Симплектические многообразия с контактными особенностями, страница 2

Èññëåäîâàòü âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè èíòåãðàëîâ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì,ñâÿçàííûõ ñ âûðîæäåíèÿìè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.3. Èçó÷èòü ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé â òî÷êàõ âûðîæäåíèÿñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû è íàéòè óñëîâèÿ èõ êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè.4. Ââåñòè ðàçóìíûå îãðàíè÷åíèÿ íà ñïîñîá âûðîæäåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû, ïîçâîëÿþùèå ïîëó÷èòü àíàëîã òåîðåìû Äàðáó.5.Íàéòèàíàëîãñèìïëåêòè÷åñêèõòåîðåìûìíîãîîáðàçèÿõËèóâèëëÿñäëÿèíòåãðèðóåìûõîñîáåííîñòÿìè,êîòîðûåñèñòåìíàóäîâëåòâîðÿþòââåäåííûì îãðàíè÷åíèÿì.6. Íàéòè ôèçè÷åñêè ñîäåðæàòåëüíûå ïðèìåðû ñèìïëåêòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåéêîðàíãà 2k > 2, âîçíèêàþùèõ íà ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.Âñåðåçóëüòàòûäèññåðòàöèîííîéðàáîòû,çàèñêëþ÷åíèåìñïðàâî÷íîãîìàòåðèàëà §§ 1.1, 2.1, 4.1, ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è ïîëó÷åííûìè ñàìîñòîÿòåëüíî.1. Äîêàçàíî ñóùåñòîâîâàíèå çàìêíóòîé, ïî÷òè âñþäó íåâûðîæäåííîé 2-ôîðìûíà ëþáîì ÷åòíî-ìåðíîì ìíîãîîáðàçèè(òåîðåìà 3 § 1.2).2.

Íà ìíîãîîáðàçèÿõ ñ ñèìïëåêòè÷åñêîé èëè ïî÷òè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé,èìåþùåé îñîáåííîñòè îáùåãî ïîëîæåíèÿ, îïèñàíî òèïè÷íîå ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèåãàìèëüòîíîâûõ ïîòîêîâ â òî÷êàõ âûðîæäåíèÿ ñ äâóìåðíûì ÿäðîì.(òåîðåìà 4, ñëåäñòâèå 1, ïðåäëîæåíèå 2 § 1.2)3.Íàéäåíêðèòåðèéñóùåñòâîâàíèÿ÷àñòíîãîèíòåãðàëàãàìèëüòîíîâîéñèñòåìû, ñâÿçàííîãî ñ âûðîæäåíèåì ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû íà èíâàðèàíòíîìïîäìíîãîîáðàçèè.(òåîðåìà 5, ïðåäëîæåíèå 5 § 1.3, ïðåäëîæåíèå 4 § 2.2)4.ÎáîñíîâàíàïðèìåíèìîñòüòåîðèèèíâàðèàíòîâÔîìåíêî-Öèøàíãàêèíòåãðèðóåìûì ñèñòåìàì îáùåãî ïîëîæåíèÿ, çàäàííûì íà ìíîãîîáðàçèÿõ ñ6îñîáåííîñòÿìè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.(òåîðåìà 3 § 2.2)5.

 èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Î.È. Áîãîÿâëåíñêîãî óòî÷íåíû çíà÷åíèÿ ε - ìåòîêâ èíâàðèàíòàõ Ôîìåíêî-Öèøàíãà (ðèñ. 4), äîêàçàíà êîíòàêòíîñòü âñåõ òî÷åêâûðîæäåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû, îïèñàíî ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ïîòîêîâèíòåãðàëîâ íà îñîáîé ãèïåðïîâåðõíîñòè è óñòàíîâëåí åå òîïîëîãè÷åñêèé òèï.(ï. 2.3.2, ïðåäëîæåíèå 7 § 2.3)6. Ââåäåíî óñëîâèå êîíòàêòíîñòè îñîáûõ òî÷åê ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû,êîòîðîå îáîáùàåò òèïè÷íûå âûðîæäåíèÿ ñ äâóìåðíûì ÿäðîì è ÿâëÿåòñÿñâîéñòâîì îáùåãî ïîëîæåíèÿ äëÿ çàìêíóòûõ 2-ôîðì, âûðîæäàþùèõñÿ â òî÷êàõãèïåðïîâåðõíîñòè.(îïðåäåëåíèå 1 § 3.1)7.Íàéäåíîóñëîâèåêîíòàêòíîñòèòî÷åêâûðîæäåíèÿñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû, èíäóöèðîâàííîé íà ÷åòíî-ìåðíîé ïîâåðõíîñòè â ñèìïëåêòè÷åñêîììíîãîîáðàçèè.(ïðåäëîæåíèå 2 § 3.1)8. Íàéäåí êðèòåðèé êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé âêîíòàêòíûõ òî÷êàõ âûðîæäåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.(òåîðåìà 1, ïðåäëîæåíèå 3 § 3.1)9.

Äîêàçàíà ãàìèëüòîíîâîñòü ôàçîâûõ ïîòîêîâ, ñîõðàíÿþùèõ ñèìïëåêòè÷åñêóþôîðìó ñ êîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè.(ïðåäëîæåíèÿ 6, 7 § 3.2)10. Äîêàçàí àíàëîã òåîðåìû Äàðáó è íàéäåí êàíîíè÷åñêèé âèä çàìêíóòîé 2ôîðìû â îêðåñòíîñòè êîíòàêòíîé òî÷êè.(òåîðåìà 3 § 3.1)11.

Îïèñàíû êàíîíè÷åñêèå ñòðóêòóðû Ëè è (èëè) êîíòàêòíûå ñòðóêòóðû íàãèïåðïîâåðõíîñòÿõ, ñîñòîÿùèõ èç êîíòàêòíûõ òî÷åê âûðîæäåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû.(òåîðåìà 5, ñëåäñòâèÿ 4,5,6 § 3.2, ïðåäëîæåíèå 10 § 3.3)12. Äîêàçàíà ðåàëèçóåìîñòü êîíòàêòíûõ ìíîãîîáðàçèé ãèïåðïîâåðõíîñòÿìè,ñîñòîÿùèìè èç êîíòàêòíûõ òî÷åê âûðîæäåíèÿ íåêîòîðûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ñòðóêòóð(êîíñòðóêöèÿ S - ñèìïëåêòèçàöèè). Àíàëîãè÷íûé ëîêàëüíûé ðåçóëüòàò ïîëó÷åí äëÿíå÷åòíî-ìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé Ëè ñ íå÷åòíî-ìåðíûìè ñëîÿìè.(îïðåäåëåíèå 4, ïðåäëîæåíèå 9 § 3.2), ïðåäëîæåíèå 8 § 3.2)713.Íàéäåíàêîíñòðóêöèÿêîíòàêòíî-ñâÿçíîéñóììûñèìïëåêòè÷åñêèõìíîãîîáðàçèé, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò íà ñâÿçíîé ñóììå ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ñêîíòàêòíûìè âûðîæäåíèÿìè.(îïðåäåëåíèå 5 § 3.2)14.

Äîêàçàíà òåîðåìà Ìîçåðà î íåòðèâèàëüíîñòè 2-ìåðíûõ êîãîìîëîãèé äå-Ðàìà(òåîðåìà 4 § 3.1).15. Èçó÷åíî òèïè÷íîå ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé â êîíòàêòíûõòî÷êàõ.(òåîðåìà 6 § 3.3).16. Äîêàçàíû àíàëîãè òåîðåìû Ëèóâèëëÿ äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, çàäàííûõíà ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ ñ êîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè (òåîðåìû 7,8,ïðåäëîæåíèÿ 15, 16 § 3.3).17.

Äîêàçàíî, ÷òî ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîå ýëåêòðîìàãíîå ïîëå, íåçàâèñèìîîò ïðîèñõîæäåíèÿ, èìååò íóëåâóþ ìàãíèòíóþ è ðàäèàëüíóþ ýëåêòðè÷åñêóþêîìïîíåíòû.(ïðåäëîæåíèå 1 § 4.1)18. Íàéäåíû ïðèìåðû êîíòàêòíûõ âûðîæäåíèé òåíçîðà ýëåêòðîìàãíîãî ïîëÿ.(ïðèìåð 3 § 4.2, ïðèìåðû 4, 5 § 4.3)19. Èçó÷åíà ãåîìåòðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âáëèçè êîíòàêòíîé òî÷êèíóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòè.(òåîðåìà 1 § 4.2)20. Èçó÷åíà êàíîíè÷åñêàÿ êîíòàêòíàÿ ñòðóêòóðà íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòèýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.(ñëåäñòâèå 1 § 4.2, ïðåäëîæåíèå 4 § 4.3)21.Äëÿýëåêòðîìàãíèòíûõïîëåéñîñôåðè÷åñêèìôðîíòîìââåäåíûêàëèáðîâî÷íûå óñëîâèÿ íà ïîòåíöèàëû, îáåñïå÷èâàþùèå îáíóëåíèå çàðÿäîâ íàíóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòè.(ïðåäëîæåíèå 3 § 4.3, ïðåäëîæåíèå 6 § 4.4)22. Ïîëó÷åíû äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ I ïîðÿäêà äëÿ ïîòåíöèàëîâ ïîëÿâ áåñêîíå÷íî òîíêîì ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîì ñëîå, ïðèëåãàþùåì ê ñâåòîâîìóêîíóñó.(ïðåäëîæåíèå 5 § 4.3)8Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè, âûíîñèìûå íà çàùèòó.1.

 ïðåäìåòíóþ îáëàñòü òåîðèè èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà âêëþ÷åíûèíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû îáùåãî ïîëîæåíèÿ, çàäàííûå íà 4-ìåðíûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõìíîãîîáðàçèÿõ ñ òèïè÷íûìè îñîáåííîñòÿìè (òåîðåìà 3 § 2.2).2. Íàéäåíû óñëîâèÿ âûðîæäåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ñòðóêòóð, îáåñïå÷èâàþùèåêîððåêòíóþ îïðåäåëåííîñòü ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé ïðè íåêîòîðîì åñòåñòâåííîì,èçâåñòíîì îãðàíè÷åíèè (îïðåäåëåíèå 1 ï. 3.1.2, òåîðåìà 1 ï. 3.1.3).3. Íàéäåí êàíîíè÷åñêèé âèä ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû â îêðåñòíîñòèêîíòàêòíîé òî÷êè (òåîðåìà 3 ï. 3.1.4).4. Îïèñàíî òèïè÷íîå ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé â êîíòàêòíûõòî÷êàõ (òåîðåìà 6 ï.

3.3.1).5. Äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, çàäàííûõ íà ìíîãîîáðàçèÿõ ñ êîíòàêòíûìèîñîáåííîñòÿìè, äîêàçàíû àíàëîãè òåîðåìû Ëèóâèëëÿ (òåîðåìû 7, 8 ï. 3.3.2)6. Ïðåäëîæåíà êîíñòðóêöèÿ êîíòàêòíî-ñâÿçíîé ñóììû ñèìïëåêòè÷åñêèõìíîãîîáðàçèé (îïðåäåëåíèå 5 ï. 3.2.4).7. Èçó÷åíà ãåîìåòðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âáëèçè êîíòàêòíîé òî÷êè íóëåâîéãèïåðïîâåðõíîñòè (òåîðåìà 1 § 4.2).Àïðîáàöèÿ ðàáîòû.Íà ïðîòÿæåíèè ðàáîòû (2000 2010) ðåçóëüòàòû ïåðèîäè÷åñêè äîêëàäûâàëèñüíà ñåìèíàðàõ À.Ò. Ôîìåíêî "Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû", à òàêæåíà ñåìèíàðàõ êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé ÌÃÓ.Ïðåäñòàâëÿëèñü íà ñëåäóþùèõ êîíôåðåíöèÿõ:1. 8 ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ "Óñòîé÷èâîñòü, óïðàâëåíèå è äèíàìèêàòâåðäîãî òåëà", ÈÏÌÌ ÍÀÍ Óêðàèíû, ã.

Äîíåöê, 2002ã.,2. Ìåæäóíàðîäíàÿ þáèëåéíàÿ êîíôåðåíöèÿ "Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è äèíàìèêèòâåðäîãî òåëà", ÈÏÌÌ ÍÀÍ Óêðàèíû, ã. Äîíåöê, 2004ã.,3. Ìåæäóíàðîäíàÿ òîïîëîãè÷åñêàÿ êîíôåðåíöèÿ "Àëåêñàíäðîâñêèå ÷òåíèÿ", ã.Ìîñêâà, ÌÃÓ, 2006ã.9Ïóáëèêàöèè ïî òåìå äèññåðòàöèè.1.

Zotev D.B. Fomenko-Zieschang Invariant in the Bogoyavlenskyi Integrable Case.Regular & chaotic dynamics, 5 (2000),  4, 437-458.2. Çîòüåâ Ä.Á. Î ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ìíîãîîáðàçèé ñ ïî÷òè âñþäóíåâûðîæäåííîé çàìêíóòîé 2-ôîðìîé. Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, 76 (2004), âûï. 1,66-77.3. Çîòüåâ Ä.Á. Ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â SO(2) - ñèììåòðè÷íîìäâîéíîì ñèëîâîì ïîëå. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà, 34(2004), 66-71.4. Çîòüåâ Ä.Á.

Ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ I êëàññà Àïïåëüðîòà âîë÷êà Êîâàëåâñêîé âìàãíèòíîì ïîëå. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, 12 (2006),  1, 95128.5. Çîòüåâ Ä.Á. Îá îäíîì ÷àñòíîì èíòåãðàëå, êîòîðûé ìîæíî èçâëå÷ü èçìàòðèöû Ïóàññîíà. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà. 3 (2007)  1, 75-80.6. Çîòüåâ Ä.Á. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ çàìêíóòûõ 2-ôîðì. Ìàòåìàòè÷åñêèéñáîðíèê, 198 (2007),  4, 47-78.7. Zotev D.B. On a partial integral which can be derived from Poisson Matrix. Regular& chaotic dynamics, 12 (2007),  1, 81-85.8.

Çîòüåâ Ä.Á. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ òåíçîðà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.Âåñòíèê ÌÝÈ, (2011),  2, (â ïå÷àòè).Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè.Îáúåì äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû ñîñòàâëÿåò 217 ñòðàíèö â ôîðìàòå LaTEX article, 12 pt. Îíà ñîñòîèò èç îáùåé õàðàêòåðèñòèêè ðàáîòû, ÷åòûðåõ ãëàâ îñíîâíîãîòåêñòà íà 184 ñòðàíèöàõ, ñïèñêà ëèòåðàòóðû è 14 ðèñóíêîâ. Îïðåäåëåíèÿ, òåîðåìû,ñëåäñòâèÿ, ïðåäëîæåíèÿ, ëåììû, çàìå÷àíèÿ è ïðèìåðû èìåþò íóìåðàöèþ, êîòîðàÿâ êàæäîé ãëàâå íà÷èíàåòñÿ ñ  1.  íîìåðå êàæäîé ôîðìóëû ñîäåðæèòñÿ óêàçàòåëüòåêóùåé ãëàâû.  ññûëêàõ çà ïðåäåëû òåêóùåé ãëàâû óêàçûâàåòñÿ ãëàâà, ïàðàãðàôèëè ïîäïóíêò.Àâòîð ãëóáîêî ïðèçíàòåëåí ñâîåìó íàó÷íîìó êîíñóëüòàíòó ïðîôåññîðó À.Â.Áîëñèíîâó, à òàêæå àêàäåìèêó À.Ò.

Ôîìåíêî çà âíèìàíèå ê ðàáîòå è íåîöåíèìóþìîðàëüíóþ ïîääåðæêó íà âñåì åå ïðîòÿæåíèè.10Ãëàâà 1. Ââåäåíèå.Íà ïðîòÿæåíèè ðàáîòû âñå îáúåêòû (ôóíêöèè, ìíîãîîáðàçèÿ, ïîëÿ èò.ä.) ïðåäïîëàãàþòñÿ ãëàäêèìè êëàññà C ∞ . Ïîäìíîãîîáðàçèåì íàçûâàåòñÿãîìåîìîðôíî âëîæåííîå ìíîãîîáðàçèå (ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü).§1.1.

Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ è êîíòàêòíàÿ ãåîìåòðèÿ.Ðàññìîòðèì ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå M ðàçìåðíîñòè 2n ≥ 2, íà êîòîðîì çàäàíàäèôôåðåíöèàëüíàÿ 2-ôîðìà ω . Åñëè â êàæäîé òî÷êå M èìååò ìåñòî dω = 0 èdet(ω) 6= 0, òî ïàðà (M, ω) ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì ìíîãîîáðàçèåì, à ôîðìàω íàçûâàåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé íà M . Ñîãëàñíî òåîðåìå Äàðáó, âîêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè M ñóùåñòâóþò ò.í. êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû (p, q), âêîòîðûõω=nXdpi ∧ dqi .i=1 êîîðäèíàòàõ (p1 , q1 , ..., pn , qn ) ìàòðèöà ôîðìû ω èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíûé âèä0 1 −1 00 1.−1 0...0 1 −1 0Ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïîëåì âèäàXi =2nXω ijj=1∂H,∂xj1 ≤ i ≤ 2n,êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé H : M → R (ãàìèëüòîíèàíîì) íàñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (M, ω).

Çäåñü (ω ij ) îáðàòíàÿ ìàòðèöà ôîðìûω=2nXωij dxi ∧ dxj .1≤i<jÂåêòîðíîå ïîëå X îáîçíà÷àåòñÿ sgrad(H) [30] è îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâîìω(v, X) = dH(v)∀v ∈ Tx M11∀x ∈ M .Ãàìèëüòîíîâ ïîòîê ñîõðàíÿåò ôîðìó ω , ò.å. Lξ ω = 0. Îáðàòíî: âñÿêîå âåêòîðíîåïîëå ñ ôàçîâûì ïîòîêîì, ñîõðàíÿþùèì ôîðìó ω , ëîêàëüíî ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì. êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ âåêòîðíîìó ïîëþ sgrad(H) îòâå÷àþò êëàññè÷åñêèåóðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà:ṗi = −∂H∂qiq̇i =∂H,∂pi1 ≤ i ≤ n.Äëÿ ëþáîé ïàðû ãëàäêèõ ôóíêöèé F è G îïðåäåëåíà ñêîáêà Ïóàññîíà:{F, G} = ω(sgrad(F ), sgrad(G)) = dG(sgrad(F )) = −dF (sgrad(G)).Ñ åå ïîìîùüþ ñèñòåìà sgrad(H) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ẋi = {H, xi }.

 ïðîñòðàíñòâåC ∞ (M ) îïåðàöèÿ {·, ·} çàäàåò ñòðóêòóðó àëãåáðû Ëè.  êîîðäèíàòàõ:¶2nn µXX∂F ∂G∂F ∂Gij ∂F ∂G{F, G} =ω=−.∂xj ∂xi∂pk ∂qk ∂qk ∂pki,j=1k=1Ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì ñèñòåìû sgrad(H) òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà {F, H} = 0. Ãàìèëüòîíèàí H âñåãäà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì sgrad(H)(ò.ê.{H, H} = 0). Äëÿ ïîëíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû sgrad(H) íà 2n - ìåðíîììíîãîîáðàçèè M äîñòàòî÷íî íàéòè òàêèå èíòåãðàëû F1 , . . . , Fn−1 , ÷òî {Fi , Fj } = 0è ôóíêöèè H, F1 , . . . , Fn−1 ïî÷òè âñþäó íåçàâèñèìû íà M . Åñëè îíè ñóùåñòâóþò, òîñèñòåìà íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ. Óäîáíî îáîçíà÷àòü Fn = H .