Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 17

Докажем, что пространство Fp,q(Mµ )/D(Mµ ) таких функций,рассматриваемых с точностью до автоморфизмов поверхности, также связно. В самом деле,как и в ориентируемом случае, осталось проверить, что любую перестановку на множествевнутренних вершин (т.е. не являющихся концами) канонического графа W ∗ (µ, p, q) можнополучить конечным числом допустимых перестроек, не затрагивающих его концов. Но ввиду связности этого графа любая перестановка его внутренних вершин реализуется в видеГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ53последовательности перестановок его соседних внутренних вершин. Каждую перестановкусоседних внутренних вершин графа W ∗ (µ, p, q) легко реализовать с помощью допустимыхперестроек типа I, II, I’, IV’, V’ (см.

рис. 1.14).Предложение 1.6.5 полностью доказано.Отметим следующее следствие из леммы 1.6.8 и ее аналога в неориентируемом случае.Следствие 1.6.10. В случае сферы S 2 и проективной плоскости RP 2 пространство всехпростых функций Морса f на M с одним и тем же (фиксированным) нумерованным графомКронрода–Риба Wfnum = W num линейно связно.Замечание. Доказательство леммы 1.6.9 дает алгоритм, по которому для любой простойфункции Морса на замкнутой поверхности M можно построить изотопию, связывающуюпутем в пространстве всех функций Морса эту функцию с некоторой функцией канонического вида k ◦ φ.

Здесь k — фиксированная простая функция Морса с каноническим графомКронрода–Риба W (g, p, q) или W ∗ (µ, p, q), φ ∈ D(M ). При этом указанная изотопия являетсяпутем общего положения в смысле определения 1.6.7, т.е. в процессе изотопии производитсялишь конечное число простых перестроек, — при которых имеется связная компонента линииуровня с двумя критическими точками.1.7Топология пространства всех погружений с даннойфункцией высоты. Регулярная гомотопность гладкихпогружений сферы в трехмерном пространствеОпределение 1.7.1. Два погружения α0 и α1 поверхности M в R3 назовем регулярно гомотопными, если их можно соединить гладким путем ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всехпогружений M в R3 .Рассмотрим пространство Imm(M, R3 ) всех гладких погружений поверхности M в R3 .Это пространство называется связным, если любые два погружения α0 и α1 из Imm(M, R3 )регулярно гомотопны.Предложение 1.7.2.

В случае двумерной сферы M = S 2 пространство Imm(S 2 , R3 ) связно.Другими словами, любые два погружения α0 и α1 сферы S 2 в R3 можно соединить гладкимпутем αt , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех гладких погружений сферы в R3 .В частности, из предложения 1.7.2 следует известный “парадокс Смейла” ([121, 17]) о том,что двумерную сферу можно “вывернуть наизнанку”. Это значит, что существует гладкаядеформация αt , 0 ≤ t ≤ 1, погружений сферы в R3 , соединяющая одно стандартное вложениесферы α0 : S 2 ,→ R3 , у которого положительное поле нормалей направлено наружу сферы,с другим стандартным вложением сферы α1 : S 2 ,→ R3 , у которого положительное поленормалей направлено внутрь сферы.Замечание.

В работе Смейла [121] доказано, в частности, что стандартную n–мерную сферуS n можно “вывернуть наизнанку” в Rn+1 тогда и только тогда, когда n = 2 или 6.Замечание. Наглядная реализация выворачивания двумерной сферы S 2 в R3 была такжепостроена Арнольдом Шапиро и Б. Морином [73] (см. также [36]). Отметим, что пространствоImm(S 2 , R3 ) связно [121], но не является односвязным. А именно, замкнутый путь γ, определяемый равномерным вращением погруженной поверхности вокруг оси z на угол 2π, нестягиваем в Imm(S 2 , R3 ).

Поэтому существуют разные способы выворачивания сферы наизнанку.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ54Однако, если профакторизовать пространство Imm(S 2 , R3 ) по группе D 0 (S 2 ) всех диффеоморфизмов сферы на себя, изотопных тождественному, то полученное накрывающее пространство уже будет односвязным. Это следует из того, что указанный путь γ в Imm(S 2 , R3 )реализуется очевидным путем в группе D 0 (S 2 ) и, согласно общему результату Смейла [121],этот путь служит образующей в фундаментальной группе пространства Imm(S 2 , R3 ).

Отметим также, что группа D 0 (S 2 ) совпадает с группой всех сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов сферы на себя [37]. Из односвязности пространства Imm(S 2 , R3 )/D 0 (S 2 ) сразуполучаем, что любые два выворачивания сферы наизнанку (обычно рассматриваемые с точностью до автоморфизмов сферы, изотопных тождественному) регулярно гомотопны другдругу.Докажем сначала два вспомогательных утверждения. Фиксируем замкнутую поверхностьM = Mg или Mµ (т.е. ориентируемую или неориентируемую). Фиксируем гладкую функциюf на поверхности M .

Обозначим через Immf (M, R3 ) пространство всех погружений M в R3 ,реализующих f как функцию высоты. Обозначим через Immf,+ (M, R3 ) подпространство впространстве Immf (M, R3 ), состоящее из всех погружений, для которых фиксировано направление положительной нормали в каждой критической точке f . Здесь предполагается,что в ориентируемом случае фиксирована некоторая ориентация поверхности, а в неориентируемом случае фиксированы некоторые ориентации окрестностей критических точекфункции f .

Можно дать другое, эквивалентное, определение пространства Immf,+ (M, R3 ).Определение 1.7.3. Два погружения α0 , α ∈ Immf (M, R3 ) назовем нормально эквивалентными, если для любой точки x ∈ M существует путь αt , 0 ≤ t ≤ 1, в пространствеImmf (M, R3 ), такой, что погружения α1 и α совпадают в некоторой окрестности точки x.Каждый класс нормально эквивалентных погружений пространства Immf (M, R3 ) будем обозначать через Immf,+ (M, R3 ).Легко видеть, что два данных определения пространства Immf,+ (M, R3 ) эквивалентны.Далее будем предполагать, что функция f имеет конечное число критических точек.

Заметим, что, теорема 1.3.1–а дает простой критерий того, что пространство Immf,+ (Mg , R3 )непусто, а по теореме 1.3.2 каждое пространство Immf,+ (Mµ , R3 ) непусто. Исследуем вопросо связности пространства Immf,+ (M, R3 ).Теорема 1.7.4. Пусть f — гладкая функция с конечным числом критических точек назамкнутой поверхности M = Mg или Mµ (т.е. ориентируемой или неориентируемой).Фиксируем какое-нибудь погружение α0 ∈ Immf,+ (M, R3 ), т.е.

погружение M в R3 , реализующее f как функцию высоты с заданными направлениями нормалей в критических точках. Тогда имеется естественная биекция между связными компонентами пространстваImmf,+ (M, R3 ) и элементами группы H 1 (M ; Z) ' Z2g или Z2 +Zµ−1 одномерных когомологийповерхности M .Замечание.

В частности, из теоремы 1.7.4 следует, что в случае гладкой функции f с конечным числом критических точек на сфере указанное пространство Immf,+ (S 2 , R3 ) связно.Другими словами, любые два погружения сферы в R3 , реализующие данную функцию f какфункцию высоты, и имеющие в каждой критической точке f фиксированное направлениенормали, можно соединить путем в пространстве всех таких погружений.Теорема 1.7.5. Пусть ft : M → R, 0 ≤ t ≤ 1, — гладкий путь в пространстве всехфункций Морса на замкнутой поверхности M . Пусть α0 ∈ Immf0 (M, R3 ) — некоторое погружение M в R3 , реализующее простую функцию Морса f0 как функцию высоты. Тогдасуществует гладкий путь αt ∈ Immft (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех погружений M в R3 , такой, что при любом t погружение αt реализует функцию ft как функциювысоты. Пространство всех таких путей αt ∈ Immft (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, связно.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ55Доказательства теорем 1.7.4 и 1.7.5 мы приведем ниже.

А пока выведем предложение 1.7.2из этих теорем и из теоремы 1.6.2 (о связности пространства функций Морса с фиксированным числом минимумов и максимумов на сфере, и с фиксированным порядком на множествекритических точек каждого типа). Идея этого доказательства будет затем продемонстрирована на примере выворачивания сферы наизнанку.Доказательство предложения 1.7.2.

Пусть α0 , α1 : S 2 → R3 — любые два погружения сферы в R3 . Покажем, что их можно соединить гладким путем в пространстве всех погруженийImm(S 2 , R3 ).Шаг 1. Рассмотрим малую деформацию αt , t ∈ [0, ε]∪[1−ε, 1], погружений α0 и α1 , при которой их функции высоты f0 , f1 : S 2 → R, станут простыми функциями Морса. Для каждойиз полученных функций высоты fε и f1−ε рассмотрим число p+ минимумов, в которых положительная нормаль к погруженной поверхности направлена вверх, число p− минимумов,в которых положительная нормаль направлена вниз, число максимумов q+ , в которых положительная нормаль направлена вверх, и число q− минимумов, в которых положительнаянормаль направлена вниз.Рис. 1.15.

Порождение двух пар критических точек с сонаправленными нормалямиВообще говоря, для погружений αε и α1−ε четверки чисел p+ , p− , q+ и q− могут не совпадать. Однако эти четверки чисел нетрудно уравнять для погружений αε и α1−ε при помощи “рождений” нужного числа точек минимума и максимума у функций высоты, с нужными направлениями положительных нормалей в них, взяв подходящие деформации αt ,t ∈ [ε, 2ε] ∪ [1 − 2ε, 1 − ε], погружений αε и α1−ε , см. рис.

1.15. Заметим, что в силу равенства(E) теоремы 1.3.1–а числа r+ и r− седловых точек функции высоты, в которых положительная нормаль направлена соответственно вверх и вниз, для погружений α2ε и α1−2ε такжесовпадают.В частности, функции высоты f2ε и f1−2ε для построенных погружений α2ε и α1−2ε имеютодинаковое число минимумов, максимумов и седел, т.е. лежат в одном и том же пространствеF(S 2 , p+ + p− , q+ + q− ).Шаг 2. Для любого погружения α : S 2 → R3 рассмотрим множество C(f ) критическихточек его функции высоты f , и разбиение этого множества на подмножества C+ (f ) и C− (f ),в которых положительная нормаль к погруженной поверхности направлена соответственновверх и вниз.