Диссертация (Моделирование и оптимизация лазерно-плазменных источников корпускулярного и электромагнитного излучения), страница 6

В момент времени t  0 плоская электромагнитная волналинейнойполяризации,распространяющаясявположительномнаправлении оси z , падала в нулевой фазе (   0 ) на покоящуюся вначале координат частицу ( x0  0, z 0  0, V0  0 ). Для описания измененияамплитуды волны использовалась функция Гаусса:bx  b  E 0  e t1 2t 22,(6.1)где E0 – максимальное значение амплитуды электрического полялазерного импульса, t 2 – временной параметр, связанный с ширинойэлектромагнитного импульса на половине максимума интенсивностиFWHM по формуле FWHM  t 2 2 ln 2  1.18 t 2 , t1 – длительность переднегофронта электромагнитного импульса, которая в расчетах принималасьравной t1  3t2 .43x, мкм0.10.0-0.10.00.40.81.21.6z, мкмРис. 1.

Траектория движения частицы в электромагнитном импульсе сt2=25 фс и I0 = 1018 Вт/см2Были рассмотрены электромагнитные импульсы с длиной волны  1 мкм, различной длительности (t2 = 3, 5, 10, 15, 25, 50, 100 фс) длякаждого значения интенсивности I0 = 1016, 1017, 1018, 1019 Вт/см2 (  0,0073 ,   0,073 ,   0,73 ,   7,3 соответственно, где   (qE0 ) 2 /( m c) 2(3.3). Таким образом, в расчетах последовательно рассматривалсяпереходотнерелятивистскогодвижениячастицы(   1 )крелятивистскому (   1 ).В качестве примера на рис. 1 приведена траектория движениячастицы в случае, когда длительность t2 составляла 25 фс, аинтенсивность 1018 Вт/см2.

На рис. 2 приведен график измененияэнергии частицы в течение рассматриваемого в расчете промежуткавремени для тех же условий. Из рис. 1 и 2 видно, что во времяпрохождения волны частица совершает колебания вдоль оси x и44движется поступательно вдоль оси z , при этом энергия частицыколебательно возрастает, а затем убывает, возвращаясь к нулевомузначению.200Энергия, кэВ16012080400050100150Время, фсРис. 2. Изменение энергии частицы в электромагнитном импульсе сt2=25 фс и I0 = 1018 Вт/см2Таким образом, частица после прохождения электромагнитногоимпульса не приобретает энергию, а лишь смещается в направлениираспространения волны.

Отметим, что в случае других значенийинтенсивностиидлительностиимпульсаобщийвидграфиковтраектории и энергии частицы сохраняется, меняется лишь числолокальных экстремумов и масштабы по осям. Аналитические расчетыдвижения частицы по формулам (2.25), (4.2), (4.5), (4.6), (4.7), (5.9),(5.10), (5.23) проводились для тех же условий, что и численные расчеты,описанные выше.

При таких начальных условиях формулы (2.25), (4.7)принимают следующий вид:  x   y  0,  mc .45При этом функция Z (t ) , описывающая плавно меняющуюсясоставляющую z -координаты частицы, определяется выражением: 2 t  Z  t1  2  t1 q 2  bx20 cZ (t )  t 2  Erf  Erf 22t28  m  c  2  t2  ,(6.2)где Erf t  - это функция ошибок, определяемая как интеграл от Гауссовараспределения:Erf x  2x e d .204,0Период, фс3,83,63,43,2050100150Время, фсРис.

3. Изменение периода колебаний частицы в импульсе с t2=25 фс иI0 = 1018 Вт/см2: сплошная кривая - аналитический расчет, точки результаты численного моделирования.~Формулы для энергии частицы  (4.2) и периода ее колебаний T(5.23), отличающегося от периода T  2 /  волны, с учётом (6.2)записываются следующим образом:46  mc 2 1 q2 2 ~bx ( )1  cos2~  ,4 m 2(6.3)1 q2~T  T 1 b 2 (~)  .2 2 2 x4m c(6.4)1cгде    (t )  t  Z (t ) .На рис.

3 приведена зависимость периода колебаний частицы вполе квазимонохроматической волны от времени при t2 = 25 фс иинтенсивности импульса 1018 Вт/см2. Сплошной кривой показанрезультат аналитического расчета (6.4), а точками - результатычисленного моделирования. Для нахождения периода колебанийчастицы в случае численного моделирования мы определяли расстояниемежду соседними максимумами на графике зависимости энергиичастицы от времени.

Видно, что аналитический результат совпадает счисленным с хорошей точностью. Максимальное значение периодаколебаний частицы достигается, очевидно, в тот момент, когда частицаоказывается в максимуме поля:1 ~Tmax  T 1    .4 (6.5)Напомним, что приближенное аналитическое решение уравнениядвижения в случае квазимонохроматической волны было получено сиспользованиемвыполнениеусловияусловияадиабатичности(5.1)является(5.1).критериемСледовательно,применимостианалитических формул в конкретном расчете. Подставив значениепериода колебаний частицы (6.5) в критерий (5.1), мы сможем оценитьобласть применимости используемого адиабатического приближения.Рассматривая в качестве величины  b ширину импульса на половинеинтенсивности FWHM , перепишем критерий (5.1) в виде:FWHM k 1   ,T4(6.6)где k - численный коэффициент, который определяется из сравненияаналитических и численных расчетов.47Рис.

4 Огибающая графиков энергий по локальным максимумамСравнение проводилось путем нахождения разницы энергий,полученныхваналитическомичисленномрасчете,длячегопервоначально строились огибающие графиков энергий по локальныммаксимумам. Пример построения такой кривой для импульса c t2 = 10 фси I0 = 1018 Вт/см2 показан на рис. 4.Далее, из огибающей кривой для энергии частицы, полученной врезультате численного расчета, вычиталась огибающая кривой дляэнергии, рассчитанной аналитически.4810E, кэВ50-5-10050100150Время, фсРис.

5. Разница энергий, полученных численно и аналитически дляимпульса с t2=25 фс и I0 = 1018 Вт/см25.0E, кэВ2.50.0-2.5-5.00100200300Время, фсРис. 6 Разница энергий, полученных численно и аналитически дляимпульса с t2=50 фс и I0 = 1018 Вт/см2.Примеры полученных результатов для случая I0 =1018 Вт/см2 идвух длин импульсов показаны на рис. 5 и рис.

6 из которых видно, что всреднем сначала результат численного расчета превышает результат49аналитического,азатеманалитическийрезультатпревышаетчисленный. Такая закономерность, связанная с отсутствием учетазапаздывания в аналитических формулах, наблюдается для всехрассмотренных случаев.Количественнуюхарактеристикуотличияэнергийчастицы,полученных в аналитическом и численном расчете, которую можноусловно назвать ошибкой аналитического расчета, представим в виде:Emax 100% ,Emax(6.7)где Emax – максимальное значение разности огибающих кривых дляэнергий частицы, полученных численно и аналитически, эВ, Emax –максимальная энергия частицы, полученная в численном расчете, эВ.50 = 0,0073= 0,073= 0,73 = 7,340, %30201000510152025FWHM/TРис.

7 Зависимости величины  от отношения FWHM TНа рис. 7 показана зависимость величины  от нормированнойдлительностиимпульсаFWHMTприразличныхзначениях50интенсивности электромагнитного импульса. Из графиков на рис. 7видно, что для всех интенсивностей величина уменьшается сувеличением длительности импульса. Кроме того, ошибка  растет сувеличением интенсивности электромагнитного импульса. Отметим,однако, что при интенсивностях I0 = 1016, 1017 и 1018 Вт/см2 зависимости отличаются незначительно.Будем считать, что удовлетворительная точность аналитическогорасчета достигается при   10% , тогда из графика для I0 = 1016 Вт/см2(рис. 7) можно оценить нижнюю границу области применимостиадиабатического приближения в нерелятивистском пределе (   0.0072 ):FWHM 3 и определить параметр k  3 , подставляя найденное значениеTFWHMTвформулу(6.6).Тогда,вобщемслучаекритерийприменимости приближенного решения запишется в виде:FWHM 3 1   .T4Подставивв(6.8)(6.8)значение  7.3 ,чтосоответствуетинтенсивности импульса 1019 Вт/см2 , получим: FWHM  8,4 .

Как следуетTиз графика (рис 7) для интенсивности импульса 1019 Вт/см2, величина  10% достигается приFWHM 4,7 . Таким образом, формула (6.8)Tгарантированно определяет область применимости приближенногорешения, несколько завышая ее нижнюю границу.В третьей части настоящей главы отмечалось (см. такжецитированную там литературу), что заряженная частица можетприобретать энергию в результате взаимодействия с электромагнитнымимпульсом с резким передним (или задним) фронтом.

В то же время, какследует из рассмотренного выше приближенного решения, еслипараметры электромагнитного импульса удовлетворяют критерию (6.8),51топослевоздействияимпульсаэнергиязаряженнойчастицывозвращается к своей начальной величине.Похожее поведение «простейшей модели плазмы» - парывзаимодействующихплоскостизаряженныхограниченоупругочастиц,движениеотражающимикоторыхнараздвигающимися(сдвигающимися) стенками, исследовалось в работе [31]. В случаедостаточно медленного – адиабатического – движения стенок изменениеполной энергии такой системы оказывается обратимым. Условие~адиабатичности в данном случае совпадает с условием (5.6), если под Tподразумевается промежуток времени между двумя последовательными«отражениями» центра масс пары частиц от стенок, а под  b - время, закоторое положение стенок заметно изменяется.

При нарушении данногоусловия энергия системы при возврате стенок в исходное положениеуже не будет совпадать со своим начальным значением. Из расчетов,проведенных в [31], следует, что для обратимости полной энергии пары~заряженных частиц необходимо выполнение условия T /  b  0.005 .Примечательно, что для обратимости энергии заряженной частицы вполе электромагнитного импульса достаточно гораздо более слабого~условия T /  b  0.3 .521.7 Выводы Главы 1Проведен подробный анализ задачи о движении заряженнойчастицы во внешнем заданном поле плоской электромагнитной волныбольшой амплитуды, когда необходимо релятивистское рассмотрение.Исследованыразличныеслучаиначальныхусловийдвиженияуравненийдвижениязаряженной частицы и поляризации волны.Полученозаряженнойприближенноечастицыврешениеплоскойквазимонохроматическойволне.Найдены усредненные по осцилляциям координаты, скорость, импульс,энергия частицы и действующая на частицу средняя сила.На основании сравнения приближенного решения уравненийдвижения заряженной частицы в плоской квазимонохроматическойволне и численного решения точного уравнения движения показано, чтоформулы приближенного решения позволяют описывать движениечастицы с хорошей точностью в широком диапазоне значенийинтенсивностиидлительностиимпульса.Полученкритерийприменимости приближенного решения в зависимости от интенсивностии длительности импульса, из которого следует, что точность результатованалитического расчета возрастает с увеличением длительности иуменьшаетсясувеличениеминтенсивностиэлектромагнитногоимпульса.53ГЛАВА 2.