Симплектические многообразия с контактными особенностями, страница 9

Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå èíòåãðàëüíûõòðàåêòîðèé ïîëÿ grad F , âõîäÿùèõ â îêðóæíîñòü Sñ1 ïðè t → +∞ è âûõîäÿùèõ èçíåå ïðè t → −∞, ðàññìàòðèâàåìûõ â êàê óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè Sñ1 [58]. Ãðàäèåíògrad âû÷èñëÿåòñÿ â ïðîèçâîëüíîé ðèìàíîâîé ìåòðèêå íà Q3h .

Cåïàðàòðèñíàÿäèàãðàììà ñîñòîèò èç äâóõ ïîâåðõíîñòåé, òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùèõñÿ ïîîêðóæíîñòè Sñ1 . Îáå ýòè ïîâåðõíîñòè äèôôåîìîðôíû êîëüöó S 1 × D1 èëè îáåe D1 .  ïåðâîì ñëó÷àå ñåïàðàòðèñíàÿ äèàãðàììàäèôôåîìîðôíû ëèñòó Ìåáèóñà S 1 ×íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðóåìîé, à âî âòîðîì íåîðèåíòèðóåìîé.Ïóñòü fc åñòü ëþáîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà F : Q3h → R.

Îáîçíà÷èìNc ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó F −1 (fc ), êîòîðàÿ ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó.Ïóñòü ÷èñëî ε > 0 íàñòîëüêî ìàëî, ÷òî íà ïðîìåæóòêå [fc −ε; fc +ε] íåò êðèòè÷åñêèõçíà÷åíèé F êðîìå fc . Îáîçíà÷èì U (Nc ) ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó F −1 [fc −ε; fc +ε], êîòîðàÿñîäåðæèò ìíîæåñòâî Nc . Êîìïîíåíòû êðàÿ U (Nc ) ÿâëÿþòñÿ òîðàìè Ëèóâèëëÿ. äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìà sgrad H íà èçîýíåðãåòè÷åñêîììíîãîîáðàçèè Q3h ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêè óñòîé÷èâîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ìàëîìâîçìóùåíèè h ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ Q3h íå ìåíÿåòñÿ.

 ÷àñòíîñòè, ÷èñëî êðèòè÷åñêèõîêðóæíîñòåé íà ëþáîì îñîáîì ñëîå Nc ⊂ Q3h îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Ïðè ýòîìïî÷òè âñå òîðû Ëèóâèëëÿ T 2 ⊂ Q3h ïðåäïîëàãàþòñÿ íåðåçîíàíñíûìè. Èíà÷å ñèñòåìàâûðîæäàåòñÿ äî îäíîé ñòåïåíè ñâîáîäû, à ñëîåíèå ìíîãîîáðàçèÿ Q3h íà èíâàðèàíòíûåòîðû (ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ) îïðåäåëåíî íåîäíîçíà÷íî è çàâèñèò îò âûáîðà èíòåãðàëàF . Êàê ïðàâèëî òîïîëîãè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü èìååò ìåñòî, åñëè ïðÿìàÿ {(h, f1 ) :f1 ∈ R} òîëüêî òðàíñâåðñàëüíî è âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ïåðåñåêàåò ãëàäêèå îòðåçêèáèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ (H, F1 ) : M 4 → R [7].44Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà U (Nc ) çàäàíà îðèåíòàöèÿ, è íà âñåõ êðèòè÷åñêèõîêðóæíîñòÿõ â Nc ôèêñèðîâàíû îðèåíòàöèè, îïðåäåëÿåìûå íàïðàâëåíèÿìè ïîòîêàsgrad H .

Ïóñòü U (Nc 0 ) åñòü êîìïàêòíàÿ îêðåñòíîñòü îñîáîãî ñëîÿ Nc 0 ⊂ F 0−1 (fc0 )äëÿ êàêîé-íèáóäü èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû sgrad H 0 ñ èíòåãðàëîì F 0 : Q3h0 → R,óäîâëåòâîðÿþùåé àíàëîãè÷íûì óñëîâèÿì. Ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîé äèôôåîìîðôèçìj : U (Nc ) → U (Nc 0 ), ÷òî∀f ∈ [fc − ε; fc + ε] ∃f 0 ∈ [fc0 − ε0 ; fc0 + ε0 ]¡¢j F −1 (f ) ∩ U (Nc ) = F 0 −1 (f 0 ) ∩ U (Nc 0 ) .Ïðîùå ãîâîðÿ, äèôôåîìîðôèçì j ïåðåâîäèò îäíî ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ â äðóãîå(ñîâìåùàåò ñëîåíèÿ íà àòîìàõ). Çàìåòèì, ÷òî j(Nc ) = Nc 0 è îòîáðàæåíèÿ j , j −1ñîâìåùàþò ìåæäó ñîáîé êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè èíòåãðàëîâ F , F 0 . Ïðè ýòîìýêñòðåìàëüíûå îêðóæíîñòè îòîáðàæàþòñÿ íà ýêñòðåìàëüíûå, à ñåäëîâûå íàñåäëîâûå.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî j ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèè ìíîãîîáðàçèé U (Nc ) è U (Nc 0 ),à òàêæå îðèåíòàöèè âñåõ êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé. Òîãäà íàçîâåì ìíîãîîáðàçèÿU (Nc ) è U (Nc 0 ) òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè.Îïðåäåëåíèå 2 Àòîìîì íàçûâàåòñÿ ëþáîé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ìíîãîîáðàçèéU (Nc ) ïî îòíîøåíèþ òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè.Àòîìîì òàêæå íàçûâàåòñÿ ëþáîé ïðåäñòàâèòåëü U (Nc ) êëàññà òîïîëîãè÷åñêîéýêâèâàëåíòíîñòè. Íåñìîòðÿ íà òåõíè÷åñêîå èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà F , ñòðóêòóðààòîìà îò åãî âûáîðà íå çàâèñèò.

Äåëî â òîì, ÷òî íåðåçîíàíñíàÿ ñèñòåìà sgrad Hîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ íà Q3h è, ñòàëî áûòü, íà ëþáîìïîäìíîãîîáðàçèè U (Nc ). Ïîñëåäíåå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òîïîëîãè÷åñêèé òèïêóñî÷íî-ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ Nc . Ïîýòîìó ïðè çàìåíå èíòåãðàëà F íà ëþáîéáîòòîâñêèé èíòåãðàë F 0 íè îäèí èç àòîìîâ U (Nc ) íå èçìåíèòñÿ.Áåç ó÷åòà îðèåíòàöèé àòîìû óäîáíî âîñïðèíèìàòü, êàê áèôóðêàöèè ñëîåíèéËèóâèëëÿ. Åñëè íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü áèôóðêàöèþ â âèäå ïðîöåññà äåôîðìàöèèïîâåðõíîñòè F −1 (f ), ïðîèñõîäÿùåé ïðè èçìåíåíèè f îò fc − ε äî fc + ε èëèîáðàòíî, òî àòîì U (Nc ) ñîñòîèò èç åå ïðîìåæóòî÷íûõ ïîëîæåíèé U (Nc ) ∩ F −1 (f ).Ñëîæíîñòüþ àòîìà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé ëþáîãî áîòòîâñêîãîèíòåãðàëà F : U (Nc ) → R.

Ñóùåñòâóåò ñòàíäàðòíàÿ ñèñòåìà îáîçíà÷åíèé àòîìîâ, àòàêæå àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ è ðàñïîçíàâàíèÿ âñåõ àòîìîâ äàííîé ñëîæíîñòè [7]. Âìåõàíèêå íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àëèñü àòîìû A, B , A∗ è C2 .45Àòîì A îòâå÷àåò îñîáîìó ñëîþ Nc , êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ íåêîòîðîé,ýêñòðåìàëüíîé îêðóæíîñòüþ Sñ1 èíòåãðàëà F : Q3h → R.

Ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçìΦ ìíîãîîáðàçèÿ U (Nc ) íà ïîëíîòîðèå S 1 ×D2 , îòîáðàæàþùèé êàæäûé òîð Ëèóâèëëÿíà òîð S 1 × S01 , ãäå S01 ⊂ D2 åñòü íåêîòîðàÿ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì 0. Ïðè ýòîì¡¢Φ ∂U (Nc ) = S 1 × ∂D2 è Φ(Sc1 ) = S 1 × 0, ãäå 0 öåíòð äèñêà D2 (ðèñ. 1).Îáîçíà÷èì E 1 âîñüìåðêó S 1 ∨ S 1 (áóêåò äâóõ îêðóæíîñòåé) è N 2 äèñêñ äâóìÿ äûðêàìè.

Ãðàô E 1 áóäåì ñ÷èòàòü âëîæåííûì âíóòðü N 2 , òàê ÷òîâîñüìåðêà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ñâîåãî öåíòðà 0 ∈ N 2 ⊂ D2 (ðèñ. 2). ÀòîìB îòâå÷àåò îñîáîìó ñëîþ Nc , ñîäåðæàùåìó ñåäëîâóþ êðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòüSñ1 ñ îðèåíòèðóåìîé ñåïàðàòðèñíîé äèàãðàììîé. Ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì Φìíîãîîáðàçèÿ U (Nc ) íà ïðîèçâåäåíèå S 1 × N 2 (ò.í. îðèåíòèðóåìîå ñåäëî), êîòîðûéîòîáðàæàåò êàæäûé òîð Ëèóâèëëÿ íà òîð S 1 × Ñ1 , ãäå Ñ1 ⊂ N 2 åñòü íåêîòîðàÿçàìêíóòàÿ êðèâàÿ (ðèñ.

4). Ïðè ýòîìΦ(Nc ) = S 1 × E 1 ,¡¢Φ ∂U (Nc ) = S 1 × ∂N 2 ,Φ(Sc1 ) = S 1 × 0 .Àòîì A∗ îòâå÷àåò îñîáîìó ñëîþ Nc , ñîäåðæàùåìó ñåäëîâóþ êðèòè÷åñêóþîêðóæíîñòü Sñ1 ñ íåîðèåíòèðóåìîé ñåïàðàòðèñíîé äèàãðàììîé. Ïðåäïîëàãàÿ äûðêèâ N 2 ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî öåíòðà 0, îñíîâàíèÿ öèëèíäðà [0; 1] × N 2ñêëåèì ïî îòîáðàæåíèþ (0, z) 7−→ (1, −z). Ïîëó÷èì ò.í.

íåîðèåíòèðóåìîå ñåäëîe 2 , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì òèïîì ìíîãîîáðàçèÿ U (Nc ) àòîìà A∗ .S 1 ×Ne 2,Ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì Φ ìíîãîîáðàçèÿ U (Nc ) íà êîñîå ïðîèçâåäåíèå S 1 ×Ne Ñ1 , ãäå Ñ1 ⊂ N 2 åñòü çàìêíóòàÿîòîáðàæàþùèé êàæäûé òîð Ëèóâèëëÿ íà òîð S 1 ×êðèâàÿ èëè ïàðà çàìêíóòûõ, íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ (ðèñ. 2). Ïðè ýòîìe 1,Φ(Nc ) = S 1 ×E¡¢2eΦ ∂U (Nc ) = S 1 ×∂N,e = S1 × 0 .Φ(Sc1 ) = S 1 ×0e 2 èç äâóõ.Çàìåòèì, ÷òî êðàé S 1 × N 2 ñîñòîèò èç òðåõ òîðîâ, à êðàé S 1 ×Ne 1 èçîáðàæåíû íà ðèñ. 3.

Àòîìû A, B è A∗ ÿâëÿþòñÿÎñîáûå ñëîè S 1 × E 1 è S 1 ×Eåäèíñòâåííûìè àòîìàìè ñëîæíîñòè 1. Êàæäàÿ áèôóðêàöèÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåéáèôóðêàöèé A, B è A∗ , îäíàêî àòîìû ñ÷èòàþòñÿ íåäåëèìûìè îáúåêòàìè. Ïðèìåðîìàòîìà ñëîæíîñòè 2 ÿâëÿåòñÿ C2 . Âûðåçàÿ â öåíòðå ïîâåðõíîñòè N 2 äûðêó, ïîëó÷èìN02 . Ìíîãîîáðàçèå U (Nc ) àòîìà àòîìà C2 ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì S 1 × N02 . äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü àòîìàìè ðàññëîåííûå, îðèåíòèðîâàííûåìíîãîîáðàçèÿ U (Nc ) ñ ôèêñèðîâàííûìè îðèåíòàöèÿìè êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé,ò.å., ïðåäñòàâèòåëè íåêîòîðûõ êëàññîâ òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè. ÀòîìA ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, íîðìàëüíîé, êîìïàêòíîé îêðåñòíîñòüþ ýêñòðåìàëüíîé46îêðóæíîñòè ïðîèçâîëüíîãî áîòòîâñêîãî èíòåãðàëà F : Q3h → R.

Ëþáîé äðóãîé àòîìâêëþ÷àåò â ñåáÿ òîëüêî ñåäëîâûå îêðóæíîñòè, â ñèëó ÷åãî íàçûâàåòñÿ ñåäëîâûì.Ââåäåì ïîíÿòèå äîïóñòèìîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ãðàíèöå àòîìà. Îíàïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð áàçèñîâ (λ, µ) â ãðóïïàõ ãîìîëîãèé H1 (T 2 , Z) ãðàíè÷íûõòîðîâ äàííîãî àòîìà, ïî îäíîìó áàçèñó íà êàæäîì òîðå T 2 ⊂ ∂U (Nc ). Âñå ýòè áàçèñûòàêæå íàçûâàþòñÿ äîïóñòèìûìè. Áàçèñîì (λ, µ) ÿâëÿåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðàíåòðèâèàëüíûõ öèêëîâ, èìåþùèõ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ ±1. Ìîæíî ãîâîðèòü î ïàðåîðèåíòèðîâàííûõ îêðóæíîñòåé λ è µ, âëîæåííûõ â òîð T 2 è íå ñòÿãèâàåìûõ íà íåìâ òî÷êó, òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùèõñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå è ðàññìàòðèâàåìûõñ òî÷íîñòüþ äî ëþáûõ èçîòîïèé (íà òîðå).

Èíäåêñîì ïåðåñå÷åíèÿ i(γ1 , γ2 ) ïàðûçàìêíóòûõ, ãëàäêèõ êðèâûõ γ1 (t1 ) è γ2 (t2 ) íà îðèåíòèðîâàííîì òîðå T 2 ÿâëÿåòñÿP"àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî"p ±1 òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ p ýòèõ êðèâûõ. Êàæäîé òî÷êåp = γ1 (t01 ) = γ2 (t02 ) îòâå÷àåò ñëàãàåìîå ±1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ïîëîæèòåëüíî èëèîòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì ÿâëÿåòñÿ áàçèñ èç âåêòîðîâ ñêîðîñòè γ̇1 (t01 ) è γ̇2 (t02 )â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè Tp T 2 .

Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî èíäåêñà ïåðåñå÷åíèÿ.Ïóñòü i(α, β) = 1 è γ = mα + nβ äëÿ íåêîòîðûõ öèêëîâ α, β, γ ∈ H1 (T 2 , Z), ãäåm, n ∈ Z. Òîãäà i(γ, α) = −n è i(γ, β) = m. Ýòèõ ñîîòíîøåíèé äîñòàòî÷íî, ÷òîáûèñïîëüçîâàòü îïåðàöèè â ãðóïïå H1 (T 2 , Z) ÷èñòî ôîðìàëüíî.Çàôèêñèðóåì ëþáóþ îðèåíòàöèþ Q3h è, òåì ñàìûì, ââåäåì îðèåíòàöèè íà àòîìàõ.Íà âñåõ êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòÿõ èíòåãðàëà F : Q3h → R (êîòîðûå de' facto îò íåãîíå çàâèñÿò) çàäàíû îðèåíòàöèè, îïðåäåëÿåìûå ôàçîâûì ïîòîêîì sgrad H . Íà êàæäîìãðàíè÷íîì òîðå T 2 ðàññìàòðèâàåìîãî àòîìà U (Nc ) ⊂ Q3h çàôèêñèðóåì îðèåíòàöèþêðàÿ è âûáåðåì áàçèñ (λ, µ), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì (ò.å.i(λ, µ) = 1), ðóêîâîäñòâóÿñü ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè.Öèêë λ íà ãðàíè÷íîì òîðå àòîìà A ÿâëÿåòñÿ ìåðèäèàíîì, ò.å., ïðåäñòàâëÿþùàÿåãî îêðóæíîñòü ñòÿãèâàåòñÿ âíóòðè ïîëíîòîðèÿ â òî÷êó (ðèñ.

1). Ñ òî÷íîñòüþäî îðèåíòàöèè òàêîé öèêë îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî. Î âûáîðå åãî îðèåíòàöèè áóäåòñêàçàíî íèæå.  îòíîøåíèè öèêëà λ íà ãðàíè÷íîì òîðå T 2 ⊂ F −1 (fc ± ε)ñåäëîâîãî àòîìà U (Nc ) ïðåäïîëîæèì ñëåäóþùåå. Ïðè ε → 0, ò.å., ïî ìåðåïðèáëèæåíèÿ òîðà T 2 ê îñîáîìó ñëîþ Nc ⊂ F −1 (fc ) îêðóæíîñòü λ ðàâíîìåðíîñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîé ñåäëîâîé îêðóæíîñòè Sc1⊂Nc . Òàêîé öèêë λ íàãðàíè÷íîì òîðå T 2 âñåãäà ñóùåñòâóåò è îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî. Ïðåäñòàâëÿþùóþåãî îêðóæíîñòü ìîæíî âûáðàòü, êàê ëþáóþ èç ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ïåðåñå÷åíèÿòîðà ñ ñåïàðàòðèñíîé äèàãðàììîé îêðóæíîñòè Sc1 . Ïðè ýòîì îðèåíòàöèþ öèêëà λ47îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òðàåêòîðèÿ sgrad H , ïîðîæäàþùàÿ êðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòüSc1 .