Симплектические многообразия с контактными особенностями, страница 6

Ïðîäîëæàÿïðîöåññ, åùå ÷åðåç 2n − m − 2 øàãîâ ïîëó÷èì èíòåãðèðóåìîå 2k - ìåðíîåðàñïðåäåëåíèå Z2n−m , îïðåäåëåííîå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p. Îñòàëîñüîáîçíà÷èòü Z2n−m ÷åðåç Z 2. ðàññìàòðèâàåìîì íèæå ïðèìåðå 2 ðàñïðåäåëåíèå Z0:p7−→Zpíåèíòåãðèðóåìî, ÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ôðîáåíèóñà.Ïîýòîìó óñëîâèå òðàíñâåðñàëüíîñòè â ëåììå 1 ñóùåñòâåííî. Îäíàêî, àíàëîãè÷íîåðàñïðåäåëåíèå â ïðèìåðå 3 îêàçàëîñü èíòåãðèðóåìûì.

Ïîýòîìó îòñóòñòâèåòðàíñâåðñàëüíîñòè, ñàìî ïî ñåáå, íå âëå÷åò íåèíòåãðèðóåìîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Z0 .Îáîçíà÷èì [v]+ íàïðàâëåíèå âåêòîðà v 6= 0. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî[v]+ = {λv : λ > 0} .Ïðè ýòîì ïóñòü [v] îáîçíà÷àåò ïðÿìóþ {λv : λ ∈ R}. îáùåì ñëó÷àå î ïðåäåëüíîì ïîâåäåíèè ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé â îñîáûõ òî÷êàõíè÷åãî íå èçâåñòíî.Îïðåäåëåíèå 2 Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè ñ îñîáåííîñòüþ (M, ω)çàäàíà ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ f , è òî÷êà ρ ëåæèò â ìíîæåñòâå Θ.1. Âåêòîð w ∈ Tρ M íàçûâàåòñÿ (ñîáñòâåííûì) ïðåäåëüíûì ïîëîæåíèåìsgrad(f ) â òî÷êå ρ, åñëè äëÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê yn ∈ M \ Θ,27ñõîäÿùåéñÿ ê ρ, ñóùåñòâóåò ïðåäåëlim sgrad(f )(yn ) = w .n→∞.2.

Íàïðàâëåíèå lρ+ ⊂ Tρ M íàçûâàåòñÿ íåñîáñòâåííûì ïðåäåëüíûì ïîëîæåíèåìsgrad(f ) â òî÷êå ρ, åñëè äëÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê yn ∈ M \ Θ,ñõîäÿùåéñÿ ê ρ, ñóùåñòâóåò ïðåäåëlim [sgrad(f )(yn )]+ = l+n→∞èlim |sgrad(f )(yn )| = +∞ .n→∞Çäåñü | · | îáîçíà÷àåò íîðìó âåêòîðà â ïðîèçâîëüíîé åâêëèäîâîé ìåòðèêå,íàïðèìåðvu 2nuX|v| = t (v i )2 .i=1Ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ w ∈ Tx M áóäåì òàêæå íàçûâàòü ñîáñòâåííûìè, ÷òîáûîòëè÷àòü èõ îò íåñîáñòâåííûõ ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþòñîáîé íàïðàâëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Tx M . Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ïðåäåë è ïðåäåëüíîåïîëîæåíèå.

Ïîñëåäíåå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà êîñûõ ãðàäèåíòîâ èëèèõ íàïðàâëåíèé (â íåñîáñòâåííîì ñëó÷àå). Åñëè â òî÷êå x ∈ Θ ñóùåñòâóåòlimy→x, y6∈Θsgrad(f )(y),òî ïîëå sgrad(f ) èìååò òîëüêî îäíî ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå â x, è îíî ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì. Åñëè æålimy→x, y6∈Θ|sgrad(f )(y)| = +∞,∃lim[sgrad(f )(y)]+ ,y→x, y6∈Θòî åäèíñòâåííîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå sgrad(f ) â òî÷êå x ÿâëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûì.Ðàññìîòðèì ïðÿìûå ñëåäñòâèÿ îïðåäåëåíèÿ 2. Ïðåäïîëàãàÿ dx f 6= 0 îáîçíà÷èìHx (f ) ãèïåðïëîñêîñòü, êàñàòåëüíóþ ê ïîâåðõíîñòè f −1 (f (x)) â òî÷êå x.

Ïóñòü Zx (f )åñòü ÿäðî ôîðìû ω , ðàññìàòðèâàåìîé íà Hx (f ). Åãî ðàçìåðíîñòü ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé.Ïðåäëîæåíèå 1 Åñëè dx f 6= 0 â îñîáîé òî÷êå x, òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå.1. Âñå ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ sgrad(f ) â òî÷êå x èíöèäåíòíû Zx (f ).2. Âñå íåñîáñòâåííûå ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ sgrad(f ) â òî÷êå x èíöèäåíòíûZx , è íè îäíî èç ñîáñòâåííûõ ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé íå ïðèíàäëåæèò Zx .3.1. Åñëè df (Zx ) 6= 0, òî ñîáñòâåííûõ ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé íåò èZx (f ) = Zx ∩ Hx (f ),dim Zx (f ) = dim Zx − 1.283.2. Åñëè df (Zx ) = 0 è dim Zx < dim M , òîZx (f ) ⊃ Zx ,dim Zx (f ) = dim Zx + 1.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîñêîëüêódf (sgrad(f )) = {f, f } = 0 è ω(v, sgrad(f )) = df (v),òî sgrad(f )(y) ∈ Zy (f ) â êàæäîé òî÷êå y 6∈ Θ, äîñòàòî÷íî áëèçêîé ê x. Îòñþäàñëåäóåò ï.1.Ïóñòü{xn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç îïðåäåëåíèÿ 2. Åñëè [u]+åñòüñîîòâåòñòâóþùåå åé íåñîáñòâåííîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå, òî sgrad(f )(xn ) = λn un ,λn → +∞ äëÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè un ∈ Txn M , ñõîäÿøåéñÿ u.

Òîãäà äëÿïðîèçâîëüíûõ v ∈ Tx M è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè vn ∈ Txn M , ñõîäÿùåéñÿ ê v , èìååì:ω(v, u) = limn→∞ ω(vn , un ) = limn→∞ (λn )−1 · ω(vn , sgrad(f )(xn )) == limn→∞ (λn )−1 · dfxn (vn ) = 0 · dfx (v) = 0.Èòàê u ∈ Zx , ñëåäîâàòåëüíî [u]+ ⊂ Zx .Ò.ê. ïðè df (Zx ) 6= 0 ÿäðî Zx òðàíñâåðñàëüíî Hx (f ), òî èç u ∈ Zx (f ) ñëåäóåò,÷òî âåêòîð u êîñîîðòîãîíàëåí Tx M , ò.å. u ∈ Zx . Ïîñëåäíåå íåñîâìåñòèìî ñ óñëîâèåìdx f 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè df (Zx ) 6= 0, òî ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé íåò.

Îòíîøåíèÿìåæäó ïîäïðîñòðàíñòâàìè Zx è Zx (f ) î÷åâèäíû 2.Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî âáëèçè îñîáîé òî÷êè ñêîðîñòü ïîòîêàsgrad(f ) ìîæåò íåîãðàíè÷åííî ðàñòè, áåñêîíå÷íî ìåíÿÿ ñâîå íàïðàâëåíèå. Òàê ìîãóòâåñòè ñåáÿ, íàïðèìåð, íàìàòûâàþùèåñÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèå P ⊂ Θ òðàåêòîðèè.Ïðåäëîæåíèå 2 Ïóñòü dim Zx = 2èdf (Zx ) = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîäëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U (x) ìíîæåñòâî S = Θ ∩ U (x) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé¡¢ïîâåðõíîñòüþ. Äëÿ êàæäîãî y ∈ S ââåäåì â ïîäïðîñòðàíñòâå Zy áàçèñ u(y), v(y) ,ãëàäêî çàâèñÿùèé îò y . Ðàññìîòðèì íà ïîäìíîãîîáðàçèè S ôóíêöèèϕ(y) = df (u(y)) ,ψ(y) = df (v(y)) .Eñëè êîâåêòîðû dx ϕ è dx ψ ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî êàæäîå îäíîìåðíîåïîäïðîñòðàíñòâî â Zx èíöèäåíòíî íåêîòîðîìó íåñîáñòâåííîìó ïðåäåëüíîìóïîëîæåíèþ ïîëÿ sgrad(f ).Äîêàçàòåëüñòâî.

Òàê êàê df (Zy ) = 0 ýêâèâàëåíòíî ϕ(y) = ψ(y) = 0, òîìíîæåñòâîP = {y ∈ S : df (Zy ) = 0}29ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì êîðàçìåðíîñòè 2 â S . Åñëè x1 , ..., xm êîîðäèíàòû â S , â êîòîðûõ ϕ(x) = x1 è ψ(x) = x2 , òî P îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåìx1 = x2 = 0. Ïóñòü χ(t) ïðîèçâîëüíàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ â Θ, íå ñîïðèêàñàþùàÿñÿñ P â òî÷êå x = χ(0). Íåñîáñòâåííûå ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ sgrad(f ) â òî÷êåχ(t) îïðåäåëÿþò åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ lt = Zχ(t) ∩ Hχ(t) (f ) (ïðåäëîæåíèå 1). Ëåãêîïðîâåðèòü, ÷òî ïðÿìàÿ lt èìååò óðàâíåíèåλ1 χ1 (t) + λ2 χ2 (t) = 0¡¢â êîîðäèíàòàõ λ1 , λ2 áàçèñà u(χ(t)), v(χ(t)) .

Òàê êàê êðèâàÿ χ(t) íå ñîïðèêàñàåòñÿc P , òî îäíî èç ÷èñåë χ̇i (0), íàïðèìåð χ̇1 (0), îòëè÷íî îò íóëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,¡¢â êîîðäèíàòàõ λ1 , λ2 áàçèñà u(x), v(x) ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå lt ïðè t → 0îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåìλ1 + λ2 χ̇2 (0)/χ̇1 (0) = 0.Î÷åâèäíî, ÷òî òàê ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå îäíîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â Zx 2.Ïðèìåð 2. Ïóñòü M = R4 è ω = x3 dx1 ∧ dx2 + x2 dx1 ∧ dx3 − dx2 ∧ dx4 . Ìàòðèöàôîðìû ω èìååò âèä:0 −x3 −x20x3 x20000100−1 .0 0Ìíîæåñòâî Θ ñîâïàäàåò ñ ãèïåðïëîñêîñòüþ x2 = 0.  êàæäîé îñîáîé òî÷êå x ÿäðîZx íàòÿíóòî íà âåêòîðû∂∂∂,− x3,∂x3∂x1∂x4â ñèëó ÷åãî îíî êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè Θ.

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = x1 x3 + x2 .Ïðÿìàÿ σ ⊂ Θ, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì x1 = x2 = x3 = 0, ñîñòîèò èç òàêèõ òî÷åêx, â êîòîðûõ èìååò ìåñòî df (Zx ) = 0, íî êàê óãîäíî áëèçêî ê x íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êày ∈ Θ, â êîòîðîé df (Zy ) 6= 0.  ñàìîì äåëå:¶µ¶µ∂∂= (x1 dx3 + x3 dx1 + dx2 )= x1 ,df∂x3∂x3µdf∂∂− x3∂x1∂x4¶= x3 .Çàìåòèì, ÷òî â 3-ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Θ ïëîñêîñòü Zx îðòîãîíàëüíàïðÿìîé σ â êàæäîé òî÷êå x ∈ σ . Ïðèìåíèì ïðåäëîæåíèå 2 ê èññëåäîâàíèþïðåäåëüíîãî ïîâåäåíèÿ ïîëÿ sgrad(f ).  êîîðäèíàòàõ x1 , x3 , x4 íà S = Θ èìååì:ϕ(x) = x1 ,ψ(x) = x3 .30Êîâåêòîðû dϕx è dψx ëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå x ∈ Θ. Ñîãëàñíîïðåäëîæåíèþ 2, êàæäîå íàïðàâëåíèå â Zx ÿâëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûì ïðåäåëüíûìïîëîæåíèåì sgrad(f ).

Ëåãêî íàéòè èíòåãðàëüíóþ òðàåêòîðèþ ïîëÿ sgrad(f ),óäîâëåòâîðÿþùóþ íà÷àëüíûì óñëîâèÿìx1 (0) = a1 ,x2 (0) = a2 6= 0,x3 (0) = a3 ,x4 (0) = a4 .Îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè, ãäå t âðåìÿ:−t/a2x1 (t) = a1 e,x2 (t) = a2 ,t/a2x3 (t) = a3 e,µx4 (t) = a4 +¶a1 a3− 1 t.a2Èíòåðåñíî, ÷òî åñëè ïðÿìóþ σ ïàðàìåòðèçîâàòü ïàðàìåòðîì t òàê, ÷òî x4 (t) = −t,òî êàæäûé âåêòîð ñêîðîñòè σ̇(t) áóäåò ïðåäåëüíûì ïîëîæåíèåì ïîëÿ sgrad(f ) âòî÷êå σ(t).

 ýòîì ñìûñëå ïðÿìóþ σ(t), ñîñòîÿùóþ èç îñîáûõ òî÷åê, ìîæíî ñ÷èòàòüèíòåãðàëüíîé òðàåêòîðèåé ïîëÿ sgrad(f ) 2. ôîêóñå âíèìàíèÿ äàííîé ðàáîòû íàõîäÿòñÿ ãàìèëüòîíîâû ïîòîêè, êîððåêòíîîïðåäåëåííûå íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(p) îñîáîé òî÷êè p èëè, ïî-êðàéíåé ìåðå,èìåþùèå áåñêîíå÷íóþ ôàçîâóþ ñêîðîñòü íà ïîâåðõíîñòè Θ ∩ O(p) è ãëàäêîå ïîëåíàïðàâëåíèé íà O(p). Åñëè ïîëå sgrad(f ) ãëàäêî ïðîäîëæàåòñÿ íà O(p), òî èçïðåäëîæåíèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî df (Zq ) = 0 äëÿ êàæäîãî q ∈ Θ ∩ O(p).

Ñëåäóþùèéïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííîå óñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì.Ïðèìåð 3. Ïóñòü f1 (u, v) = u1 v1 + u3 ,f2 (u, v) = u2 + v12 , ãäå (u, v) ∈ R3 ×R3 . Òîãäà óðàâíåíèÿ f1 (u, v) = f2 (u, v) = 0 îïðåäåëÿþò 4-ìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèåM ⊂ R6 . Ïóñòü ω îãðàíè÷åíèå íà M ñòàíäàðòíîé ôîðìû du ∧ dv, òîãäà (M, ω) ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ. Îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü Θ ⊂ M ÿâëÿåòñÿ3-ìåðíîé ïëîñêîñòüþ, è îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè u2 = u3 = v1 = 0.  êàæäîé òî÷êåx = (u, v) ∈ Θ ÿäðî Zx íàòÿíóòî íà âåêòîðû∂,∂v2∂∂− u1.∂v3∂u1Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî âû÷èñëèì ôîðìóω=3X(dui ∧ dvi ) |M = du1 ∧ dv1 − 2v1 dv1 ∧ dv2 − u1 dv1 ∧ dv3 − v1 du1 ∧ dv3 .i=1 îñîáîé òî÷êå x èìååì ω = du1 ∧ dv1 − u1 dv1 ∧ dv3 è, äàëåå,µ¶∂∀X ∈ Tx M :ω,X = 0 ,∂v231µω∂∂− u1,X∂v3∂u1¶µ= −(dv1 ∧ (du1 + u1 dv3 ))µ¶∂∂− u1,X ,∂v3∂u1¶∂∂(du1 + u1 dv3 )− u1= −u1 + u1 = 0 ⇒∂v3∂u1¯¯µ¶ ¯u1v3 ¯¯¯0 X + u1 X∂∂¯ = 0,⇒ ω− u1, X = ¯¯¯v1∂v3∂u1X¯ 0¯÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

 êîîðäèíàòàõ (u1 , v1 , v2 , v3 ) ìàòðèöà ôîðìû ω âûãëÿäèòòàê:010−v1 −1 0 −2v −u 11 Ω=. 0 2v100 v1 u100Ôóíêöèÿ f (u, v) = v1 , î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ df (Zx ) ≡ 0, îäíàêîlim |sgrad(f )(y)| = +∞ ∀x ∈ Θ.Θ63y→xÄëÿ ïðîâåðêè äîñòàòî÷íî íàéòè êîìïîíåíòó sgrad(f ), êîòîðàÿ â îñîáîé òî÷êåîáðàùàåòñÿ â ∞. Òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð¡¢3,21(sgrad(f ))v2 = (sgrad(f ))3 = Ω−1=2v12.Èç ïðåäëîæåíèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî åñëè dx f 6= 0 è 2 - ìåðíîå ÿäðî Zx òðàíñâåðñàëüíîãèïåðïëîñêîñòè Hx (f ), òî âñå ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ ïîëÿ sgrad(f ) èíöèäåíòíûïðÿìîé Zx ∩ Hx (f ) è ÿâëÿþòñÿ íåñîáñòâåííûìè.

Î÷åâèäíî, ÷òî ñóùåñòâóåò íå áîëååäâóõ òàêèõ ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé.Òåîðåìà 4 Ïóñòü íà ìíîãîîáðàçèè M çàäàíû ïî÷òè âñþäó íåâûðîæäåííàÿ 2ôîðìà ω è ôóíêöèÿ F , ãëàäêàÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè θ ∈ Θ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîdim Zθ = 2 è dF (Zθ ) 6= 0. Òîãäàlim |sgrad(F )(θ0 )| = +∞Θ63θ 0 →θè â ëþáûõ êîîðäèíàòàõ x â îêðåñòíîñòè θ ïðè θ0 → θ ñóùåñòâóþò ïðåäåëûlim[sgrad(F )(θ0 )]+ = l+ ,lim[sgrad(F )(θ0 )]+ = l− ,P f (ωθ0 )<0P f (ωθ0 )>0èíöèäåíòíûå ïðÿìîé Zθ ∩ Hθ (F ). Ïðè ýòîì, åñëè â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè θïôàôôèàí P f (ω)(x) ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ, òî l+ = −l− ,èíà÷å l+ = l− .32ÄîêàçàòåëüñòâîÍàïîìíèì, ÷òî P f (ω)=√det ω ýòî ëþáîé èç äâóõ(îòëè÷àþùèõñÿ çíàêàìè) ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ýëåìåíòîâìàòðèöû ω .

Åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:XP f (ω) =sgn(σ)ωi1 j1 ωi2 j2 . . . ωin jn ,σ=(i1 ,j1 ,i2 ,j2 ,...,in ,jn )ãäå â êàæäîé ïåðåñòàíîâêå σ âñå is < js è is < is+1 . Ïðè çàìåíå êîîðäèíàò ïôàôôèàíóìíîæàåòñÿ íà îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ßêîáè.Ââåäåì â îêðåñòíîñòè U (θ) òàêèå êîîðäèíàòû x = (x1 , . . . , x2n ), ÷òî x(θ) = 0 èïëîñêîñòü Zθ íàòÿíóòà íà âåêòîðû ∂/∂x1 , ∂/∂x2 â òî÷êå θ.  êîîðäèíàòàõ x èìååì:D(x) = sgrad(F )(x) · P f (ω)(x),iD (x) = −2nXAij (x)j6=iXAij =∂F,∂xjsgn(σ)ωi2 j2 . .