Симплектические многообразия с контактными особенностями, страница 4

Ïîñëåäíÿÿ ëîêàëüíîîïðåäåëåíà óðàâíåíèåì χ = 0, ïðè ýòîìrk(Ωρ ) = 2 ∀ρ ∈ K 0 .Ω|K 0 = 0,Òî÷íûåêîíòàêòíûåñòðóêòóðûÿâëÿþòñÿïðèìåðàìèáîëååîáùåéêîíñòðóêöèè. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå C ∞ (L) ìíîãîîáðàçèÿ L çàäàíà áèëèíåéíàÿ,àíòèêîììóòàòèâíàÿîïåðàöèÿ[·, ·],óäîâëåòâîðÿþùàÿòîæäåñòâóßêîáè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ [·, ·] íåïðåðûâíà â ñòàíäàðòíîé òîïîëîãèè C ∞ (L)è îáðàùàåòñÿ â íîëü íà êàæäîì îòêðûòîì ïîäìíîæåñòâå L, íà êîòîðîì ðàâåí íóëþõîòÿ áû îäèí èç àðãóìåíòîâ. Òàêèå ñòðóêòóðû áûëè èçó÷åíû â ðàáîòå [20], ãäå îíèîïðåäåëåíû â ïðîñòðàíñòâàõ ñå÷åíèé Γ∞ (L) 1-ìåðíûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé íàä L(ëîêàëüíûå àëãåáðû Ëè ñ îäíîìåðíûì ñëîåì).  ñëó÷àå òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿèìååìΓ∞ (L) = C ∞ (L) .Ñëåäóÿ [4] áóäåì íàçûâàòü ñêîáêó [·, ·] ñòðóêòóðîé Ëè, à L ìíîãîîáðàçèåì Ëè.

Íà Lîäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû íåêîòîðîå âåêòîðíîå ïîëå A è áèâåêòîðíîå ïîëå Ñ, òàê ÷òî:[f, g](x) =Xi³ ∂g∂f ´ X ij ∂f ∂gAi f−g+Ñ.∂xi∂xi∂x∂xiji,jÐàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâîniP (x) = v ∈ Tx L : v =XijÑ βj , β ∈oTx∗ LjÑòðóêòóðà Ëè [·, ·] íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíîé, åñëèdim P (x) = const = dim L .17+ {λA : λ ∈ R} .[20]. Òîãäà â ñëó÷àå dim L = 2n + 1 íà L ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷íàÿ êîíòàêòíàÿñòðóêòóðà, ñêîáêà Ëàãðàíæà êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ [·, ·].  ñëó÷àå dim L = 2n äëÿêàæäîé òî÷êè ρ ∈ L íàéäåòñÿ åå îêðåñòíîñòü U , ôóíêöèÿ f è òàêàÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿôîðìà Ω íà U , ÷òîΩρ = f (ρ)νρ ,f (ρ) 6= 0,Aρ = sgrad(f )(ρ) ∀ρ ∈ U,ãäå âíåøíÿÿ 2-ôîðìà ν îòâå÷àåò òåíçîðó Ñ−1 .Ñòðóêòóðà Ëè íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé, åñëè rk(Ñ) = const íà L. Òîãäà Lêàíîíè÷åñêè ðàññëîåíî íà èíúåêòèâíî ïîãðóæåííûå ìíîãîîáðàçèÿ Lα , íà êàæäîìèç êîòîðûõ îïåðàöèÿ [·, ·] èíäóöèðóåò òðàíçèòèâíóþ ñòðóêòóðó Ëè [·, ·]α [20].Ñêàæåì, ÷òî ðåãóëÿðíîå ìíîãîîáðàçèå Ëè L èìååò îáùåå ïîëîæåíèå, åñëè âêàæäîé òî÷êå p ∈ L âåêòîð Ap íå ëåæèò â îáðàçå îïåðàòîðàCp : Tp∗ L → Tp L,ò.å.,Pp = RAp ⊕ Im(Cp ) . ýòîì ñëó÷àå L ðàññëîåíî íà íå÷åòíî-ìåðíûå, òðàíçèòèâíûå ìíîãîîáðàçèÿ Ëè, íàêàæäîì èç êîòîðûõ ïîëå ïëîñêîñòåé Im(C) îïðåäåëÿåò êîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó [20].§1.2.

Âûðîæäåííûå îñîáåííîñòè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.1.2.1. Èñõîäíûå ïîíÿòèÿ.Ðàññìîòðèì ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü S â ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M ,èíâàðèàíòíóþîòíîñèòåëüíîãàìèëüòîíîâîéñèñòåìûsgrad(H).Êàñàòåëüíîåâåêòîðíîå ïîëå sgrad(H) îïðåäåëÿåò íà S äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó X . Ïóñòü ω0 åñòüîãðàíè÷åíèå ôîðìû ω íà S . Çàìêíóòàÿ ôîðìà ω0 íå îáÿçàíà áûòü íåâûðîæäåííîé,ïîýòîìó ñèñòåìà X , âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé.Åñëè ðàçìåðíîñòü S íå÷åòíà, òî ôîðìà ω0 îáÿçàòåëüíî âûðîæäàåòñÿ.

 ñëó÷àå÷åòíîé ðàçìåðíîñòè S åå âûðîæäåíèå òàêæå âîçìîæíî. Êàæäîå ÿäðî (ò.å. íóëåâîåïîäïðîñòðàíñòâî) ôîðìû ω0 èìååò ðàçìåðíîñòü ñ ÷åòíîñòüþ dim S . Åñëè ðàçìåðíîñòèâñåõ ÿäåð ñîâïàäàþò, òî íà S âîçíèêàåò èíòåãðèðóåìîå ðàñïðåäåëåíèå Z :ZS 3 p 7−→ Ker(ωp ).Ïóñòü R åñòü îòíîøåíèå ïðèíàäëåæíîñòè ê îáùåìó èíòåãðàëüíîìó ïîäìíîãîîáðàçèþýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî Se = S/R. Åñëè Se ÿâëÿåòñÿãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì, à ôàêòîð-ïðîåêöèÿ π : S → Se ãëàäêèì îòîáðàæåíèåì, òîíà Se ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ωe , òàê ÷òî π ∗ (eω ) = ω0 .

Íà18e , òàê ÷òî äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà X êîððåêòíîSe ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ Hïðîåêòèðóåòñÿ íà âåêòîðíîå ïîëåe = π∗ X ,sgradωe (H)eH|S = π ∗ (H).Èòàê, â äàííîì ñëó÷àå âîçìîæíà ðåäóêöèÿ ê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ìåíüøåãîïîðÿäêà [58].Ïðè ÷åòíîé ðàçìåðíîñòè S ôîðìà ω0 ìîæåò îêàçàòüñÿ íåâûðîæäåííîé. Âïîñëåäíåì ñëó÷àå (S, ω0 ) ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå, íà êîòîðîì ñèñòåìà Xÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé, ò.å.X = sgradω0 (H0 ),H0 = H|S .Íàñ èíòåðåñóåò ñëó÷àé, êîãäà ôîðìà ω0 íåâûðîæäåíà ïî÷òè âñþäó, ò.å. det(ω0 )(p) 6= 0äëÿ âñåõ p èç îòêðûòîãî, âñþäó ïëîòíîãî â S ïîäìíîæåñòâà.

 ýòîì ñëó÷àå äëÿS ïîäîøåë áû òåðìèí "ïî÷òè ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå", åñëè áû îí íå áûëçàíÿò (ïî÷òè ñèìïëåêòè÷åñêèì íàçûâàþò ìíîãîîáðàçèå ñ âñþäó íåâûðîæäåííîé 2ôîðìîé, êîòîðàÿ íå ïðåäïîëàãàåòñÿ çàìêíóòîé). Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû áóäåìãîâîðèòü î ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ ñ îñîáåííîñòÿìè èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,î ìíîãîîáðàçèÿõ ñ îñîáåííîñòÿìè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå S = F −1 (b) îòâå÷àåò ðåãóëÿðíîìó çíà÷åíèþb ∈ R2m ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ F : M → R2m .

Ïóñòü G ìàòðèöà Ïóàññîíà ñèñòåìûôóíêöèé Fα , ò.å.Gαβ = {Fα , Fβ },1 ≤ α, β ≤ 2m.Èç òåîðåìû Ý. Êàðòàíà [19,30] ñëåäóåò, ÷òîdim Ker(ω0 ) = 2m − rk(G),ïîýòîìó ω0 âûðîæäàåòñÿ â òî÷êàõ ïîäìíîæåñòâà Θ ⊂ S , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿðàâåíñòâîì det(G) = 0. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî Θ íå ïóñòî è ìíîæåñòâî S \ Θ ïëîòíîâ S .  àíàëèòè÷åñêîì ñëó÷àå ýòî ýêâèâàëåíòíî ∅ 6= Θ 6= S. Òàêèå îñîáåííîñòèìîãóò âîçíèêàòü ïðè îãðàíè÷åíèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà èíâàðèàíòíûåïîäìíîãîîáðàçèÿ. Ïðèìåðîì ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûå êëàññû Àïïåëüðîòà äâèæåíèéâîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå. Êëàññ I de facto áûë íàéäåí â èçâåñòíîé ðàáîòå[5], à íåäàâíî áûëè îòêðûòû êëàññû II, III è IV [71].

Íà îòêðûòîì èíâàðèàíòíîìïîäìíîæåñòâå S\Θ ôîðìà ω0 îïðåäåëÿåò ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, â êîòîðîé X =sgrad(H0 ). Ïîñêîëüêó âåêòîðíîå ïîëå X îïðåäåëåíî âñþäó íà S , òî äèíàìè÷åñêàÿ19ñèñòåìà sgrad(H0 ) êîððåêòíî îïðåäåëåíà íà S . Îäíàêî, äëÿ ïðîèçâîëüíîé ãëàäêîéôóíêöèè f íà S âåêòîðíîå ïîëå sgrad(f ), âîîáùå ãîâîðÿ, íå îïðåäåëåíî òî÷êàõìíîæåñòâà Θ, êîòîðûå ìû íàçîâåì îñîáûìè. Ðàçðûâû ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé èñêîáîê Ïóàññîíà â îñîáûõ òî÷êàõ, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿþòñÿ íåóñòðàíèìûìè.

Ñ òî÷êèçðåíèÿ îáúåìëþùåãî ìíîãîîáðàçèÿ M îñîáàÿ òî÷êà p ∈ S õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òîïðîñòðàíñòâî Tp S íå òðàíñâåðñàëüíî ñâîåìó êîñîîðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ Cp S .Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íå îïðåäåëåíà êîñîîðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ïðîñòðàíñòâà Tp Míà ïîäïðîñòðàíñòâî Tp S .  òåõ òî÷êàõ p ∈ S , ãäå Cp S ⊕ Tp S = Tp M , ôîðìà ω0íåâûðîæäåíà è êîñîîðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà sgradω (f )(p) íà Tp S ÿâëÿåòñÿ(êîððåêòíî îïðåäåëåííûé) âåêòîðsgrad(f )(p) = sgradω0 (f )(p),ãäå sgradω (f )(p) − sgrad(f )(p) ∈ Cp S . îñòàâøåéñÿ ÷àñòè òåêñòà (M, ω) íèãäå íå ïðåäïîëàãàåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèììíîãîîáðàçèåì (áåç îñîáåííîñòåé), åñëè èíîå íå ñêàçàíî ïðÿìî.Ðàññìîòðèì àáñòðàêòíûé ñëó÷àé.

Ïóñòü çàìêíóòàÿ, ïî÷òè âñþäó íåâûðîæäåííàÿ2-ôîðìà ω çàäàíà íà 2n - ìåðíîì ìíîãîîáðàçèè M èZρ = Ker(ωρ ) = {v ∈ Tρ M | iv ωρ = 0},Θ = {ρ ∈ M | Zρ 6= 0}.Çàìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå dim Zρ = 2k ≥ 2.  äàëüíåéøåì Θ ⊂ M íåïóñòî èèìååò íóëåâóþ ìåðó Ëåáåãà.Îïðåäåëåíèå 1 ÏóñòüMìíîãîîáðàçèåñçàìêíóòîé2-ôîðìîéω,âûðîæäàþùåéñÿ â òî÷êàõ ïîäìíîæåñòâà Θ ìåðû íîëü â M .

Òîãäà M íàçûâàåòñÿñèìïëåêòè÷åñêèì ìíîãîîáðàçèåì ñ îñîáåííîñòüþ. Åñëè x ∈ M è rk(ωx ) < dim(M ),òî òî÷êà x íàçûâàåòñÿ îñîáîé.Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî M èìååò ÷åòíóþ ðàçìåðíîñòü. Ìíîæåñòâî îñîáûõòî÷åêΘ = {x ∈ M : rk(ωx ) < dim(M )}áóäåì íàçûâàòü îñîáîé ïîâåðõíîñòüþ.  äàëüíåéøåì ñèìâîëû M 2n è M îáîçíà÷àþòñèìïëåêòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ ñ îñîáåííîñòüþ, Θ îñîáóþ ïîâåðõíîñòü, Zx ÿäðîôîðìû â òî÷êå x ∈ Θ,Zx = Ker(ωx ) = {v ∈ Tx M : ωx (v, w) = 0 ∀w ∈ Tx M }.Ïðîñòðàíñòâî Zx èìååò ÷åòíóþ ðàçìåðíîñòü. Âñþäó ïðåäïîëàãàåòñÿ Θ 6= ∅.20Âûðîæäåííûå îñîáåííîñòè äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðì áûëè èññëåäîâàíû âèçâåñòíîé ðàáîòå Æ.

Ìàðòèíå [76].  ÷àñòíîñòè, áûë èçó÷åí ñëó÷àé îáùåãîïîëîæåíèÿ äëÿ çàìêíóòûõ 2-ôîðì. Îí õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òîdim Zρ = 2,d2ρ (det ω(x)) 6= 0,Zρ 6⊂ Tρ U,(1.2)ãäå U ⊂ Θ ãëàäêàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â M è x ∈ R2n ïðîèçâîëüíûå ëîêàëüíûåêîîðäèíàòû. Òîãäà â îêðåñòíîñòè òî÷êè ρ ∈ U ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû (x1 , x2 , p, q),â êîòîðûõω = x1 dx1 ∧ dx2 +n−1Xdpi ∧ dqi .i=1 ðàáîòå [76] áûë òàêæå èçó÷åí ñëó÷àé, êîãäà çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà ω çàäàíà íà R4 , àìíîæåñòâî Θ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ, íà êîòîðîé dim Zρ = 2 è íàéäåòñÿòàêàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ γ ⊂ Θ, ÷òîZρ 6⊂ Tρ Θ ∀ρ ∈ Θ \ γ,Zρ ⊂ Tρ Θ ∀ρ ∈ γ.Òîãäà, åñëè ρ ∈ γ è Tρ γ 6⊂ Zρ , òî â îêðåñòíîñòè ρ ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû(x1 , x2 , x3 , x4 ), â êîòîðûõω = d(x1 − x23 /2) ∧ dx2 + d(x1 x3 ± x2 x4 − x33 /3) ∧ dx4 .Î òî÷êàõ êðèâîé γ , â êîòîðûõ Tρ γZρ , èçâåñòíî ìàëî [4].

Îäíàêî⊂ñóùåñòâóþò ðåçóëüòàòû, ïîçâîëÿþùèå ðàçëè÷àòü íåýêâèâàëåíòíûå âûðîæäåíèÿôîðì â îêðåñòíîñòÿõ òàêèõ òî÷åê [62].Çà èñêëþ÷åíèåì ðåçóëüòàòîâ íàñòîÿùåé ðàáîòû, â ñëó÷àå dim Zρ > 2 î ëîêàëüíîéñòðóêòóðå çàìêíóòîé 2-ôîðìû íè÷åãî íå èçâåñòíî. Èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [76]âûòåêàåò, ÷òî åñëè ïî÷òè â êàæäîé òî÷êå p ∈ Θ ÿäðî ωp èìååò ðàçìåðíîñòü 4 (òîãäàâ îñòàëüíûõ òî÷êàõ dim Zp ≥ 6), òî â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ codim Θ = 6.