Диссертация (Моделирование и оптимизация лазерно-плазменных источников корпускулярного и электромагнитного излучения), страница 3

[10, §47])  c(  p z ) ,(2.16)где  - постоянная (причем   0 , так как при любом значении p zэнергия   mc 2 , см. (2.11)).16В уравнениях (2.14), (2.15) переменная  в A  понимается как(см. (2.4))   t z t , где z t  - координата частицы в момент времени t.cПоэтомуV t d 1 z .dtc(2.17)Из (2.14), используя (2.17), находим (см. [10, §47]):pi   i qAi , i  x, y,c(2.18)где  x и  y - постоянные. Функцию p z   находим из (2.11), используя(2.16) и (2.18), (см.

[10, §47]):pz 122  mc2   2   2  2 q   A   q  A 2 ,cc(2.19)где  2   x2   y2 .Скорость частицы, согласно (2.13) и (2.16),V drcp.dt   p z(2.20)Если используя (2.20), V z выразить через p z , то равенство (2.17)можно записать в виде:d.dt   p z(2.21)Учитывая (2.21), уравнения (2.20) для координат частицыприводим к видуdr c p.d(2.22)17Отсюда,используяфункцииp (2.18)-(2.19),находимпараметрические формулы [10, §47]:x  x0 y  y0 c x    0  cq y    0  xq A  d  ,0 A  d  ,(2.23)y0 c  m 2c 2   2 q  q2z  z 0   1   0   2    A d  A2  d ,22 2 02c  0ct  c  z,где x0 , y0 , z 0 - координаты частицы в момент времени t  0 и  0   z 0 c .Постоянные  x ,  y и определяются заданием начальнойскорости частицы V0 .Из (2.18), (2.13) и (2.11) находим:i mVi 0qAi  0  , i  x, y.c1  V02 c 2(2.24)Из (2.16), (2.13) и (2.11) находим  mc1  Vz 0 c1  V02 c 2.(2.25)Заметим, что величина   с  pzостается постоянной ( называется интегралом движения1) и при наличии постоянногомагнитного поля, если его направление совпадает с направлениемраспространения волны (магнитное поле не изменяет энергию частицыи, если оно направлено по оси z, не изменяет импульс p z ).

Этообстоятельствоимеетрешающеезначениедляэффектаавторезонансного движения частицы в плоской монохроматической1Существование интеграла движения γ называют теоремой Лоусона-Вудварда[14,15]18волне, предсказанного в [16, 17] и исследованного численно, например,в [18].1.3 Лазерный импульс с резкими фронтамиСамый простой случай, когда вычисления можно продолжить (т.е.вычислить интегралы в (2.23)), - это импульс с резкими передним изадним фронтами. Этот вариант ускорения электронов в плоскойпоперечной волне исследовался экспериментально и теоретически в [1,3].

Чтобы сравнить результаты, получающиеся из общих формулпредыдущего раздела с результатами [1], выберем поле E в таком виде,как в [1]:E x  H y  E ( ) ,Ey  H x  0,z t ,cE ( )  E0 sin( ) ( )   (  l / c),(3.1)где  ( )  0 , если   0 , и  ( )  1 , если   0 , - функция Хевисайда,амплитуда поля E0  0 и длина l  0 .Полю (3.1) соответствует потенциалAx  A( ) ,A( )(см. (2.7)) в виде:Ay  Az  0 ,1,   0 cA( )  E0 cos( ), 0    l / c   E0 1, cos( ), cos(kl), k  . (3.2) c cos(k l ),   l / ccНачало координат выберем в точке, где находится покоящаясячастица до прихода импульса. Отсчет времени будем вести от момента19прихода переднего фронта импульса в начало координат, так что, как и в[1], r0  0 , V0  0 и  0  0 .

Тогда из (2.25), (2.24) и (3.2) следует, что2q x  mc  ,q  mc , qE  0  . mc y  0;(3.3)Из (2.18), (2.19), (2.16), (3.2) и (3.3) находим:p x ( )  2mc q0, sin 2 ( / 2), sin 2 (k l / 2) ,qpy  0 ,p z ( )  2mc 0, sin 4 ( / 2), sin 4 (k l / 2) ,  mc 2 1,1  2 sin 4 ( / 2),1  2 sin 4 (k l / 2).(3.4)Из (2.13) и (3.4) находим:Vx / c  2 qsin 2 ( / 2)sin 2 (kl / 2) 0,, , Vy  0 ,q  1  2 sin 4 ( / 2) 1  2 sin 4 (kl / 2) sin 4 (k l / 2) sin 4 ( / 2)Vz / c  2  0,,.44 1  2 sin ( / 2) 1  2 sin (k l / 2) (3.5)После прохождения импульса частица получает максимальную(призаданномзначениипараметра(3.3))энергию,еслиk l / 2  2n  1 , n  0,1,2...

, или l / cT  n  1 / 2 , т.е. если в длине импульса l2укладывается нечетное число полуволн. Если же в длине импульсаукладывается целое число волн l / cT  n или k l / 2  n , то частица послепрохождения импульса снова покоится.Из (2.23), (3.2) и (3.3) можно найти и координаты частицы.Простые вычисления приводят к следующим ответам:x( ) qq  0,sin  1 c ,   sin kl  l coskl  c coskl  1 ,k ky( )  0 ,20 3sin  sin 2 c112z ( )    0, c , 1  cosk l   l  cosk l   cos 2 k l    k8k224 411  sin k l   sin 2k l  .k8(3.6)Из (3.5) следует, что при   l / c скорость частицы Vизменяется, т.е. момент времениt1и координатаz1нечастицы,соответствующие прохождению заднего фронта импульса, связаныравенством t1  (l  z1 ) / c .

Из (3.6) при  l / c находим:z1 31l   sin kl  sin 2kl  .4k8(3.7)Соответствующий момент времени1 3 l t1  1      sin kl  sin 2kl  .8 4 c (3.8)Соответствующая x  координата находится из (3.6) при   l / c :x1  x(l / c) qq l sin k l  .k (3.9)Как и должно быть, при t  t1 (или при   l / c ) соответствующиевыражения (3.6) могут быть приведены к видуx(t )  x1  Vx (t  t1 ) ,y (t )  0 ,z(t )  z1  Vz (t  t1 ) ,(3.10)где V - постоянная скорость частицы после прохождения импульса (см.(3.5)).Формулы (3.4) – (3.5) полностью совпадают с результатами [1].Заметим, что после прохождения лазерного импульса постояннаяскорость Vz  0 (см.

(3.5)). Мы обращаем внимание на этот результатпотому, что согласно работам [19, 20], в некоторых условиях существует21возможность дрейфа частицы после прохождения лазерного импульса внаправлении, обратном направлению его распространения.1.4 Движение заряженной частицы в поле монохроматическойплоской волныДля дальнейшего изложения векторный потенциал (2.4), (2.6)удобно представить в виде:Ax  cbx ( )sin  ,Ay  вводя новые функции bx ( ) иcby ( ) cos  ,(4.1)by ( ) и   ( )     ,где  и  -постоянные. При этом формулы (2.18) – (2.20), (2.16) и (2.23) принимаютследующий вид:px   x qbx ( )sin  ,py   yqby ( ) cos  ,  c 1  g ( ) ;(4.2)Vx cq  x  bx ( )sin   , 1  g ( ) Vy c 1  g ( )  yVz  cpz   g ( ) ,by ( ) cos   ,qg ( );1  g ( )(4.3)cqcx  x0   x    0   bx ( )sin d  , cqcy  y0   y    0 0 by    cos d  ,022z  z0  c  g    d  ,(4.4)0где     ,2 q  2 bx  b y2 cos 2 ,g    h   2  x bx sin    y b y cos      2 q2(4.5)  mc 1  m2c 2   2 q  22   ,     h    1   bx    b y   .

(4.6)222mc 2Для постоянных  x и  y имеем, согласно (2.24) и (4.1):x  где bx 0 иqbx 0 sin  0 by 0 и 0   0  mVx 01  V02 c 2,y  qby 0 cos  0 mVy 01  V02 c 2,(4.7)- значения соответствующих величин в моментвремени t  0.Предельныйслучай,когдаbx ( )иby ( )-постоянные,соответствует монохроматической плоской волне с частотой  ,распространяющейся вдоль оси z , с осями эллипса поляризации,совпадающими с осями x и y (если принять, чтоbx  by  0 ,то верхнийзнак в Ay   (4.1) отвечает правой, а нижний знак – левой поляризации).В этом случае формулы (4.2) – (4.7) приводятся к соответствующимформулам (8) – (13) работы [12]2. Все результаты [12] относятся клабораторной системе отсчета (L-системе).Основные результаты работы [12] состоят в следующем: движениечастицы представляет собой наложение дрейфа – движения спостоянной скоростью2В дальнейшем мы часто будем ссылаться на работу [12]; ссылка, например, [12, (12)] будет означатьссылку на формулу (12) из [12].23~ yVy ~ Vx  xch~Vz 1 hc, 1 hc, 1 h(4.8)и осцилляционного (колебательного) движения с периодом~ 2T 1T~~  T 1  h  . 1  Vz / c 1  Vz c(4.9)~Средняя (по периоду T ) скорость осцилляционного движения~равна нулю, так что скорость (4.8) есть и средняя скорость V  V .

Дляволны с круговой поляризации bx  by  b / 2 , при этом 1  qb  1  2q 2h I2   ,  2 52  mc  2   m c 22где I  cb2 /(8 ) - интенсивность волны,   2 c /  - длина волны.Период осцилляций частицы в этом случае равен:T  T (1  h)  T (1   / 2) .Средняя энергия первоначально покоящейся частицы в волнекруговой поляризации:12  mc 2  mc 2  1 .4  2 Видно, что период осцилляций частицы и ее средняя энергия независят от начальной фазы волны.В случае линейной поляризации bx  b ,by  0(по-прежнему длянеподвижной в начальный момент времени частицы)1  qb 22h  1  2sin  0   1  2sin  0  .4  mc 42Период осцилляций частицы равен: T  T 1  1  2sin 2  0   . 424Средняя энергия первоначально покоящейся частицы в волнелинейной поляризации: 1 8  2sin 2  0  1 2 2.  mc  mc  1  2sin  0 41  1 4   1  2sin 2  0  2Максимальная средняя энергия получается при фазе  0 3или,22когда поле в точке, где в начальный момент времени находится частица,равно нулю3.

В этом случае имеем34  mc 2  mc 2  1 17  .24  18 Минимальная средняя энергия соответствует фазе 0  0 или  иопределяется формулой14  mc 2  mc 2  1 .8  2 Наконец, усредненная по начальной фазе  0 средняя энергиязаряженной частицы в поле плоской монохроматической волнылинейной поляризации имеет вид14  mc 2  mc 2   6 32  7 2 4  3 4   .На рис. 4.1 приводятся зависимости средних энергий электрона отинтенсивности плоской монохроматической электромагнитной волны:кривая 1 - в случае линейной поляризации, кривая 2 - в случае круговойполяризации.

Кривая 3 - расчет по формуле для кинетической энергииэлектрона K  mc 2 1   1 ,осциллирующего в поперечном поле падающейсветовой волны, приведенной в работе [21]. Как видно из рисунка, эта3Заметим, что максимальная средняя энергия частицы в монохроматической волне меньше, чемэнергия, полученная частицей при взаимодействии с лазерным импульсом с резкими фронтами(согласно (3.4):  max / mc 2  1  2 .25формула, полученная в приближении E  1c V  B , дает существеннозаниженные значения средней энергии электрона в электромагнитномполе релятивистской интенсивности.