Симплектические многообразия с контактными особенностями, страница 8

Òîãäà ∀x ∈ M èìååò ìåñòî:¡ ¢{P f (P), H}(x) = −trace αi,j (x) · P f (P)(x) .¡ ¢Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ωi,j åñòü êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ 2n × 2n - ìàòðèöà, òîìíîãî÷ëåíP f (ω) ∈ Z[ω1,2 , . . . , ωi,j , . . . , ω2n−1,2n ],óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ¡¢2¡ ¢P f (ω) = det ω ,¡ ¢íàçûâàåòñÿ ïôàôôèàíîì ìàòðèöû ωi,j . Âîçüìåì ìíîæåñòâî S2n âñåõ ïåðåñòàíîâîêíàáîðà (1, . .

. , 2n) è âûáåðåì ïîäìíîæåñòâînoSe2n = (i1 , j1 , . . . , in , jn ) ∈ S2n | ∀t it < jt , it < it+1 .Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîP f (ω) =Xsgn(σ) · ωi1 ,j1 · . . . · ωin ,jn ,e2nσ=(i1 ,j1 ,...,in ,jn )∈S38ãäå sgn(σ) = |σ| çíàê ïåðåñòàíîâêè. ÑëåäîâàòåëüíîP f (P) =Xsgn(σ) · {fi1 , fj1 } · . . . · {fin , fjn }.e2nσ∈SÈñïîëüçóÿ òîæäåñòâî ßêîáè {{fi , fj }, H} = {{H, fj }, fi } − {{H, fi }, fj } ïîëó÷àåìñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ {P f (P), H} â ëþáîé òî÷êå x ∈ M :P2ns=1 αj1 ,s {fs , fi1 }{fi2 , fj2 } .

. . {fin , fjn }P − 2n α {f , f }{f , f } . . . {f , f }s j1i2j2injns=1 i1 ,sXsgn(σ) ... ... ... ... ... ...Peσ∈S2n + 2n αjn ,s {fs , fin }{fi1 , fj1 } . . . {fin−1 , fjn−1 }s=1P2n− s=1 αin ,s {fs , fjn }{fi1 , fj1 } . . . {fin−1 , fjn−1 }.(1.10)sgn(σ)αjp ,s {fs , fip }{fi1 , fj1 } . . . {fip−1 , fjp−1 }{fip+1 , fjp+1 } . .

. {fin , fjn }.(1.11)Èç ñóììû (1.10) âîçüìåì íåíóëåâîå ñëàãàåìîå âèäàÎ÷åâèäíî, ÷òî s = iq èëè s = jq . Åñëè s = iq èσ = (i1 , j1 , . . . , ip , jp , . . . , iq , jq , . . . , in , jn )òî ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïåðåñòàíîâêè:σ 0 = (i1 , j1 , . . . , ip , iq , . . . , jq , jp , . . . , in , jn ) åñëè jq < jp ,σ 0 = (i1 , j1 , . . . , ip , iq , . .

. , jp , jq , . . . , in , jn ) åñëè jq > jp(âçÿòûå èç Se2n ). Âûáåðåì èç (1.10) ñëåäóþùåå ñëàãàåìîåsgn(σ 0 )αjp ,s {fs , fjq }{fi1 , fj1 } . . . {fip , fiq =s } . . . {fin , fjn }èëè, ñîîòâåòñòâåííî,−sgn(σ 0 )αjp ,s {fs , fjq }{fi1 , fj1 } . . .

{fip , fiq =s } . . . {fin , fjn },êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò (1.11) òîëüêî çíàêîì. Åñëè s = jq èσ = (i1 , j1 , . . . , ip , jp , . . . , iq , jq , . . . , in , jn ),òî ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïåðåñòàíîâêè:σ 0 = (i1 , j1 , . . . , ip , jq , . . . , iq , jp , . . . , in , jn ) åñëè iq < jp ,σ 0 = (i1 , j1 , . . . , ip , jq , . . . , jp , iq , . . . , in , jn ) åñëè iq > jp39(âçÿòûå èç Se2n ).

Âûáåðåì èç (1.10) ñëåäóþùåå ñëàãàåìîåsgn(σ 0 )αjp ,s {fs , fiq }{fi1 , fj1 } . . . {fip , fjq =s } . . . {fin , fjn },èëè, ñîîòâåòñòâåííî,−sgn(σ 0 )αjp ,s {fs , fiq }{fi1 , fj1 } . . . {fip , fjq =s } . . . {fin , fjn },êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò (1.11) òîëüêî çíàêîì.Îïóñêàÿàíàëîãè÷íûåðàññóæäåíèÿìîæíîçàêëþ÷èòüñëåäóþùåå.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðîå ñëàãàåìîå ñóììû (1.10) îòëè÷íî îò íóëÿ èñîîòâåòñòâóþùèé åìó ìíîæèòåëü αjp ,s èëè αip ,s íå ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíûì.Òîãäà â ñóììå (1.10) âñåãäà íàéäåòñÿ ñëàãàåìîå, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ òîëüêî çíàêîì.Ïîýòîìó ñóììà (1.10) ðàâíà−Xsgn(σ) (αi1 ,i1 + αj1 ,j1 + .

. . + αin ,in + αjn ,jn )··{fi1 , fj1 } · . . . · {fin , fjn }e2nσ∈S.¡ ¢Ïåðâûé ìíîæèòåëü âíóòðè áîëüøèõ ñêîáîê ðàâåí trace αi,j 2.Òåîðåìà 5 Ðàññìîòðèì ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå N è ãëàäêóþ ôóíêöèþ Híà íåì. Ïóñòü M ⊂ N åñòü ðåãóëÿðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå âèäà (1.7), êîòîðîåèíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî sgrad(H). Òîãäà ôóíêöèÿ¡¢det {fi , fj }ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì èíòåãðàëîì ñèñòåìû sgrad(H) íà M , åñëè è òîëüêî åñëè∀x ∈ M¡ ¢trace αi,j (x) = 0,(1.12)¡ ¢ãäå ìàòðèöà αi,j îïðåäåëåíà ïîñðåäñòâîì (1.8) è 1 ≤ i, j ≤ 2n.Äîêàçàòåëüñòâî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ëåììû 2.

Åñëè ôóíêöèè fiçàìåíèòü íà íåçàâèñèìûå ôóíêöèè fej (f1 , . . . , f2n ) òîαek,l (x) =2nX∂ fek∂fjαi,j (x)∂fi∂ feli,j=1∀x ∈ M.¡ ¢Ñëåäîâàòåëüíî αi,j åñòü ìàòðèöà íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, è óñëîâèå¡ ¢trace αi,j = 0 íå çàâèñèò îò âûáîðà óðàâíåíèé (1.7) 2.40Ñóùåñòâóåò èíòåðåñíûé ñëó÷àé, êîãäà óñëîâèå (1.12) âûïîëíåíî. Ðàññìîòðèìñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå N è ãëàäêóþ ôóíêöèþ f : N → R. Ïóñòü M ⊂ N ãëàäêàÿ, ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ìíîæåñòâà{x ∈ N : dx f = 0}.(1.13)Òàêîå ìíîãîîáðàçèå M íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì äëÿ f . Åñëè f ÿâëÿåòñÿ îáùèìèíòåãðàëîì sgrad(H), ò.å.

{f, H} ≡ 0, òî M èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî sgrad(H).Îïðåäåëåíèå 4 Ïóñòü M êðèòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå äëÿ ôóíêöèè f : N →R. Åñëè∀x ∈ M ôóíêöèÿ f |D(x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ìîðñà, ãäå D(x) ⊂ Nåñòü ïðîèçâîëüíûé, äîñòàòî÷íî ìàëûé 2-äèñê, êîòîðûé òðàíñâåðñàëåí M , òî Míàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííûì.×òîáû ïðîâåðèòü ýòî óñëîâèå äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòü ãåññèàí d2 f (x) íàïðîèçâîëüíîå ïðîñòðàíñòâî Lx⊂Tx N , êîòîðîå òðàíñâåðñàëüíî Tx M .

Åñëèïîëó÷àåòñÿ íåâûðîæäåííàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà ∀x ∈ M , òî ìíîãîîáðàçèå M ÿâëÿåòñÿíåâûðîæäåííûì êðèòè÷åñêèì äëÿ f . Åñëè êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ìíîæåñòâà(1.13) îáëàäàåò ýòèì ñâîéñòâîì, òî f íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Áîòòà [30,46].Ïðåäëîæåíèå 5 Ðàññìîòðèì ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå N è òàêèå ãëàäêèåôóíêöèè H , f íà íåì, ÷òî {H, f } ≡ 0. Ïóñòü M ⊂ N åñòü ðåãóëÿðíîåïîäìíîãîîáðàçèå âèäà (1.7), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì êðèòè÷åñêèì äëÿf . Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ÷àñòíûé èíòåãðàë Φ ïîëÿ sgrad(H) íà M , ÷òî âïðîèçâîëüíûõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ âèäà(f , x) = (f1 , .

. . , f2n , x1 , . . . , x2m )âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî :µ 2 ¶³´∂ fΦ(f , x) = det {fi , fj } · det∂fi ∂fj(1 ≤ i, j ≤ 2n).(1.14)Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû Ìîðñà ñëåäóåò, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Uxêàæäîé òî÷êè x ∈ M ñóùåñòâóþò òàêèå íåçàâèñèìûå ôóíêöèè gj (f1 , . . . , f2n ), ÷òîf=2nXεj gj2εj = ±1,{H, gi } =2nXj=1j=1è ïîäìíîãîîáðàçèå M ∩ Ux ìîæíî îïðåäåëèòü óðàâíåíèåìg1 = . . . = g2n = 0 .41βi,j gjÄàëåå ìû èìååì:0 = {H, f } = {H,2nXεj gj2 }=2j=12nXεj gj {H, gj } = 2j=12nXεj βj,i gj gi .i,j=1Ôèêñèðóåì ÷èñëî k ∈ {1, .

. . , 2n} è ïðåäïîëîæèì, ÷òî gj (z) = 0 äëÿ âñåõ j 6= k , íîgk (z) 6= 0. Ïîñêîëüêó ìû èìååìεk βk,k (z)gk2 (z) = 0¡ ¢òî βk,k (z) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî trace βi,j (x) = 0 äëÿ âñåõ x ∈ M . Ïîýòîìó ôóíêöèÿ¡¢det {gi , gj } ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì èíòåãðàëîì ñèñòåìû sgrad(H) íà M (òåîðåìà 5).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãåññèàíµ2d f (x) =∂ 2f∂gi ∂gj¶= diag(2ε1 , . . . , 2ε2n ).Ïðè çàìåíå ôóíêöèé g1 , . . . , g2n ìàòðèöû d2 f (x) è¡{gi , gj }¢âåäóò ñåáÿ, êàêêîâàðèàíòíûé è êîíòðàâàðèàíòíûé òåíçîðû. Ïîýòîìó èõ ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿìàòðèöåé íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.

Îäèí èç åãî èíâàðèàíòîâ åñòüäåòåðìèíàíò. Îí ðàâåí¡¢±22n · det {gi , gj } .Ïîñêîëüêó ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì èíòåãðàëîì, òî è ôóíêöèÿ (1.14) ÿâëÿåòñÿ÷àñòíûì èíòåãðàëîì 2.42Ãëàâà 2. Ñèìïëåêòè÷åñêèå îñîáåííîñòè è òåîðèÿ À.Ò.Ôîìåíêî.§2.1. Òåîðèÿ À.Ò. Ôîìåíêî.Äëÿ ôóíêöèè F íà ìíîãîîáðàçèè N îáîçíà÷èì CF ìíîæåñòâî {p ∈ N : dp F = 0}.Îïðåäåëåíèå 1 Ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ F:N→R íàçûâàåòñÿ áîòòîâñêîé(ôóíêöèåé Áîòòà), åñëè êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ìíîæåñòâà CF ÿâëÿåòñÿïîäìíîãîîáðàçèåì ïîëîæèòåëüíîé êîðàçìåðíîñòè, è â êàæäîé òî÷êå p ∈ CF äëÿíåêîòîðîãî (è òîãäà ëþáîãî) ïîäïðîñòðàíñòâà Lp ⊂ Tp N , òðàíñâåðñàëüíîãî Tp CF ,îãðàíè÷åíèå ãåññèàíà d2p F íà Lp ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì.Ïóñòü íà 4 - ìåðíîì, ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M 4 äàíà ãàìèëüòîíîâàñèñòåìà sgrad H .

Åå èíòåãðèðóåìîñòü ïî Ëèóâèëëþ îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåòíåçàâèñèìàÿ îò H , ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ F1 : M 4 → R, ÿâëÿþùàÿñÿ èíòåãðàëîì.Ïîñëåäíåå ýêâèâàëåíòíî {F1 , H}=0. Ïîäìíîãîîáðàçèå Q3h=H −1 (h),îòâå÷àþùåå ðåãóëÿðíîìó çíà÷åíèþ h ãàìèëüòîíèàíà H : M 4 → R, íàçûâàåòñÿèçîýíåðãåòè÷åñêèì. Îáîçíà÷èì F îãðàíè÷åíèå èíòåãðàëà F1 íà Q3h ⊂ M 4 .

Äëÿâñåõ åãî ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé f êàæäàÿ êîìïàêòíàÿ, ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà F −1 (f )ÿâëÿåòñÿ âëîæåííûì òîðîì T 2 ⊂ Q3h (òîðîì Ëèóâèëëÿ).  äàëüíåéøåì ìíîãîîáðàçèåQ3h ïðåäïîëàãàåòñÿ çàìêíóòûì (ò.å. êîìïàêòíûì è íå èìåþùèì êðàÿ), à èíòåãðàëF : Q3h → R ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Áîòòà. Òîãäà êðèòè÷åñêèå òî÷êè F ñîñòàâëÿþòïîäìíîãîîáðàçèÿ, ñâÿçíûå êîìïîíåíòû êîòîðûõ îòíîñÿòñÿ ê ñëåäóþùèì òðåì òèïàì:îêðóæíîñòü S 1 , òîð T 2 è áóòûëêà Êëåéíà K 2 .Êðèòè÷åñêèå òîðû T 2 (åñëè îíè åñòü) îáû÷íî èãíîðèðóþò, ïîñêîëüêó ñ òî÷êèçðåíèÿ ôàçîâîé òîïîëîãèè îíè íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ îò òîðîâ Ëèóâèëëÿ. Êðîìåýòîãî, íà ëþáîì êðèòè÷åñêîì òîðå T 2 ⊂ Q3h áîòòîâñêàÿ ôóíêöèÿ F : Q3h → Räîñòèãàåò ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà f0 = F (T 2 ), â ñèëó ÷åãî âáëèçè T 2pìîæíî çàìåíèòü F íà èíòåãðàë F0 = ± |F − f0 |.

Òîãäà òîð T 2 îòâå÷àåò ðåãóëÿðíîìóçíà÷åíèþ 0 èíòåãðàëà F0 (îïðåäåëåííîãî ëîêàëüíî). Ïîýòîìó ïîòîê sgrad H íà òîðåT 2 íå èìååò êà÷åñòâåííûõ ðàçëè÷èé ñ ïîòîêàìè íà áëèçêèõ òîðàõ Ëèóâèëëÿ. Òåîðèÿäîïóñêàåò íàëè÷èå êðèòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé òèïà K 2 , è îíè âîçíèêàëè â ñâÿçèñ ãåîäåçè÷åñêèìè ïîòîêàìè íà áóòûëêå Êëåéíà [7]. Ïîñëåäíèå íå âñòðå÷àþòñÿ âìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, ïîýòîìó îíè èñêëþ÷åíû èç ðàññìîòðåíèÿ.

 äàëüíåéøåìïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå êðèòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ èíòåãðàëà F : Q3h → R ÿâëÿþòñÿâëîæåííûìè îêðóæíîñòÿìè Sñ1 .43Óñëîâèå áîòòîâîñòè ïîäðàçäåëÿåò êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè Sñ1 íà äâà òèïà.Êàæäûé èç íèõ îïðåäåëÿåòñÿ èíäåêñîì êðèòè÷åñêîé òî÷êè p ôóíêöèè F ,ðàññìàòðèâàåìîé íà ïðîèçâîëüíîì, äîñòàòî÷íî ìàëîì, òðàíñâåðñàëüíîì ê Sñ1 äèñêåD2 ⊂ Q3h ñ öåíòðîì p ∈ Sñ1 .

Ïîñêîëüêó îêðóæíîñòü Sñ1 ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîéòðàåêòîðèåé sgrad H , èíäåêñ íå çàâèñèò îò òî÷êè p ∈ Sñ1 . Çàìåòèì, ÷òî F : D2 → Råñòü ôóíêöèÿ Ìîðñà. Åñëè èíäåêñ êðèòè÷åñêîé òî÷êè p ðàâåí 0 èëè 2, òî fc = F (Sñ1 )ÿâëÿåòñÿ (ëîêàëüíûì) ìèíèìóìîì èëè ìàêñèìóìîì èíòåãðàëà F : Q3h → R. Òàêóþîêðóæíîñòü Sñ1 íàçîâåì ýêñòðåìàëüíîé. Åñëè èíäåêñ òî÷êè p ðàâåí 1, òî fc åñòüñåäëîâîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå, è îêðóæíîñòü Sñ1 íàçûâàåòñÿ ñåäëîâîé.Ñåäëîâûå êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà äâàêëàññà. Êàæäîìó èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò îäíà èõ äâóõ âîçìîæíûõ òîïîëîãèé ò.í.ñåïàðàòðèñíîé äèàãðàììû.