Симплектические многообразия с контактными особенностями
Описание файла
PDF-файл из архива "Симплектические многообразия с контактными особенностями", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой докторскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени доктора физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 514.154, 514.745.4,514.763.337, 514.763.34,517.938.5, 517.958Çîòüåâ Äìèòðèé Áîðèñîâè÷Ñèìïëåêòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ ñêîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè.Cïåöèàëüíîñòü 01.01.04 "ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ"Äèññåðòàöèÿíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèäîêòîðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé êîíñóëüòàíòäîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê,ïðîôåññîð À.Â.
ÁîëñèíîâÌîñêâà - 20111ÑîäåðæàíèåÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Ãëàâà 1. Ââåäåíèå.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .11§ 1.1. Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ è êîíòàêòíàÿ ãåîìåòðèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11§ 1.2. Âûðîæäåííûå îñîáåííîñòè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.. . . . . . . . . . . . . . . .181.2.1. Èñõîäíûå ïîíÿòèÿ. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Ïåðâûå ðåçóëüòàòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23§ 1.3. ×àñòíûé èíòåãðàë, ñâÿçàííûé ñ îñîáåííîñòüþ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðûèíâàðèàíòíîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Ãëàâà 2. Ñèìïëåêòè÷åñêèå îñîáåííîñòè è òåîðèÿ À.Ò. Ôîìåíêî. . . . . . . . . . . . . . . 43§ 2.1. Òåîðèÿ À.Ò. Ôîìåíêî. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43§ 2.2. Ïîïðàâêè íà ñèìïëåêòè÷åñêèå îñîáåííîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53§ 2.3. Ïðèìåð èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû c îñîáåííîñòüþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.1. Cëó÷àé Áîãîÿâëåíñêîãî.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.2. Êîíòàêòíûå îñîáåííîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.3. Îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.4. Îáîçíà÷åíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.5. Ìåòêè ïðè h1 < h < h2 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.6. Ìåòêè ïðè h2 < h < h0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3.7. Ìåòêè ïðè h0 < h < h3 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.3.8. Ìåòêè ïðè h > h3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.3.9. Òîïîëîãèÿ îñîáîé ïîâåðõíîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892Ãëàâà 3. Ñèìïëåêòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ ñ êîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè. . . . . . 91§ 3.1. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ çàìêíóòûõ 2-ôîðì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1.1. Êîíòàêòíàÿ ñòðóêòóðà íà îñîáîé ãèïåðïîâåðõíîñòè. . . . . . . . . . .
. . . . . . . 913.1.2. Êîíòàêòíûå îñîáûå òî÷êè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.1.3. Ïðîäîëæåíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.1.4. Òåîðåìà Äàðáó. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.1.5. Ñèìïëåêòè÷åñêèé îáúåì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110§ 3.2.
Êàíîíè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà Ëè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2.1. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ è ñòðóêòóðû Ëè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2.2. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ è ñèìïëåêòèçàöèÿ. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1193.2.3. Ðåøåíèÿ Ôðèäìàíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.2.4. Êîíòàêòíî-ñâÿçíàÿ ñóììà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 128§ 3.3. Ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.3.1. Ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1323.3.2. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Ãëàâà 4. Íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . 167§ 4.1. Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âàêóóìå. . . . . . . . . . .
. . . 167§ 4.2. Íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173§ 4.3. Òåíçîð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âáëèçè ñâåòîâîãî êîíóñà. . . . . . . . . . . . . . 180§ 4.4. Ïëîòíîñòü òîêîâ è çàðÿäîâ âáëèçè ñâåòîâîãî êîíóñà. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 188Ñïèñîê ëèòåðàòóðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Ðèñóíêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü òåìû äèññåðòàöèè.Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, òàêæå êàê è ðèìàíîâà, èñõîäèò èç ïðåäïîëîæåíèÿî íåâûðîæäåííîñòè òåíçîðà ñîîòâåòñòâóþùåé ñòðóêòóðû [4, 58]. Ýòî ïðåäïîëîæåíèåãåíåòè÷åñêè ñâÿçàíî ñ óðàâíåíèÿìè Ó.Ð.
Ãàìèëüòîíà [67]. Íàèáîëåå ãëóáîêèåïðèëîæåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè îòíîñÿòñÿ ê íåáåñíîé ìåõàíèêå è äèíàìèêåòâåðäîãî òåëà [2, 36], ãäå ôàçîâûå ìíîãîîáðàçèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì, áóäó÷è êîêàñàòåëüíûìè ðàññëîåíèÿìè èëè îðáèòàìè êîïðèñîåäèíåííûõïðåäñòàâëåíèé, â ñàìîì äåëå ÿâëÿþòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèìè. Îäíàêî, ïðè îãðàíè÷åíèèãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà èíâàðèàíòíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ñèìïëåêòè÷åñêèé òåíçîðìîæåò âûðîæäàòüñÿ. Åñòü ðàçóìíûå îñíîâàíèÿ ïîëàãàòü, ÷òî, ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿðàçìåðíîñòåé èñõîäíûõ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ, íîâûå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè âñå ÷àùåáóäóò ïîÿâëÿòüñÿ èìåííî íà èíâàðèàíòíûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ.
Ïåðâûé â äèíàìèêåòâåðäîãî òåëà ñëó÷àé, çàäàííûé íà ìíîãîîáðàçèè ñ âûðîæäåííûìè îñîáåííîñòÿìèñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû, îïèñàí Î.È. Áîãîÿâëåíñêèì â èçâåñòíîé ðàáîòå [5]. ñòàòüå [95], ñ êîòîðîé ñâÿçàí ãåíåçèñ ïðåäñòàâëåííîé òåîðèè, áûëè âû÷èñëåíûèíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà ýòîé ñèñòåìû è îáîñíîâàíà ïðèìåíèìîñòü ìåòîäîâòîïîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà [7, 43, 44], ðàçâèòûõ øêîëîé À.Ò. Ôîìåíêî [6, 24, 26, 27, 28,29, 30, 32, 42, 59, 81, 89].Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè åñòåñòâåííî äîïóñòèòü, ÷òî ìàòðèöà çàìêíóòîé 2ôîðìû âûðîæäàåòñÿ íà âñåì ìíîãîîáðàçèè èëè â íåêîòîðûõ òî÷êàõ.
Ïåðâûéñëó÷àé, ïðè óñëîâèè ïîñòîÿííîñòè ðàíãà, õîðîøî èçâåñòåí è ñðàâíèòåëüíî ïðîñò[58]. Âî âòîðîì ñëó÷àå, ò.å. ïðè íåâûðîæäåííîñòè ïî÷òè âñþäó, ñèìïëåêòè÷åñêàÿãåîìåòðèÿ èìååò îñîáåííîñòè, î êîòîðûõ ïðè ïàäåíèè ðàíãà íà 2k>2ïî÷òè íè÷åãî íå èçâåñòíî. Ñòàòüÿ Æ. Ìàðòèíå ñîäåðæèò ïåðâîå è, âîçìîæíî,åäèíñòâåííîå îáùåå èññëåäîâàíèå ïîäîáíûõ ñòðóêòóð [76]. Îäíàêî, â ýòîé ãëóáîêîéðàáîòå ñîáñòâåííî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ îãðàíè÷åíà ïðîñòåéøèì, õîòÿ èíàèáîëåå âàæíûì ñëó÷àåì âûðîæäåíèé êîðàíãà 2. Ïîñëåäóþùèå èññëåäîâàíèÿ,â îñíîâíîì, ïðîäîëæàþò ðåçóëüòàòû Ìàðòèíå è îòíîñÿòñÿ ê âûðîæäåíèÿì ñäâóìåðíûì ÿäðîì [50, 51, 62, 70, 83, 84, 87].
Âî ìíîãîì ýòî ñâÿçàíî ñîáúåêòèâíîé ñëîæíîñòüþ ïðîáëåìû, ò.ê., ñîãëàñíî ñïðàâåäëèâîìó çàìå÷àíèþ Â.È.Àðíîëüäà: "îòñóòñòâèå óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè â îïðåäåëåíèè ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû äåëàåò ëîêàëüíóþ êëàññèôèêàöèþ òàêèõ ñòðóêòóð íåîáîçðèìîé" [4].4Íàïðîòèâ, âûðîæäåííûå îñîáåííîñòè ïóàññîíîâñêèõ ñòðóêòóð ñðàâíèòåëüíî ëåãêîïîääàþòñÿ èçó÷åíèþ, ò.ê.
îíè íå ìåøàþò ãàìèëüòîíîâûì ïîëÿì áûòü êîððåêòíîîïðåäåëåííûìè [23, 30, 90, 92, 93]. Ïîýòîìó íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â íåâûðîæäåííîìñëó÷àå ñèìïëåêòè÷åñêèå è ïóàññîíîâñêèå ìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôíûìèîáúåêòàìè, èõ âûðîæäåíèÿ èìåþò ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûå ïîñëåäñòâèÿ. Âîïðîñ îêîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì â ðàáîòàõÑ.
Ïíåâìàòèêîñà, ãäå íà çàìêíóòûå 2-ôîðìû íàêëàäûâàåòñÿ åñòåñòâåííîå óñëîâèågeneriques [82, 83, 84, 85]. Îäíàêî, çà èñêëþ÷åíèåì ÿâíî çàäàííûõ â êîîðäèíàòàõ2-ôîðì íóæíîãî âèäà, â ñëó÷àå âûðîæäåíèé êîðàíãà 2k > 2 îòñóòñòâóåò ñïîñîáïðîâåðêè ýòîãî óñëîâèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñêîëüêî-íèáóäü îáùåé òåîðèè ìíîãîîáðàçèéñ ñèìïëåêòè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè ñåãîäíÿ íå ñóùåñòâóåò. äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ðàçâèòà òåîðèÿ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèéñâûðîæäåííûìèîñîáåííîñòÿìè,êîòîðûåóäîâëåòâîðÿþòíîâîìóóñëîâèþêîíòàêòíîñòè. Ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì îáùåãî ïîëîæåíèÿ äëÿ çàìêíóòûõ2-ôîðì, êàæäàÿ èç êîòîðûõ âûðîæäàåòñÿ â òî÷êàõ ãèïåðïîâåðõíîñòè, áóäó÷èíåâûðîæäåííîé âíå åå.
Êëàññ íåñóùèõ íà ñåáå òàêèå ñòðóêòóðû ìíîãîîáðàçèé, âîïðåäåëåííîì ñìûñëå, âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñèìïëåêòèçàöèè êîíòàêòíûõ ìíîãîîáðàçèéè àíàëîãè÷íûå êîíñòðóêöèè äëÿ ëîêàëüíûõ àëãåáð Ëè [4, 20].  ñâÿçè ñ ýòèìíåêîòîðûå ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû, êîòîðàÿ íå èìååò ãåíåòè÷åñêèõ ñâÿçåé ñêîíòàêòíîé ãåîìåòðèåé, ñîïðèêàñàþòñÿ ñ îáëàñòüþ èññëåäîâàíèé åå "âëîæåíèé"â ñèìïëåêòè÷åñêóþ [52, 54, 56, 65, 75, 78]. Äëÿ êîíòàêòíî âûðîæäàþùèõñÿñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé îêàçàëîñü âîçìîæíûì èçó÷èòü ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèåãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé â îñîáûõ òî÷êàõ, ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å èõ ïðîäîëæåíèÿ ñîòêðûòîãî ïëîòíîãî ïîäìíîæåñòâà {det ω 6= 0}.
Íà ýòîé îñíîâå ïîñòðîåíà òåîðèÿ,êîòîðàÿ ñëåäóåò êëþ÷åâûì ïîíÿòèÿì è ôàêòàì ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè,âêëþ÷àÿ àíàëîãè ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì Äàðáó è Ëèóâèëëÿ.Èçâåñòíû ñîäåðæàòåëüíûå ïðèìåðû, âîçíèêàþùèå â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëàâ òèïè÷íîì ñëó÷àå dim Ker(ω)=2 [14, 15]. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ÿçûêäèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðì äàâíî ïðèìåíÿåòñÿ â ýëåêòðîäèíàìèêå [40, 49, 91],à óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ âàæíîé÷àñòüþ àïïàðàòà òåîðèè ïëàçìû [35, 47] (êàê âïðî÷åì è âñåé òåîðåòè÷åñêîéôèçèêè), ñîáñòâåííî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, ïî-âèäèìîìó, íå íàøëà ôèçè÷åñêèñîäåðæàòåëüíûõ ïðèëîæåíèé â êëàññè÷åñêîé òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âíàñòîÿùåé ðàáîòå òàêîâûå íàéäåíû äëÿ cëó÷àÿ dim Ker(ω) = 4.5Öåëè äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû.1.ÎáîñíîâàòüïðèìåíèìîñòüòåîðèèèíâàðèàíòîâÔîìåíêî-Öèøàíãàêèíòåãðèðóåìûì ñèñòåìàì, êîòîðûå âîçíèêàþò íà ìíîãîîáðàçèÿõ ñ îñîáåííîñòÿìèñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.2.
