траекторные инварианты на пространстве IBnondeg (Q) невырожденныхинтегрируемых несжимаемых течений на компактном 3-мерном многообразии Q?V. Топологические инварианты 3-мерных точных несжимаемых теченийВ математической физике актуальным является изучение топологических инвариантов магнитных полей, т.е. инвариантов бездивергентных векторных полей (называемых также несжимаемыми течениями) на компактном 3-мерном многообразии Q.

Интегральные линии такоговекторного поля попарно не пересекаются и заполняют всю область, касаясь ее границы, итем самым образуют “распределенный узел” в данной области (т.е. узел “распределен” повсей области). Хорошо известен инвариант Хопфа — “спиральность” несжимаемого течения,равный усредненному коэффициенту зацепления интегральных траекторий (т.е. соответствующего распределенного узла) [5].Понятие спиральности восходит к Гельмгольцу и Кельвину (см.

[93]). Своим вторым рождением в магнитной гидродинамике это понятие обязано Волтьеру [128], а в идеальной гидродинамике — Моффату [105], который обнаружил его топологический характер (см. также[108]). Слово “спиральность” было впервые введено в [105] и с тех пор широко использовалосьв механике жидкости и магнитной гидродинамике. Интересные обзоры по истории вопросаможно найти в [106, 107]. Важнейшее свойство этой величины состоит в ее инвариантности:ZспиральностьB ∧ d−1 BH(B) :=Qбездивергентного векторного поля B в односвязной области Q ⊂ R3 , касающегося его границы, сохраняется при действии на B любого сохраняющего объемы диффеоморфизма областиQ [6, теорема 1.4]. Здесь B := iB µ — 2-форма, отвечающая векторному полю B, µ — элементобъема.

В этом смысле H(B) является топологическим инвариантом: хотя эта величинаопределена с помощью метрики, любой сохраняющий объемы диффеоморфизм переводитполе B в поле с такой же спиральностью.Кроме интегрального определения (см. выше) у спиральности есть эквивалентное “топологическое” определение. В.И. Арнольд доказал [5] такую эргодическуюинтерпретациюRспиральности: средний коэффициент самозацепления λB := Q×Q λB (x1 , x2 ) бездивергентного векторного поля B на односвязном 3-мерном многообразии Q с элементом объема µсовпадает со спиральностью поля:λB = H(B).Здесь λB (x1 , x2 ) — это асимптотический коэффициент зацепления траекторий поля [5, §4.1].Итак, спиральность является D 0 (Q)-инвариантным (а потому и Dµ0 (Q)-инвариантным)функционалом H : Bexact (Q) → R на пространстве∗Bexact (Q) := {B ∈ Ω2 (Q) | B точна и не имеет нулей, j∂QB = 0}точных несжимаемых течений без нулей на 3-мерном компактном многообразии Q, где j∂Q :∂Q → Q — отображение включения.

Здесь D 0 (Q) = Diff 0 (Q) — группа изотопных тожде-ВВЕДЕНИЕ13ственному диффеоморфизмов 3-многообразия Q, а Dµ0 (Q) = SDiff 0 (Q) ⊂ D 0 (Q) — подгруппасохраняющих объемы диффеоморфизмов.Возникают вопросы: существуют ли другие D 0 (Q)-инвариантные (соответственно Dµ0 (Q)инвариантные) функционалы на пространстве Bexact (Q), обладающие теми или иными дополнительными свойствами (например, представимые в интегральном виде или в виде асимптотического инварианта зацепления)?Д. Серре доказал, что любой инвариант “первого порядка” уравнения Эйлера идеальнойнесжимаемой жидкости в ограниченной области в R3 выражается через энергию и спиральность [120].В главе 4 мы изучаем C 5 -непрерывные C 0 -траекторные инварианты (автоматически являющиеся D 0 (Q)-инвариантными функционалами) на C 5 -открытом множестве IBexact,nondeg (Q)в пространстве∗IBexact (Q) = {(B, f ) | B ∈ Bexact (Q), f ∈ C ∞ (Q) боттовская, B ∧ df = 0, j∂Q(df ) = 0}интегрируемых точных несжимаемых течений без нулей в Q (в действительности, условиеточности 2-формы B не было наложено в главе 4, см.