Симплектические многообразия с контактными особенностями, страница 10

Åñëè åå ñåïàðàòðèñíàÿ äèàãðàììà îðèåíòèðóåìà, òî â ïðåäåëå ïðè ε → 0îêðóæíîñòü λ ñîâïàäàåò ñ Sc1 . Åñëè ñåïàðàòðèñíàÿ äèàãðàììà íåîðèåíòèðóåìà, òîâ ïðåäåëå îêðóæíîñòü λ ñêëåèâàåòñÿ âäâîå, äâóëèñòíî íàêðûâàÿ Sc1 . Èìåííî òàêe S 1 íàêðûâàåò îñåâóþ îêðóæíîñòü 0 × S 1 , êîãäà îòðåçîêãðàíèöà ëèñòà Ìåáèóñà D1 ×D1 = [−1; 1] ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó 0.  ëþáîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå ïåðèîäè÷åñêîéòðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad H , ïîðîæäàþùåé îêðóæíîñòü Sc1 , ïåðåíîñèòñÿ íà öèêë λ.Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûé öèêë λ íà ãðàíèöå ñåäëîâîãî àòîìà îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî.Öèêë µ âñåãäà äîïîëíÿåò öèêë λ äî ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîãî áàçèñà,òàê ÷òî i(λ, µ) = 1.

Öèêë µ îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî, ò.ê. ýòèì æå ñâîéñòâîìîáëàäàåò öèêë kλ + µ äëÿ ëþáîãî k ∈ Z. Íà ãðàíèöå àòîìà A òàêîé öèêë µ ìîæíîâûáðàòü ïðîèçâîëüíî, îäíàêî åãî îðèåíòàöèÿ äîëæíà îïðåäåëÿòüñÿ ýêñòðåìàëüíîéêðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòü Sñ1 , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îñüþ ïîëíîòîðèÿ A.

Ïîñêîëüêóïðè ε → 0 îêðóæíîñòü µ ⊂ F −1 (fc ± ε) ãîìîòîïèðóåòñÿ íà Sñ1 , íàïðàâëåíèåïîðîæäàþùåé Sñ1 òðàåêòîðèè sgrad H îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ öèêëà µ. Çàìåòèì,÷òî õîòÿ ïðåäñòàâëÿþùàÿ öèêë µ îêðóæíîñòü ìîæåò íåñêîëüêî ðàç íàìàòûâàòüñÿ íàïîëíîòîðèå âîêðóã åãî îñè, ïðè ñòÿãèâàíèè ïîëíîòîðèÿ îíà ñòÿãèâàåòñÿ íà îñåâóþîêðóæíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, îðèåíòàöèÿ öèêëà µ íà ãðàíèöå àòîìà A îïðåäåëåíàîäíîçíà÷íî. Ïðè ýòîì îðèåíòàöèÿ öèêëà λ âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ i(λ, µ) = 1.ÐàññìîòðèìñåäëîâîéàòîìU (Nc ),íåñîäåðæàùèéîêðóæíîñòåécíåîðèåíòèðóåìûìè ñåïàðàòðèñíûìè äèàãðàììàìè.  îòíîøåíèè öèêëîâ µ íàãðàíè÷íûõ òîðàõ ýòîãî àòîìà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû íåêîòîðûå, ïðåäñòàâëÿþùèå èõîêðóæíîñòè âñå âìåñòå ñîñòàâëÿëè êðàé íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè P 2 ⊂ U (Nc ),êîòîðàÿòðàíñâåðñàëüíîïåðåñåêàåòêàæäóþêðèòè÷åñêóþîêðóæíîñòüâåäèíñòâåííîé òî÷êå. Ïðè ýòîì ìíîãîîáðàçèå U (Nc ) äîëæíî áûòü ãîìåîìîðôíîS 1 × P 2 , òàê ÷òî åãî ãðàíè÷íûì òîðàì îòâå÷àþò ïðîèçâåäåíèÿ S 1 íà ãðàíè÷íûåîêðóæíîñòè P 2 , à êàæäàÿ êðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòü îòîáðàæàåòñÿ íà îêðóæíîñòüâèäà S 1 × p.

Òàêàÿ ïîâåðõíîñòü âñåãäà ñóùåñòâóåò è îíà íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèåì(ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà íà äàííîì àòîìå [7]). Ïîâåðõíîñòè N02 íà ðèñ. 1 è N 2íà ðèñ. 2 ÿâëÿþòñÿ ñå÷åíèÿìè àòîìîâ C2 è B ñîîòâåòñòâåííî. Èòàê, öèêëû µíà ãðàíè÷íûõ òîðàõ äàííîãî àòîìà ÿâëÿþòñÿ îðèåíòèðîâàííûìè êîìïîíåíòàìèãðàíèöû ñå÷åíèÿ P 2 .

Çàìåòèì, ÷òî îíè íåîáõîäèìî íåñóò íà ñåáå îðèåíòàöèþ êðàÿP 2 , åñëè îðèåíòàöèÿ ïîâåðõíîñòè P 2 ⊂ U (Nc ) îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì ëþáîéêðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè, ðàññìàòðèâàåìîé â êà÷åñòâå íîðìàëè ê P 2 . Ïîñêîëüêó48ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå, íåãîìîòîïíûå ìåæäó ñîáîé ñå÷åíèÿ P 2 , îñòàåòñÿ íåêîòîðàÿñâîáîäà â âûáîðå öèêëîâ µ. Ïîëó÷åííûé íàáîð áàçèñîâ (λ, µ) íà ãðàíè÷íûõ òîðàõàòîìà U (Nc ) íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò, à áàçèñû èç ëþáîãî òàêîãîíàáîðà íàçûâàþòñÿ äîïóñòèìûìè.Òåïåðü ðàññìîòðèì àòîì U (Nc ), ñîäåðæàùèé õîòÿ áû îäíó îêðóæíîñòü cíåîðèåíòèðóåìîé ñåïàðàòðèñíîé äèàãðàììîé (∗ îêðóæíîñòü).

 åãî ñèìâîëè÷åñêîìîáîçíà÷åíèè êàæäîé òàêîé îêðóæíîñòè îòâå÷àåò çâåçäî÷êà ∗ [7].  äàííîì ñëó÷àåíå ñóùåñòâóåò àíàëîãè÷íûõ ñå÷åíèé P 2 , õîòÿ ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîâåðõíîñòü Pe2 ⊂e Pe2 . Äëÿ ïðîèçâîëüíîéU (Nc ), ÷òî U (Nc ) ãîìåîìîðôíî êîñîìó ïðîèçâåäåíèþ S 1 ×∗ îêðóæíîñòè Sc1 â U (Nc ) ðàññìîòðèì ëþáóþ åå íîðìàëüíóþ, êîìïàêòíóþ, íåïåðåñåêàþùóþ êðàé U (Nc ) îêðåñòíîñòü Vc3 , â êîòîðîé íåò äðóãèõ êðèòè÷åñêèõîêðóæíîñòåé.

Îêðóæíîñòü Sc1 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò öèêë λ íà ãðàíè÷íîì òîðå Tñ2ïîëíîòîðèÿ Vc3 . Ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèè íà Tñ2 îïðåäåëåí öèêë κ, ÿâëÿþùèéñÿìåðèäèàíîì ïîëíîòîðèÿ Vc3 . Îðèåíòèðóåì öèêë κ òàê, ÷òîáû ïàðà (λ, κ) îïðåäåëÿëàîðèåíòàöèþ êðàÿ Vc3 (êîòîðîå íåñåò íà ñåáå îðèåíòàöèþ àòîìà). Òîãäà ðàâåíñòâîλ = κ − 2µñ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íà Tñ2 öèêë µñ , äîïîëíèòåëüíûé ê λ (ðèñ. 1). Ïðèñòÿãèâàíèè ïîëíîòîðèÿ Vc3 íà îñü Sc1 ⊂ Vc3 îêðóæíîñòü µñ èçîòîïèðóåòñÿ íà Sc1 , èîòíîñèòåëüíî îðèåíòàöèè êðàÿ Vc3 èìååò ìåñòî i(λ, µñ ) = 1. Àíàëîãè÷íî, çàôèêñèðóåìöèêëû µñ íà âñåõ îñòàëüíûõ ïîëíîòîðèÿõ ìàëîãî ðàäèóñà, ÿâëÿþùèõñÿ íîðìàëüíûìèîêðåñòíîñòÿìè ∗ îêðóæíîñòåé. Çàòåì óäàëèì èç àòîìà U (Nc ) âíóòðåííîñòè âñåõýòèõ ïîëíîòîðèé.

Ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðîå ìíîãîîáðàçèå U0 (Nc ) ñ òîðè÷åñêèì êðàåì,ãîìåîìîðôíîå S 1 × P 2 , ó êîòîðîãî ñóùåñòâóåò ñå÷åíèå P 2 ⊂ U0 (Nc ). Ñå÷åíèå P 2ñëåäóåò (è ìîæíî) âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíî âûñåêàëî îêðóæíîñòü µñ íà ãðàíè÷íîìòîðå Tc2 êàæäîãî óäàëåííîãî ïîëíîòîðèÿ Vc3 . Òîãäà íà êàæäîì èç ãðàíè÷íûõòîðîâ ìíîãîîáðàçèÿ U (Nc ) ïîâåðõíîñòü P 2 îïðåäåëÿåò öèêë µ, äîïîëíÿþùèé λ äîáàçèñà.

Ôèêñèðóÿ îðèåíòàöèè âñåõ òàêèõ öèêëîâ µ èç óñëîâèÿ i(λ, µ) = 1, ïîëó÷èìäîïóñòèìóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ãðàíèöå àòîìà U (Nc ).Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ðåãóëèðóåò âîçìîæíîñòü çàìåíû äîïóñòèìûõ ñèñòåìàõêîîðäèíàò. Ïóñòü {(λj , µj )} åñòü äîïóñòèìàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ãðàíèöå àòîìà,ãäå j ∈ J . Äëÿ ëþáûõ öåëûõ ÷èñåë kj íàáîð áàçèñîâ {(λj , µj + kj λj )}j∈J ÿâëÿåòñÿPäîïóñòèìîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà j∈J kj = 0 [7].Ìíîãîîáðàçèå Q3h ìîæíî ñêëåèòü èç àòîìîâ U (Nc ), ÿâëÿþùèõñÿ íîðìàëüíûìè,êîìïàêòíûìè îêðåñòíîñòÿìè îñîáûõ ñëîåâ Nc ⊂ Q3h , îòâå÷àþùèõ êðèòè÷åñêèìçíà÷åíèÿì fc ëþáîãî áîòòîâñêîãî èíòåãðàëà F : Q3h → R.

Ñêëåèâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ49äèôôåîìîðôèçìàìè ϕ : T02 → T12 ãðàíè÷íûõ òîðîâ òåõ àòîìîâ, êîòîðûå ñâÿçàíûìåæäó ñîáîé íåïðåðûâíûìè ñåìåéñòâàìè òîðîâ Ëèóâèëëÿ Tτ2 ⊂ Q3h , ãäå τ ∈[0; 1]. Êàæäûé òàêîé äèôôåîìîðôèçì íàçûâàåòñÿ ñêëåèâàþùèì è îïðåäåëÿåòñÿïðîèçâîëüíîé èçîòîïèåé G : [0; 1] × T 2 → Q3h òîðà T02 íà T12 , ïðè êîòîðîé êàæäîåïîäìíîãîîáðàçèå G(τ, T 2 ) ÿâëÿåòñÿ òîðîì Ëèóâèëëÿ. Òîãäà∀τ ∈ [0; 1] G(τ, T 2 ) = Tτ2 ,ϕ ◦ G(0, ·) = G(1, ·) .Ìíîãîîáðàçèþ Q3h ñîïîñòàâëÿåòñÿ ãðàô, â âåðøèíàõ êîòîðîãî ðàñïîëîæåíûàòîìû, à ðåáðà îòâå÷àþò ñåìåéñòâàì òîðîâ Ëèóâèëëÿ Tτ2 , ñîåäèíÿþùèì àòîìûU (Nc ) ⊂ Q3h ìåæäó ñîáîé. Òàêîé ãðàô íàçûâàåòñÿ ìîëåêóëîé è îáîçíà÷àåòñÿW (Q3h ). Íà ðåáðàõ ìîëåêóëû äîëæíû áûòü ôèêñèðîâàíû îðèåíòàöèè, ïî êîòîðûìîïðåäåëÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿ ñêëåèâàþùèõ äèôôåîìîðôèçìîâ ϕ : T02 → T12 .

Îáû÷íîýòè îðèåíòàöèè èçîáðàæàþòñÿ ñòðåëêàìè-, íî ÷àñòî íàïðàâëåíèÿ ñêëååê íå âëèÿþòíà çíà÷åíèÿõ ìåòîê, ïîýòîìó îðèåíòàöèè ðåáåð íå ôèêñèðóþòñÿ (ðèñ. 4).Òîïîëîãè÷åñêàÿ èíôîðìàöèÿ î ñêëåèâàþùèõ äèôôåîìîðôèçìàõ îòðàæàåòñÿ âèçîìîðôèçìàõ ϕ∗ : H1 (T02 , Z) → H1 (T12 , Z) ãîìîëîãèé ñêëåèâàåìûõ òîðîâ. Ýòèèçîìîðôèçìû îïðåäåëÿþòñÿ ò.í. ìàòðèöàìè ñêëåéêèα β,ãäåα, β, γ, δ ∈ Z, αδ − βγ = −1,γ δλ1 = αϕ∗ (λ0 ) + βϕ∗ (µ0 ),µ1 = γϕ∗ (λ0 ) + δϕ∗ (µ0 ) ,(2.1)êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ òîëüêî â äîïóñòèìûõ áàçèñàõ öèêëîâ (λ, µ) íà ãðàíè÷íûõòîðàõ ñêëåèâàåìûõ àòîìîâ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ñêëåéêè äîñòàòî÷íîíàéòè èíäåêñû ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ λ1 , µ1 , ϕ(λ0 ), ϕ(µ0 ) íà òîðå T12 (ñì.

âûøåçàìå÷àíèå îá èíäåêñàõ ïåðåñå÷åíèÿ è îïåðàöèÿõ â H1 (T 2 , Z)).×òîáû îïðåäåëèòü ñêëåèâàåìûå ïàðû ãðàíè÷íûõ òîðîâ, äëÿ êàæäîãî àòîìàñëåäóåò òàêæå çàäàòü ñîîòâåòñòâèå ìåæäó åãî ãðàíè÷íûìè òîðàìè è òåìè ðåáðàìèìîëåêóëû W (Q3h ), êîòîðûå ñâÿçûâàþò ýòîò àòîì ñ ñîñåäÿìè. Íàïðèìåð, îäèíàêîâîïðîíóìåðîâàòü èõ. ×àñòî òàêîå ñîîòâåòñòâèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî ñòðóêòóðîéìîëåêóëû èëè íåñóùåñòâåííî â ñèëó ñèììåòðèè àòîìà.

 òàêîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâèåìåæäó ãðàíè÷íûìè òîðàìè è ðåáðàìè ìîëåêóëû íå ôèêñèðóåòñÿ (ðèñ. 4).Íà êàæäîì ðåáðå ìîëåêóëû îïðåäåëåíà ïàðà ÷èñåë, íàçûâàåìûõ ìåòêàìè: α mod 1, β = sign β, β 6= 06 0βr=ε = ±1 = sign α, β = 0∞, β = 050Íåñêîëüêî ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ñåäëîâûõ àòîìîâ ìîãóò ñîñòàâëÿòü ñåìüþ. Ñìûñëýòîãî òåðìèíà âîñõîäèò ê ïîíÿòèþ ìíîãîîáðàçèÿ Çåéôåðòà, êàêîâûì ÿâëÿåòñÿêàæäûé àòîì. Åñëè íåñêîëüêî ñåäëîâûõ àòîìîâ ñêëåèâàþòñÿ â ìàêñèìàëüíîåìíîãîîáðàçèå Çåéôåðòà, òî îíè îáðàçóþò ñåìüþ.

Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèéäîñòàòî÷íî ñëåäóþùèõ ôàêòîâ. Äëÿ êàæäîé ïàðû àòîìîâ ñåìüè, ñâÿçàííûõ âìîëåêóëå W (Q3h ) õîòÿ áû îäíèì ðåáðîì, äîëæíî ñóùåñòâîâàòü ñîåäèíÿþùåå èõ ðåáðîñ ìåòêîé r = ∞. Ëþáîé ìàêñèìàëüíûé íàáîð òàêèõ ñåäëîâûõ àòîìîâ ÿâëÿåòñÿ ñåìüåéïðè óñëîâèè, ÷òî íè îäèí èç íèõ íå ñîåäèíÿåòñÿ ñ àòîìîì A ðåáðîì ñ ìåòêîé r = ∞.Ñåäëîâîé àòîì, ãðàíè÷àùèé òîëüêî ñ àòîìàìè A, ÿâëÿåòñÿ ñåìüåé òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà âñå r - ìåòêè íà èíöèäåíòíûõ åìó ðåáðàõ îòëè÷íû îò ∞. Íà ðèñóíêàõñåìüè àòîìîâ âûäåëÿþòñÿ ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè (ðèñ. 4).Ðåáðà ñ ìåòêîé r = ∞, ñîåäèíÿþùèå àòîìû äàííîé ñåìüè, íàçîâåì âíóòðåííèìèðåáðàìè.

Âñå ðåáðà, ãðàíè÷àùèå ñ àòîìàìè ñåìüè, ïðîíóìåðóåì èíäåêñîì i ècîïîñòàâèì êàæäîìó ðåáðó ei öåëîå ÷èñëî h iαi, åñëè ei âûõîäÿùåå ðåáðî, βiθi =− αγii , åñëè ei âíóòðåííåå ðåáðî,ih − δi , åñëè ei âõîäÿùåå ðåáðî,βiãäå [·] îáîçíà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà. Äëÿ âíóòðåííåãî ðåáðà αi = ±1, ïîýòîìóθi ∈ Z. Åùå îäíà ìåòêà, õàðàêòåðèçóþùàÿ òîïîëîãèþ ñêëååíîãî èç àòîìîâ ñåìüèìíîãîîáðàçèÿ (ìàêñèìàëüíîé Çåéôåðòîâîé êîìïîíåíòû), îïðåäåëÿåòñÿ òàê:n=Xθi .iÌîëåêóëà W (Q3h ) ñ íàáîðîì ìåòîê r, ε íà êàæäîì ðåáðå è ìåòêàìè n äëÿ êàæäîéñåìüè àòîìîâ îáîçíà÷àåòñÿ W ∗ (Q3h ) è íàçûâàåòñÿ ìå÷åíîé ìîëåêóëîé.Ìåòêè íå çàâèñÿò îò âûáîðà äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò, îäíàêî çàâèñÿòîò îðèåíòàöèè ìíîãîîáðàçèÿ Q3h è íàïðàâëåíèé, çàäàííûõ íà ðåáðàõ ìîëåêóëû.Ìå÷åíûå ìîëåêóëû W ∗ (Q3h ), êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî â ñèëó ýòèõ ïðè÷èí,îòâå÷àþò ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûì ñëîåíèÿì Ëèóâèëëÿ.Îïðåäåëåíèå 3 Èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû sgrad H1 è sgrad H2 , ðàññìàòðèâàåìûåíà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ Q31 ⊂ M14 è Q32 ⊂ M24 , íàçûâàþòñÿ ëèóâèëëåâîýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëîéíûé äèôôåîìîðôèçì j : Q31 → Q32 .Ïîñëîéíûé äèôôåîìîðôèçì j ñîâìåùàåò ìåæäó ñîáîé ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿìíîãîîáðàçèé Q31 è Q32 .

Ïîýòîìó, ñ òî÷êè çðåíèÿ ôàçîâîé òîïîëîãèè, ëèóâèëëåâî51ýêâèâàëåíòíûå ñèñòåìû íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ. Ïðè ñîâïàäåíèè ìîëåêóë W ∗ (Q3 )ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, íî îáðàòíîå íåâåðíî.Îïðåäåëåíèå 4 Äàíûèíòåãðèðóåìûåñèñòåìûsgrad H1èsgrad H2íàîðèåíòèðîâàííûõ, èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ Q31 è Q32 .