Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей

Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 13

PDF-файл Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 13 Физико-математические науки (29543): Диссертация - Аспирантура и докторантураТопология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей: Физико-математические науки - PDF, страница 13 (29543) - СтудИзба2019-03-13СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой докторскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени доктора физико-математических наук.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 13 страницы из PDF

Мы построим по функции f некоторый связный ориентированный граф Γ и Pзапишем в вершинах vэтого графа целые числа λ = λ(v), сумма которых окажется равной Nk=1 εk indxk (grad f ), тоесть нулю.Рис. 1.4. Множества Vk и RkОпишем построение графа Γ. Пусть c1 < · · · < cL — критические значения функции f .Выбрав малое число ε > 0, рассмотрим непересекающиеся множестваVk = f −1 [ck + ε, ck+1 − ε],и1 ≤ k ≤ L − 1,Rk = f −1 (ck )\{x1 , . . . , xN },2 ≤ k ≤ L − 1.См. рис. 1.4. Определим множества вершин {v} и ребер {r} графа Γ следующим образом.(i)(i)(i)Сопоставим каждой связной компоненте Vk из множества Vk = ∪i Vk одну вершину v = vk ,ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ(j)(j)40(j)а каждой связной компоненте Rk множества Rk = ∪j Rk сопоставим одно ребро r = rk(i)(рис.

1.4). Отметим, что каждое множество Vk диффеоморфно цилиндру S 1 × [ck + ε, ck+1 −(j)ε] и тривиально расслоено на линии уровня S 1 × {a} функции f . Каждое множество Rkдиффеоморфно окружности S 1 или прямой R.(j)Осталось задать концы каждого ребра rk . Выбрав на поверхности Mg риманову метрику,(j)выпустим из точек кривой Rk вниз и вверх траектории векторного поля grad f /|grad f |2 доих пересечения с множествами f −1 (ck − ε) и f −1 (ck + ε). Мы получим два диффеоморфизма(j)(s)кривой Rk , а именно, — на верхнее основание некоторого цилиндра Vk−1 и на нижнее осно(i)(j)вание некоторого цилиндра Vk . Определим концы ребра rk , поместив его начало в вершину(s)(i)vk−1 , а конец — в вершину vk (рис.

1.4).(i)Итак, вершины vk графа Γ изображают собой окружности, на которые распадается ти(j)пичная, регулярная линия уровня f −1 (a) при ck < a < ck+1 , а ребра rk графа Γ показываютнам движение отдельных участков этих окружностей вдоль траекторий поля grad f /|grad f |2 ,когда уровень a проходит критическое значение ck .Лемма 1.4.3.

Граф Γ конечен и связен.Доказательство. Для случая функции Морса это утверждение очевидно. Для случая произвольной гладкой функции с конечным числом критических точек оно тоже проверяетсяочень просто. Покажем, что число ребер у Γ конечно. Действительно, каждая некомпакт(j)ная кривая Rk лежит в f −1 (ck )\{x1 , . .

. , xN }, диффеоморфна R и соединяет путем какие-то(j)две критические точки, — скажем, x1 и x2 . Число всех таких кривых Rk не превосходитN + 2g − 2. Это следует из определения рода поверхности Mg [24] и того факта, что в каждойсвязной компоненте множества Mg \f −1 (ck ) найдется хотя бы одна критическая точка функции f . Отсюда следует (ввиду связности Mg \{x1 , . . . , xN }), что граф Γ конечен и связен.Лемма доказана.Перейдем к построению погружения поверхности Mg в R3 , реализующего f как функциювысоты.ШАГ 1. Сначала окружим критические точки x1 , . . . , xN функции f непересекающимисякоординатными окрестностями U1 , .

. . , UN и зададим вложение каждой окрестности Uk в R3по формуле:x 7→ (εk u1 (x), u2 (x), f (x)),где x ∈ Uk , а u1 , u2 — такие координаты в Uk , что индуцированная ориентация в Uk согласована с ориентацией Mg . Ясно, что положительная нормаль в точке xk к Mg действительнобудет иметь вид εk e.ШАГ 2. Продолжим построенные локальные вложения до какого-нибудь погружения множеств f −1 [ck − ε, ck + ε] в R3 , 1 ≤ k ≤ L, реализующего f как функцию высоты. Тогда для(i)каждого цилиндра Vk = S 1 × [ck + ε, ck+1 − ε] мы имеем погружение его граничных окружностей S 1 × {ck + ε} и S 1 × {ck+1 − ε} в соответствующие горизонтальные плоскости Π(ck + ε)(i)и Π(ck+1 − ε). Обозначим через λ(vk ) разность индексов этих окружностей:(i)λ(vk ) = indΠ(ck +ε) S 1 × {ck + ε} − indΠ(ck+1 −ε) S 1 × {ck+1 − ε}.Лемма 1.4.4.

Построенное погружение можно продолжить до погружения поверхности(i)Mg в R3 , реализующего f как функцию высоты, если и только если λ(vk ) = 0 для любой(i)вершины vk .Эта лемма легко следует из свойства (3) индекса кривой.(i)Итак, в частном случае, когда функция λ = λ(vk ) тождественно равна нулю, построениеискомого погружения можно успешно завершить.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ41(i)ШАГ 3.

В общем случае, — когда не все функции λ(vk ) равны нулю, — нам потребуетсяследующее утверждение.P(i)Лемма 1.4.5. Сумма всех чисел λ(vk ) равна Nk=1 εk indxk (grad f ).(i)Доказательство. Сумма всех λ(vk ) равна суммеL−1XindΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck+1 −ε) γck+1 −ε =k=1Ввиду равенствLXindΠ(ck +ε) γck +ε − indΠ(ck −ε) γck −ε .k=1(Ek0 )последняя сумма равнаNXεk indxk (grad f ).k=1Лемма доказана.(j)Следствие. Существует такая функция β = β(rk ) на множестве ребер графа Γ, что(j)β(rk ) является целым числом и λ = ∂β, где функции λ и β понимаются как 0–цепь и1–цепь графа Γ, а ∂ — обычный граничный оператор в пространстве цепей.(i)Доказательство. Ввиду условия (E) сумма всех λ(vk ) равна нулю. С учетом леммы 1.4.3(конечность и связность графа Γ), это гарантирует существование такой 1–цепи β, что λ =∂β.

Следствие доказано.(j)(j)Рис. 1.5. Добавление |β(rk )| петель к кривым Rk в плоскости Π(ck )(j)(j)Взяв теперь 1–цепь β = β(rk ), такую что λ + ∂β = 0, приделаем к каждой кривой Rk(j)в плоскости Π(ck ) петли нужной ориентации в количестве |β(rk )| (рис. 1.5). Рассмотримновое погружение поверхности f −1 [ck − ε, ck + ε] в R3 , реализующее f как функцию высоты.А именно, — в окрестностях критических точек новое погружение совпадает со старым, а на(j)(j)кривых Rk согласовано с погружением Rk в плоскость Π(ck ) с учетом добавленных петель.(j)(j)При этом разности λ = λ(vk ) заменятся на некоторые новые λ0 = λ0 (vk ). Покажем, что все(j)λ0 (vk ) равны нулю.Лемма 1.4.6. Имеет место равенство λ0 = λ + ∂β.(s)(i)(j)Доказательство.

Пусть vk−1 и vk — начало и конец ребра rk графа Γ. Тогда, при до(j)(j)бавлении петель нужной ориентации в количестве |β(rk )| к кривой Rk , индекс верхней(s)(i)окружности цилиндра Vk−1 и индекс нижней окружности цилиндра Vk , оба увеличатся на(j)β(rk ), а индексы остальных компонент кривых γck −ε и γck +ε не изменятся. Следовательно,P(i)(j)(i)разность λ(vk ) увеличилась на сумму +j β(rk ) по всем ребрам, входящим в вершину vk ,P(m)(i)и уменьшилась на сумму −m β(rk+1 ) по всем ребрам, выходящим из вершины vk . Такимобразом,+−XX(i)(j)(m)(i)0(λ − λ)(vk ) =β(rk ) −β(rk+1 ) = (∂β)(vk ).Лемма доказана.jmГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ42(i)Итак, по построению 1–цепи β, все разности λ0 = λ0 (vk ) равны нулю.

Значит, согласно лемме 1.4.4, мы можем продолжить наше новое погружение f −1 [ck − ε, ck + ε] в R3 донекоторого погружения Mg в R3 , реализующего f как функцию высоты.Достаточность доказана.Докажем пункт “б” теоремы 1.3.1. В случае функции Морса индексы всех особых точек(нулей) векторного поля grad f равны ±1. При этом, критических точек у функции Морсана ориентируемой поверхности Mg всегда четное число (поскольку сумма индексов всех критических точек равна 2 − 2g). Поэтому для любой функцииPN Морса всегда можно подобратьнабор чисел εk = ±1, чтобы удовлетворить тождеству k=1 εk indxk (grad f ) = 0.Таким образом, теорема 1.3.1 доказана полностью.1.5Реализуемость функции в виде функции высоты дляпогружений поверхности в неориентируемом случае(доказательство теоремы 1.3.2)В этом параграфе мы докажем теорему 1.3.2.

Идея доказательства, как в ориентируемомслучае, основана на построении по данной функции f некоторого связного ориентированного графа. Отличие от доказательства теоремы 1.3.1 связано с нестандартным определениемориентированной границы ∂ ребер графа Γ, при котором группа гомологий H0 (Γ, ∂) изоморфна группе Z2 .Пусть x1 , . . . , xN — критические точки функции f , c1 , . .

. , cL — критические значенияфункции f . Рассмотрим граф Γ = Γf , такой же, как и в ориентируемом случае (рис. 1.4). Напомним, что множества f −1 (ck , ck+1 ) распадаются на открытые цилиндры V = S 1 × (ck , ck+1 ),которым соответствуют вершины v графа Γ. Для упрощения обозначений, здесь мы бу(i)дем писать просто V вместо использовавшегося выше обозначения Vk . Далее, множестваf −1 (ck )\{x1 , . . . , xN } распадаются на замкнутые и незамкнутые кривые R, которым отвечаютребра r графа Γ. Здесь мы также будем писать просто R вместо использовавшегося выше(j)обозначения Rk .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее