Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей
Описание файла
PDF-файл из архива "Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой докторскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени доктора физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ФГБОУ ВО“Московский Государственный университетимени М.В. Ломоносова”Механико-математический факультетНа правах рукописиКудрявцева Елена АлександровнаТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАИ ИНВАРИАНТЫ БЕЗДИВЕРГЕНТНЫХ ПОЛЕЙ(специальность - 01.01.04 - геометрия и топология)ДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква2016ОглавлениеВведениеАктуальность темы . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Исторический обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I. Функции высоты на погруженных и вложенных многообразиях в RN . . . .II. Топологическая классификация и изотопность функций Морса на поверхностях . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III. Топология и стратификация пространств функций с заданными особенностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV. Топологические инварианты интегрируемых 3-мерных несжимаемых течений (интегрируемых гамильтоновых систем на изоэнергетических 3мерных многообразиях) . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .V. Топологические инварианты 3-мерных точных несжимаемых течений . . .Цель работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Научная новизна . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Теоретическая и практическая значимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Основные методы исследования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Апробация результатов .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Структура диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Публикации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Благодарности . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Краткое содержание работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Препятствия к реализации гладкой функции в виде функции высоты при вложении или погружении поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Критерий реализуемости функции с конечным числом критических точек наповерхности в виде функции высоты (доказательство теоремы 1.1.2) . .
. . . .1.4 Критерий реализуемости функции в виде функции высоты для погруженийориентируемой поверхности (доказательство теоремы 1.3.1) . . . . . . . . . . .1.4.1 Необходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.2 Достаточность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Реализуемость функции в виде функции высоты для погружений поверхностив неориентируемом случае (доказательство теоремы 1.3.2) .
. . . . . . . . . . .1.6 Изотопность функций Морса на сфере и проективной плоскости. Приведениефункций к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Топология пространства всех погружений с данной функцией высоты. Регулярная гомотопность гладких погружений сферы в трехмерном пространстве1.7.1 Построение выворачивания сферы наизнанку . . . . . . .
. . . . . . . .266789101112131415151516161617282833343637394244535631.7.21.8Связные компоненты пространства всех погружений с данной функциейвысоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Некоторые обобщения . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57642 Топологическая классификация функций Морса и их возмущений на поверхностях. Инварианты изотопности функций Морса662.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2 Основные типы эквивалентности функций Морса . . . . . . .
. . . . . . . . . . 722.3 Топологическая классификация функций Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3.1 Топологическая послойная классификация и критерий топологическойсопряженности функций Морса . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 782.4 Послойная классификация Фоменко функций Морса. Атомы и молекулы Фоменко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4.1 Критерии эквивалентности и сопряженности функций Морса . . . . . . 832.5 Топологическая послойная классификация возмущенных функций Морса . . . 852.5.1 Топологическая классификация и критерий топологической сопряженности возмущенных функций Морса .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.5.2 Стратификации Максвелла в пространстве F функций Морса: разбиения на классы топологической (послойной) эквивалентности . . . . . . 932.6 Теорема Матвеева об изотопности функций Морса с закрепленными точкамилокальных экстремумов. Обобщение на случай нумерованных и оснащенныхседел . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.7 Инварианты изотопности на пространстве Ffix функций Морса с фиксированными критическими точками. Комплексы функций Морса . . . . . . . . . . . . 1042.7.1 Введение . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.7.2 Изотопический инвариант на пространстве Ffix и Df∗ -инвариант на группе диффеоморфизмов D ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.7.3 Допустимые диффеоморфизмы и Hfabs -инвариант на группе D ∗ .
. . . 1072.7.4 Почти-эквивалентность функций Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111e K функций Морса, связь с пермутоэдрами. Связь обра2.7.5 Комплексы K,зующих группы π1 (K) и групп Df∗ /Hf и Df∗ /(D ∗ )0 . . . . . . . . . . . . 1123 Топология связных компонент F пространств функций Морса на поверхностях1173.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.1.1 Обобщенные пространства функций Морса . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.1.2 Схема доказательства основных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.2 Теорема Кудрявцевой-Пермякова о гомотопической эквивалентности F ∼ F1 ∼F1 пространств функций Морса и оснащенных функций Морса . . . . . .
. . . 1283.2.1 Точная формулировка результата и мотивировка . . . . . . . . . . . . . 1293.2.2 Введение C ∞ -топологии на пространствах F, Fnum , D ± , µ, F и Fnum . . 1333.2.3 Гомотопическая эквивалентность F ∼ F1 . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1353.2.4 Равномерная D ± -эквивариантная лемма Морса . . . . . . . . . . . . . . 1433.2.5 Равномерная лемма Морса для оснащенных функций Морса . . . . . . 147e оснащенных функций Морса при χ(M ) < 0. Связь с пермутоэдрами1483.3 Комплекс K3.3.1 Точные формулировки основных результатов . .
. . . . . . . . . . . . . 1493.3.2 Построение стандартных косых цилиндрических ручек Dst[f ]top и отображений инцидентности χ[f ]top ,[g]top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154e оснащенных функций Морса . . . . . . . . . . 1703.3.3 Построение комплекса Kf . . . . . . 1743.3.4 Построение гладкого стратифицированного многообразия M43.3.53.43.53.63.7e существованиеТопология косых цилиндрических ручек комплекса K,e →Ke и проекции Ke . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 175комплекса Ke оснащенных функций Морса . . . . . . . . . . 1803.3.6 Гомологии комплекса KfПространство модулей M ≈ F1 /D 0 оснащенных функций Морса, гомотопичеf при χ(M ) < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 183ская эквивалентность F1 ∼ D 0 × M3.4.1 Формулировка основных результатов . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 184f согласно §§3.3.2—3.3.4 . . 1873.4.2 Комбинаторное построение многообразия M3.4.3 Гомеоморфизм между универсальным пространством модулей F1 /D 0f . . . . . . . . . . . . . 189оснащенных функций Морса и многообразием M010f . . . . . . . . . . 1993.4.4 D -эквивариантный гомеоморфизм p3 : F → D × MСпециальные оснащенные функции Морса. Гомотопические эквивалентностиe при χ(M ) < 0 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202f∼KF1 ∼ F0 , M3.5.1 Ключевые понятия и формулировка основного результата . . . . . . . . 2033.5.2 Гомотопическая эквивалентность i4 : F0 ,→ F1 . . . . . . . . . . . . . . . 204e ∞ и деформационные3.5.3 D 0 -эквивариантный гомеоморфизм F0 ≈ D 0 × Ke ⊂Ke∞ ⊂ Mf . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 208ретракции Ke оснащенных функций Морса, исследование гомотопиПримеры комплексов Ke ∼Ke при χ(M ) < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210ческой эквивалентности K3.6.1 Примеры: топология и стратификация Максвелла пространств функцийnumnum(S 2 ) на торе и сфере . . . . . . . . . . 210(S 2 ) и F2,2,2Морса F1,2,1 (T 2 ), F1,2,3e Исследование гомотопической эк3.6.2 Несжимаемость ручек комплекса K.e ∼Ke комплексов функций Морса . .
