Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 13

Мы построим по функции f некоторый связный ориентированный граф Γ и Pзапишем в вершинах vэтого графа целые числа λ = λ(v), сумма которых окажется равной Nk=1 εk indxk (grad f ), тоесть нулю.Рис. 1.4. Множества Vk и RkОпишем построение графа Γ. Пусть c1 < · · · < cL — критические значения функции f .Выбрав малое число ε > 0, рассмотрим непересекающиеся множестваVk = f −1 [ck + ε, ck+1 − ε],и1 ≤ k ≤ L − 1,Rk = f −1 (ck )\{x1 , . . . , xN },2 ≤ k ≤ L − 1.См. рис. 1.4. Определим множества вершин {v} и ребер {r} графа Γ следующим образом.(i)(i)(i)Сопоставим каждой связной компоненте Vk из множества Vk = ∪i Vk одну вершину v = vk ,ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ(j)(j)40(j)а каждой связной компоненте Rk множества Rk = ∪j Rk сопоставим одно ребро r = rk(i)(рис.

1.4). Отметим, что каждое множество Vk диффеоморфно цилиндру S 1 × [ck + ε, ck+1 −(j)ε] и тривиально расслоено на линии уровня S 1 × {a} функции f . Каждое множество Rkдиффеоморфно окружности S 1 или прямой R.(j)Осталось задать концы каждого ребра rk . Выбрав на поверхности Mg риманову метрику,(j)выпустим из точек кривой Rk вниз и вверх траектории векторного поля grad f /|grad f |2 доих пересечения с множествами f −1 (ck − ε) и f −1 (ck + ε). Мы получим два диффеоморфизма(j)(s)кривой Rk , а именно, — на верхнее основание некоторого цилиндра Vk−1 и на нижнее осно(i)(j)вание некоторого цилиндра Vk . Определим концы ребра rk , поместив его начало в вершину(s)(i)vk−1 , а конец — в вершину vk (рис.

1.4).(i)Итак, вершины vk графа Γ изображают собой окружности, на которые распадается ти(j)пичная, регулярная линия уровня f −1 (a) при ck < a < ck+1 , а ребра rk графа Γ показываютнам движение отдельных участков этих окружностей вдоль траекторий поля grad f /|grad f |2 ,когда уровень a проходит критическое значение ck .Лемма 1.4.3.

Граф Γ конечен и связен.Доказательство. Для случая функции Морса это утверждение очевидно. Для случая произвольной гладкой функции с конечным числом критических точек оно тоже проверяетсяочень просто. Покажем, что число ребер у Γ конечно. Действительно, каждая некомпакт(j)ная кривая Rk лежит в f −1 (ck )\{x1 , . .

. , xN }, диффеоморфна R и соединяет путем какие-то(j)две критические точки, — скажем, x1 и x2 . Число всех таких кривых Rk не превосходитN + 2g − 2. Это следует из определения рода поверхности Mg [24] и того факта, что в каждойсвязной компоненте множества Mg \f −1 (ck ) найдется хотя бы одна критическая точка функции f . Отсюда следует (ввиду связности Mg \{x1 , . . . , xN }), что граф Γ конечен и связен.Лемма доказана.Перейдем к построению погружения поверхности Mg в R3 , реализующего f как функциювысоты.ШАГ 1. Сначала окружим критические точки x1 , . . . , xN функции f непересекающимисякоординатными окрестностями U1 , .

. . , UN и зададим вложение каждой окрестности Uk в R3по формуле:x 7→ (εk u1 (x), u2 (x), f (x)),где x ∈ Uk , а u1 , u2 — такие координаты в Uk , что индуцированная ориентация в Uk согласована с ориентацией Mg . Ясно, что положительная нормаль в точке xk к Mg действительнобудет иметь вид εk e.ШАГ 2. Продолжим построенные локальные вложения до какого-нибудь погружения множеств f −1 [ck − ε, ck + ε] в R3 , 1 ≤ k ≤ L, реализующего f как функцию высоты. Тогда для(i)каждого цилиндра Vk = S 1 × [ck + ε, ck+1 − ε] мы имеем погружение его граничных окружностей S 1 × {ck + ε} и S 1 × {ck+1 − ε} в соответствующие горизонтальные плоскости Π(ck + ε)(i)и Π(ck+1 − ε). Обозначим через λ(vk ) разность индексов этих окружностей:(i)λ(vk ) = indΠ(ck +ε) S 1 × {ck + ε} − indΠ(ck+1 −ε) S 1 × {ck+1 − ε}.Лемма 1.4.4.

Построенное погружение можно продолжить до погружения поверхности(i)Mg в R3 , реализующего f как функцию высоты, если и только если λ(vk ) = 0 для любой(i)вершины vk .Эта лемма легко следует из свойства (3) индекса кривой.(i)Итак, в частном случае, когда функция λ = λ(vk ) тождественно равна нулю, построениеискомого погружения можно успешно завершить.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ41(i)ШАГ 3.

В общем случае, — когда не все функции λ(vk ) равны нулю, — нам потребуетсяследующее утверждение.P(i)Лемма 1.4.5. Сумма всех чисел λ(vk ) равна Nk=1 εk indxk (grad f ).(i)Доказательство. Сумма всех λ(vk ) равна суммеL−1XindΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck+1 −ε) γck+1 −ε =k=1Ввиду равенствLXindΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck −ε) γck −ε .k=1(Ek0 )последняя сумма равнаNXεk indxk (grad f ).k=1Лемма доказана.(j)Следствие. Существует такая функция β = β(rk ) на множестве ребер графа Γ, что(j)β(rk ) является целым числом и λ = ∂β, где функции λ и β понимаются как 0–цепь и1–цепь графа Γ, а ∂ — обычный граничный оператор в пространстве цепей.(i)Доказательство. Ввиду условия (E) сумма всех λ(vk ) равна нулю. С учетом леммы 1.4.3(конечность и связность графа Γ), это гарантирует существование такой 1–цепи β, что λ =∂β.

Следствие доказано.(j)(j)Рис. 1.5. Добавление |β(rk )| петель к кривым Rk в плоскости Π(ck )(j)(j)Взяв теперь 1–цепь β = β(rk ), такую что λ + ∂β = 0, приделаем к каждой кривой Rk(j)в плоскости Π(ck ) петли нужной ориентации в количестве |β(rk )| (рис. 1.5). Рассмотримновое погружение поверхности f −1 [ck − ε, ck + ε] в R3 , реализующее f как функцию высоты.А именно, — в окрестностях критических точек новое погружение совпадает со старым, а на(j)(j)кривых Rk согласовано с погружением Rk в плоскость Π(ck ) с учетом добавленных петель.(j)(j)При этом разности λ = λ(vk ) заменятся на некоторые новые λ0 = λ0 (vk ). Покажем, что все(j)λ0 (vk ) равны нулю.Лемма 1.4.6. Имеет место равенство λ0 = λ + ∂β.(s)(i)(j)Доказательство.

Пусть vk−1 и vk — начало и конец ребра rk графа Γ. Тогда, при до(j)(j)бавлении петель нужной ориентации в количестве |β(rk )| к кривой Rk , индекс верхней(s)(i)окружности цилиндра Vk−1 и индекс нижней окружности цилиндра Vk , оба увеличатся на(j)β(rk ), а индексы остальных компонент кривых γck −ε и γck +ε не изменятся. Следовательно,P(i)(j)(i)разность λ(vk ) увеличилась на сумму +j β(rk ) по всем ребрам, входящим в вершину vk ,P(m)(i)и уменьшилась на сумму −m β(rk+1 ) по всем ребрам, выходящим из вершины vk . Такимобразом,+−XX(i)(j)(m)(i)0(λ − λ)(vk ) =β(rk ) −β(rk+1 ) = (∂β)(vk ).Лемма доказана.jmГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ42(i)Итак, по построению 1–цепи β, все разности λ0 = λ0 (vk ) равны нулю.

Значит, согласно лемме 1.4.4, мы можем продолжить наше новое погружение f −1 [ck − ε, ck + ε] в R3 донекоторого погружения Mg в R3 , реализующего f как функцию высоты.Достаточность доказана.Докажем пункт “б” теоремы 1.3.1. В случае функции Морса индексы всех особых точек(нулей) векторного поля grad f равны ±1. При этом, критических точек у функции Морсана ориентируемой поверхности Mg всегда четное число (поскольку сумма индексов всех критических точек равна 2 − 2g). Поэтому для любой функцииPN Морса всегда можно подобратьнабор чисел εk = ±1, чтобы удовлетворить тождеству k=1 εk indxk (grad f ) = 0.Таким образом, теорема 1.3.1 доказана полностью.1.5Реализуемость функции в виде функции высоты дляпогружений поверхности в неориентируемом случае(доказательство теоремы 1.3.2)В этом параграфе мы докажем теорему 1.3.2.

Идея доказательства, как в ориентируемомслучае, основана на построении по данной функции f некоторого связного ориентированного графа. Отличие от доказательства теоремы 1.3.1 связано с нестандартным определениемориентированной границы ∂ ребер графа Γ, при котором группа гомологий H0 (Γ, ∂) изоморфна группе Z2 .Пусть x1 , . . . , xN — критические точки функции f , c1 , . .

. , cL — критические значенияфункции f . Рассмотрим граф Γ = Γf , такой же, как и в ориентируемом случае (рис. 1.4). Напомним, что множества f −1 (ck , ck+1 ) распадаются на открытые цилиндры V = S 1 × (ck , ck+1 ),которым соответствуют вершины v графа Γ. Для упрощения обозначений, здесь мы бу(i)дем писать просто V вместо использовавшегося выше обозначения Vk . Далее, множестваf −1 (ck )\{x1 , . . . , xN } распадаются на замкнутые и незамкнутые кривые R, которым отвечаютребра r графа Γ. Здесь мы также будем писать просто R вместо использовавшегося выше(j)обозначения Rk .