Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 104

. . + Aν (v) на этих системах не совпадают:B(v1 ) 6= B(v2 ).Тогда системы v1 и v2 относительно-устойчиво C 0 –несопряжены (определение 4.1.21) поотношению к бициклическим возмущениям, т.е. они изначально не были C 0 –сопряженыи остаются C 0 –несопряженными (в любых инвариантных связных окрестностях своихмножеств особых точек) при любых малых бициклических возмущениях данного класса.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ304Доказательство. Согласно предложению 4.3.2, Λ–инвариант RΛ(v) := (Λ1 (v) : · · · : Λn (v))является инвариантом C 0 –сопряженности на пространстве H(F ).

Но из несовпадения значений какого-то одного из C 0 –инвариантов на паре сравниваемых систем следует C 0 –несопряженность этих систем. Отсюда и из условия 1 получаем, что системы v1 , v2 являютсяC 0 –несопряженными.Согласно теореме 4.5.6, функционал B(v) является относительно–C r –продолжимым инвариантом. Отсюда и из условия 2 получаем, что для любых достаточно малых (в смыслеe v1 ) 6= B(ee v2 ),C r –топологии) бициклических возмущений ve1 , ve2 данного класса выполнено B(e0e — соответствующий инвариант C –сопряженности возмущенных систем.

Поэтому возгде Bмущенные системы ve1 , ve2 тоже не являются C 0 –сопряженными.В частном случае бициклических атомов минимальной валентности 2 следствие 4.5.9может быть усилено следующим образом.Следствие 4.5.9’ ([145, следствие 1.2’]). Пусть функции Морса F с ровно одним критическим значением на поверхности P отвечает бициклический атом (в котором фиксированы два цикла Z1 и Z2 ) валентности 2. Пусть пара гамильтоновых систем v1 и v2 из пространства H(F ) на этом атоме удовлетворяет следующему условию: значения функционалаB(v) = A1 (v)+.

. .+Aν (v) на этих системах не совпадают. Тогда системы v1 и v2 относительноустойчиво C 0 –несопряжены по отношению к бициклическим возмущениям, т.е. они изначально не были C 0 -сопряжены и остаются C 0 -несопряженными (в любых инвариантных связныхокрестностях своих множеств особых точек) при любых малых бициклических возмущенияхданного класса.Доказательство. Доказательство аналогично доказательству следствия 4.5.9 и используетследующую дополнительную идею. Согласно теореме 4.3.27 (А), в случае атома валентностидва m–инвариант [m(v)] mod (RΛ(v) · [K]) является C 0 –инвариантом, т.е. инвариантом C 0 –сопряженности на пространстве H(F ). Согласно следствию 4.3.8, каждый инвариант Ai (v)является R–значной функцией от m–инварианта, поэтому он тоже является C 0 –инвариантом.В частности, относительно–продолжимый инвариант B(v) = A1 (v) + .

. . + Aν (v) тоже является C 0 –инвариантом. Но из несовпадения значений какого-то одного из C 0 –инвариантов напаре сравниваемых систем следует C 0 –несопряженность этих систем. Поэтому из условияB(v2 ) 6= B(v2 ) получаем, что системы v1 , v2 не являются C 0 –сопряженными (т.е. для атомоввалентности 2 можно не привлекать Λ–инвариант).Вторая часть доказательства получается дословным повторением второй части доказательства следствия 4.5.9.Из следствия 4.5.9 и §4.3.2, п.(2) сразу получаемСледствие 4.5.10 ([137, теорема 1], [145, следствие 1.2]). Пусть функции Морса F с ровноодним критическим седловым значением на поверхности P (с краем) отвечает бициклический атом (с фиксированными циклами Z1 и Z2 ). Тогда, по отношению к бициклическим возмущениям данного класса, пары<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.