Симплектические многообразия с контактными особенностями, страница 5

Òàêèåãëóáîêèå âûðîæäåíèÿ óñòðàíÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûì øåâåëåíèåì ôîðìû ω .Âûðîæäåííûå îñîáåííîñòè ïóàññîíîâûõ ñòðóêòóð èçó÷åíû çíà÷èòåëüíî ëó÷øå,ïîñêîëüêó ïðè âûðîæäåíèè òåíçîðà hij = {xi , xj } (êîòîðûé íà ñèìïëåêòè÷åñêîììíîãîîáðàçèè ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ê òåíçîðó ôîðìû ωij ) âñå ãàìèëüòîíîâû ïîëÿisgrad(f ) =2nXj=1hij∂f∂xjîñòàþòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûìè íà M . Ïî òåîðåìå À. Âàéíøòåéíà î ëîêàëüíîì¡ ¢ðàñùåïëåíèè [92, 93], â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè ρ ∈ M ìàòðèöà Ïóàññîíà hijïðèâîäèòñÿ ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó210A1,2. . . A1,2kA2,10. . .

A2,2k.........A2k,1 A2k,2 . . ....001−1 0...01−1 0,(1.3)ãäå A êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà, ðàâíàÿ íóëþ â òî÷êå ρ. Êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìàÄàðáó îòâå÷àåò ñëó÷àþ dim A(ρ) = 0 × 0. òî÷êå ρ ∈ Θ êîñûå ãðàäèåíòû sgrad(f ) è ñêîáêè Ïóàññîíà{f, g} = dg(sgrad(f )) = −df (sgrad(g)) =2nXi,j=1hij∂f ∂g,∂xj ∂xiêàê ïðàâèëî, íå îïðåäåëåíû. Íåèçâåñòíû îáùèå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëàlim sgrad(f )(y),(1.4)Θ63y→ρ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢−1à òàêæå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò, â êîòîðûõ ìàòðèöà ωij èëè hij = ωijèìååò âèä(1.3).  ðàáîòå [12] áûë âïåðâûå îïèñàí ñëó÷àé âûðîæäåíèÿ, ïðè êîòîðîì òî÷êà ρ ∈Θ óäîâëåòâîðÿåò íåêîòîðîìó óñëîâèþ ïðàâèëüíîñòè, è ïîçäíåå òàêèå îñîáûå òî÷êèïîëó÷èëè íàçâàíèå êîíòàêòíûõ [16]. Ïðè óñëîâèè êîíòàêòíîñòè òî÷êè ρ êðèòåðèéñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà (1.4), ãëàäêî çàâèñÿùåãî îò ρ, âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:df (Zy ) = 0∀y ∈ Θ ∩ O(ρ),(1.5)ãäå O(ρ) äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü ρ [12,16].

Îäíîâðåìåííî áûëà äîêàçàíàòåîðåìà î ïðèâåäåíèè ìàòðèöû ω ê âèäó (1.3). Âîïðîñ î êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòèãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé â òî÷êàõ ïîäìíîæåñòâà Θ = {det ω = 0}, ïî-âèäèìîìó, âïåðâûåèññëåäîâàë Ñ. Ïíåâìàòèêîñ [82]. Îí äîêàçàë êðèòåðèé (1.5) â ïðåäïîëîæåíèè,÷òî ôîðìà ω óäîâëåòâîðÿåò î÷åíü åñòåñòâåííîìó, íî â ñëó÷àå dim Ker(ω) > 2íåïðîâåðÿåìîìó óñëîâèþ "generiques" [83,84]. Ýòî óñëîâèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ôîðìàëîêàëüíî ïðèâîäèòñÿ ê âèäóω=Xxτ (α,β) dxα ∧ dxβ +n−kXi=11≤α<β≤2k22dpi ∧ dqi ,(1.6)ãäå τ (α, β) ∈ {1, .

. . , 2k}.  ñëó÷àå dim Zρ = 2 îíî ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (1.2), ò.ê.âáëèçè îñîáîé òî÷êè çàìêíóòûå 2-ôîðìû îáùåãî ïîëîæåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ ê âèäóω = x1 dx1 ∧ dx2 +n−1Xdpi ∧ dqi .i=1Îäíàêî, â ñëó÷àå dim Zp > 2 íåèçâåñòåí îòâåò íà âîïðîñ: êàêèå çàìêíóòûå 2-ôîðìûçàìåíîé êîîðäèíàò ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó (1.6) ? Ïîýòîìó òåîðèÿ Ñ.

Ïíåâìàòèêîñà, defacto, îòíîñèòñÿ ê ÿâíî çàäàííûì â êîîðäèíàòàõ ôîðìàì. Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àådim Zρ = 2 óñëîâèå êîíòàêòíîñòè òî÷êè ρ ýêâèâàëåíòíî åå îáùåìó ïîëîæåíèþ (1.2).Òîæäåñòâî df (Ker(ω))≡0 âñòðå÷àåòñÿ òàêæå â [69, 80], êàê óñëîâèåîïðåäåëåííîñòè ñêîáêè Ïóàññîíà {f, g} ∀g â ñèòóàöèè, êîãäà∀ρ ∈ Mrk(ωρ ) = const < dim M .Áåç ýòîãî óñëîâèÿ â ðàáîòå [80] áûëî äîêàçàíî òîëüêî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Ïðèdf (Zρ ) = 0 ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð vρ , îïðåäåëåííûé ïî ìîäóëþ Zρ , ÷òîω(u, vρ ) = df (u)∀u ∈ Tρ M .Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî âåêòîðà vρ õàðàêòåðíî äëÿ êîñîãî ãðàäèåíòà sgrad(f )(ρ). Îäíàêî,äëÿ êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè ïîëÿ sgrad(f ) èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, ñêîáêèÏóàññîíà {f, g} äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g óñëîâèå df (Ker(ω)) ≡ 0, âîîáùå ãîâîðÿ, íåÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì (ïðèìåð 3).1.2.2. Ïåðâûå ðåçóëüòàòû.Ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ ìîæåò áûòü íåîðèåíòèðóåìûì.Áîëåå òîãî îíî ìîæåò èìåòü ëþáóþ òîïîëîãèþ.Òåîðåìà 3 Íà ëþáîì ÷åòíî-ìåðíîì ìíîãîîáðàçèè M ñóùåñòâóåò çàìêíóòàÿ,ïî÷òè âñþäó íåâûðîæäåííàÿ 2-ôîðìà.Äîêàçàòåëüñòâî.

Êàê óãîäíî âëîæèì 2n - ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå M âïðîñòðàíñòâî R4n+2 (òåîðåìà Óèòíè ïîçâîëÿåò âëîæèòü äàæå â R4n+1 ). Îãðàíè÷èìíà M ñòàíäàðòíóþ ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó Ω èç R4n+2 . Ïîëó÷èì çàìêíóòóþ 2ôîðìó ω . Ïóñòü îíà âûðîæäàåòñÿ â òî÷êå x ∈ M . Âûáåðåì â ýòîé òî÷êå ïðîèçâîëüíîå2n - ìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî Lx ⊂ Tx R4n+2 , íà êîòîðîì Ω íåâûðîæäåíà.  ìàëîéîêðåñòíîñòè x ãëàäêî ïðîäåôîðìèðóåì ïîâåðõíîñòü M òàê, ÷òîáû äîáèòüñÿ -Lx =Tx M . Òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x ôîðìà ω ñòàíåò íåâûðîæäåííîé.23Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñëå êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà òàêèõ äåôîðìàöèé ìûèçáàâèìñÿ îò âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê ìíîæåñòâà Θ ⊂ M . Ïîñêîëüêó ïîñëåäíååóòâåðæäåíèå, ñòðîãî ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ äîêàçàííûì, ìû äîïîëíèì åãî ÿâíûìïîñòðîåíèåì çàìêíóòîé, ïî÷òè âñþäó íåâûðîæäåííîé 2-ôîðìû ω íà M .Ðàññìîòðèì ñòàíäàðòíûé 2n - ìåðíûé øàð D2n ⊂ R2n , îïðåäåëÿåìûéP2íåðàâåíñòâîì 2ni=1 xi ≤ 1.

Ââåäåì íà íåì ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû:0 ≤ r ≤ 1, −π/2 ≤ θi ≤ π/2 (1 ≤ i ≤ 2n − 2), −π ≤ ϕ ≤ π :x1 = r cos θ1 cos θ2 . . . cos θ2n−3 cos θ2n−2 cos ϕx2 = r cos θ1 cos θ2 . . . cos θ2n−3 cos θ2n−2 sin ϕx3 = r cos θ1 cos θ2 . . . cos θ2n−3 sin θ2n−2... ... ... ... ...

...x2n−2 = r cos θ1 cos θ2 sin θ3x2n−1 = r cos θ1 sin θ2x2n = r sin θ1 ,Îáëàñòü ðåãóëÿðíîñòè ýòèõ êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè:0 < r ≤ 1,−π/2 < θi < π/2 ∀i.Äîïîëíåíèå øàðà D2n äî ýòîé îáëàñòè îáîçíà÷èì S . Êîðàçìåðíîñòü êóñî÷íî-ãëàäêîãîìíîæåñòâà S ðàâíà 2. Âîçüìåì òàêóþ ãëàäêóþ ôóíêöèþ f : [0; 1] → R, ÷òîf (k) (0) = f (k) (1) = 0 ∀k ≥ 0.f (r) = −f (1 − r) ∀r ∈ [0; 1],Äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáóåì, ÷òîáû f (r) 6= 0 â êàæäîé òî÷êå r ∈ (0; 1), êðîìå r = 1/2.Ïóñòü g àíàëîãè÷íàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [−π/2; π/2]. Ââåäåì ïåðâîîáðàçíûå:ZZrF (r) =f (ρ)dρ,θG(θ) =0g(ξ)dξ.−π/2Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî k ≥ 0F (k) (0) = F (k) (1) = 0,G(k) (−π/2) = G(k) (π/2) = 0.Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòó ϕ ÷åðåç θ2n−1 .

Ñëåäóþùåå âûðàæåíèå êîððåêòíî îïðåäåëÿåòíà øàðå D2n ãëàäêóþ çàìêíóòóþ 2-ôîðìó ω0 :´P ³g(θ)dθ+G(θ)dθ+ω0 = f (r)g(θ1 )dr ∧ dθ1 + f (r)dr ∧ n−12j2j2j2j+1j=1Pn−1+F (r) · j=1 g(θ2j )dθ2j ∧ dθ2j+1 ,24êîòîðàÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü â òî÷êàõ S è ãðàíè÷íîé ñôåðû S 2n−1 = ∂D2n . Òàê êàêpdet(ω0 ) = f (r)F (r)n−1 · g(θ1 )g(θ2 ) · . . . · g(θ2n−2 ),òî ôîðìà ω0 íåâûðîæäåíà ïî÷òè âñþäó. Îíà òàêæå âûðîæäàåòñÿ â òåõ òî÷êàõ øàðàD2n , ãäå r = 1/2 èëè θi = 0 äëÿ íåêîòîðîãî i ≤ 2n − 2.Ñóùåñòâóåò òàêîå ñ÷åòíîå ñåìåéñòâî øàðîâ Di2n ⊂ M , ïîïàðíî ïåðåñåêàþùèõñÿðàçâå ëèøü â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ, ÷òî ìíîæåñòâî Z = M \ ∪i Di2n èìååò ìåðó íîëü âM . Äëÿ êàæäîãî øàðà çàôèêñèðóåì ëþáîé äèôôåîìîðôèçìχi : Di2n → D2n .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íà ìíîãîîáðàçèè M îäíîçíà÷íî è êîððåêòíî îïðåäåëåíà ãëàäêàÿ(êëàññà C ∞ !), çàìêíóòàÿ, ïî÷òè âñþäó íåâûðîæäåííàÿ 2-ôîðìà ω , êîòîðàÿ ñîâïàäàåòñ χ∗i (ω0 ) íà êàæäîì øàðå Di2n è ðàâíà íóëþ íà ìíîæåñòâå Z .

Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òîôîðìà ω ðàâíà íóëþ â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà Z ∪ ∪i ∂Di2n , ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé ååãëàäêîñòè íà âñåì M , à íå òîëüêî âíóòðè øàðîâ Di2n 2.Ïðèìåð 1.  êâàäðàòå {(ϕ, ψ) : |ϕ| ≤ π, |ψ| ≤ π} îòîæäåñòâèì ïàðû òî÷åê(−ϕ, −π) =e (ϕ, π),(−π, ψ) =e (π, ψ).Ïîëó÷èì ìíîãîîáðàçèå K 2 áóòûëêó Êëåéíà. Âûðàæåíèå sin ϕdϕ ∧ dψ îïðåäåëÿåòãëàäêóþ çàìêíóòóþ 2-ôîðìó ω íà K 2 , íåâûðîæäåííóþ ïðè ϕ 6∈ {0, ±π}. Î÷åâèäíî,÷òî ω = 0 â òî÷êàõ îêðóæíîñòåé ϕ = ±π è ϕ = 0 2.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü â òåîðèè êîíòàêòíûõîñîáåííîñòåé ñèìïëåêòè÷åñêèõ ñòðóêòóð, à òàêæå ïðåäñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíûéèíòåðåñ.Ëåììà 1 Ïóñòü (M, ω) åñòü ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ,dim Zp = 2k ≥ 2 è äëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(p) òî÷êè p ∈ Θ ⊂ M ìíîæåñòâîΘ ∩ O(p) ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì.

Òîãäà, åñëèZp + Tp Θ = Tp M,dim Zy = 2k∀y ∈ Θ ∩ O(p)è îêðåñòíîñòü O(p) äîñòàòî÷íî ìàëà, òî ñóùåñòâóåò òàêîå 2k - ìåðíîåèíòåãðèðóåìîå ðàñïðåäåëåíèå Z íà O(p), ÷òîZ(y) = Zy∀y ∈ Θ ∩ O(p).25Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü dim Θ ∩ O(p) = m è dim M = 2n, òîãäà m < 2n.Ðàññìîòðèì m + 2k − 2n - ìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåZ0 : y 7−→ Zy ∩ Ty Θ,îïðåäåëåííîå íà m - ìåðíîì ïîäìíîãîîáðàçèè Θ ∩ O(p), è äîêàæåì åãîèíòåãðèðóåìîñòü. Ñíà÷àëà ìû äîëæíû ïðîâåðèòü ãëàäêîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Âûáåðåì êîîðäèíàòû x = (x1 , . . .

, x2n ) òàê, ÷òîáû ÿäðî Zp áûëî íàòÿíóòî íà âåêòîðû∂∂(p), . . . ,(p).∂x1∂x2kÒîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(p) îòëè÷åí0ω2k+1,2k+2 . . . ω0... 2k+2,2k+1......... ω2n−1,2k+1 ω2n−1,2k+2 . . .ω2n,2k+1ω2n,2k+2 . . .îò íóëÿ ìèíîðω2k+1,2n−1 ω2k+1,2nω2k+2,2n−1 ω2k+2,2n ,...0ω2n−1,2n ω2n,2n−10ñëåäîâàòåëüíî â êàæäîé òî÷êå y ∈ Θ ∩ O(p) ÿäðî îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèéω2k+1,2 v 2 + . . . .

. . . . . + −ω2k+1,2n−1 v 2n−1 + ω2k+1,2n v 2n = 0122n−1+ ω2k+2,2n v 2n = 0 ω2k+2,1 v + ω2k+2,2 v + . . . . . . . . . + ω2k+2,2n−1 v... ... ... ... ... ... ... ... ...ω2n−1,1 v 1 + ω2n−1,2 v 2 + . . . + ω2n−1,2n−2 v 2n−2 +ω2n−1,2n v 2n = 0 ω v1 + ω v2 + .

. . + ωv 2n−2 + ωv 2n−1= 0,2n,12n,22n,2n−22n,2n−1ãäå êîîðäèíàòû v 1 , v 2 , . . . , v 2k èçìåíÿþòñÿ â R2k , à v 2k+1 , . . . , v 2n ÿâíî ÷åðåç íèõâûðàæàþòñÿ. Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû ωij ãëàäêî çàâèñÿò îò òî÷êè y ∈ Θ ∩ O(p), òîè ÿäðî Zy ãëàäêî çàâèñèò îò y .Ïóñòü âåêòîðíûå ïîëÿ u è v íà Θ ∩ O(p) òàêîâû, ÷òî uy ∈ Zy è vy ∈ Zy äëÿ âñåõy . Îáîçíà÷èì Ω îãðàíè÷åíèå ôîðìû ω íà Θ ∩ O(p). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëóLu (Ω) = iu (dΩ) + d(iu (Ω)) = 0è îáîçíà÷àÿ w êîììóòàòîð ïîëåé u, v , ïîëó÷èìiw (Ω) = Lu (iv (Ω)) − iv (Lu (Ω)) = 0,26ò.å.

âåêòîð wy êîñîîðòîãîíàëåí Ty Θ. Ïî óñëîâèþ Zy +Ty Θ = Ty M , ïîýòîìó wy ∈ Zy è,ñëåäîâàòåëüíî, wy ∈ Z0 (y) â êàæäîé òî÷êå y ∈ Θ∩O(p).  ñèëó êðèòåðèÿ Ôðîáåíèóñàðàñïðåäåëåíèå Z0 èíòåãðèðóåìî.Ôèêñèðóåì íà O(p) òàêîå âåêòîðíîå ïîëå z1 , ÷òî(z1 )y ∈ Zy ,(z1 )y 6∈ Ty Θ ∀y ∈ Θ ∩ O(p).Òîãäà èíòåãðàëüíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Z0 , óâëåêàåìûå ïîòîêîì z1 ,çàìåòàþò èíòåãðàëüíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ íåêîòîðîãî m + 2k − 2n + 1 - ìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ Z1 . Îíî îïðåäåëåíî íà m + 1 - ìåðíîé ïîâåðõíîñòè Θ1 , êîòîðóþ âïîòîêå z1 çàìåòàåò O(p) ∩ Θ. Ôèêñèðóåì íà O(p) òàêîå âåêòîðíîå ïîëå z2 , ÷òî(z2 )y ∈ Zy ,(z2 )y 6∈ Ty Θ1∀y ∈ Θ1 ∩ O(p).Òîãäà èíòåãðàëüíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Z1 , óâëåêàåìûå ïîòîêîì z2 ,çàìåòàþò èíòåãðàëüíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ íåêîòîðîãî m + 2k − 2n + 2 - ìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ Z2 , îïðåäåëåííîãî íà m + 2 - ìåðíîé ïîâåðõíîñòè Θ2 .