Диссертация (Моделирование и оптимизация лазерно-плазменных источников корпускулярного и электромагнитного излучения), страница 5

Можноожидать, что и теперь, когда волна – не монохроматическая (но   1),движение частицы на интервале времени, малом по сравнению с  b ,будет мало отличаться от ее движения в строго монохроматическомполе, т.е. тоже будет колебательным с периодом T , который теперь самбудет медленной функцией времени. Исходя из этих соображений,представим выражение для координат (5.4) в виде, аналогичном [12,(14)]:r (t )  R(t )   (t ),где R   X , Y , Z -(5.5)медленныефункциивремени,а    , ,  -соответствуют колебательному движению частицы.Будем полагать, что колебания малы по сравнению с расстоянием,на котором заметно изменяются амплитуды bx иby : max  cT  c b , иличто выполняется условие  T /  b  1 ,(5.6)которое может быть более сильным условием, чем условие (5.1).

Еслиусловие (5.6) выполняется, то вводя1~t   t  Z t  ,c,(5.7)34так что   ~   t  , и опуская малые по параметру (5.6) слагаемые,1cимеем:bx    bx ~  ,~  c~b y    b y ~  ,~ h d    h d    h d    h d   c h~  t  .0~01(5.8)0Подставляя (5.5) и (5.8) в (5.4) и отделяя плавные слагаемые отосциллирующих, получаем:X t   x0  cx ~   0   qc2 bx0 cos  0  Dx ~  ,Y t   y 0  cy ~   0   qc2 by 0 sin  0  D y ~  ,~(5.9)2 xbx0 cos 0   yby 0 sin 0   c  q  bx20  by20 sin 20 Z t   z0  c  h d  22  2  0 D ~ ;qcz t   x t   Dz   qc2 bx ~ cos   Dx ~  , t   y t   Dz   qc2 by ~ sin   D y ~  ,(5.10)21  qcc  q  2 ~2 ~~~ t   bcosbsinbbsin2x xy yxy1  h~    22  2  D ~ ,zгде Dx ~  ,D y ~ и Dz ~  - некоторые функции (характеризующиеся, каки bx   и b y   , параметром  b ), которые еще нужно определить.~Введем промежуток времени T согласно равенству~t  T   ~t   T .~(5.11)35Отсюда, используя определение ~t  в (5.7) и опуская малые попараметру (5.6) слагаемые, находим:~T ~где Vz T~V1 z,(5.12)cdZ t .dtДля изменения фазы t      за время T~(5.12) имеем,согласно (5.7) и (5.11):11~~   t  T  t    ~  T   t  T    ~   t   2  k , (5.13)ccгде~   t  T   t иk  .cВпредельномслучаестрогомонохроматической волны функция  t  - периодическая функция спериодом T (5.12) (как и функции  t  и  t  ), так что   0 .

В общем~же случае   0 (как и~~   t  T   t  и    t  T   t  ).К вопросу отом, достаточно ли условия (5.6), чтобы можно было пренебречьвеличинами  ,  и  , мы вернемся в конце раздела. Пока мыпримем, чтоk  ~  1,(5.14)и поэтому в дальнейших вычислениях будем считать (см. (5.13))  2 .Функции D x ,значенияDy~и D z выберем так, чтобы средние по периоду Tкоординат(5.10),соответствующихосцилляционномудвижению, были равны нулю:1 t   ~T~t T  t dt   0 , t   0 , t   0 .(5.15)t36Пренебрегая малыми по параметрам (5.6) и (5.14) слагаемыми ииспользуя (2.21), (4.2), (4.5), (4.6) и (5.12), находим:1cos   ~Tq y b y  V~zt cos t dt    2 2 1  c~t Tq x bx2 2sin  где bx  bx ~t  ,~ Vz1 c,b y  b y ~t ,sin 2  0 ,и V~z(5.16)~ Vz ~t  .Из (5.15), (5.10) и (5.16) после простых вычислений получаем:Dx  cq 2  y bx by  V~z1 3c2  ,Dy  cq 2  x bx by  V~z1 3c2  ,Dz  0 .(5.17)~Для усредненных по периоду T координат и скорости частицы из(5.5), (5.9), (5.10), (5.15) и (5.17), пренебрегая малыми по параметрам(5.6) и (5.14) членами, получаем:1x t   ~T~t T1 xt xt dt   X t   2   ,11 yy t   Y t   , z t   Z t   h~  ,22 (5.18)где   с  T - длина волны;d xt  dX t  ~ Vx t   c xdtdt~ Vz1 c,yd yt  dY t  ~V y t   V y t   cdtdt~ Vz1 c,Vx t  Vz t  (5.19)d z t  dZ t  ~h~  Vz t   c.dtdt1  h~ Для импульса и энергии частицы (4.2), используя (5.16) и (5.19),получаем следующие выражения:371p x t   ~T~t Ttq 2bx2 ~ p x t dt    x 1 2~ ,21hq 2by2 ~ p y t    y 1 ,2~ 2  1  h p z t  /   h~  24 q  2 ~1 q 222 ~ 2~~bbbb,xxyyxy 2   2 21  h~   t   c  pz t .(5.20)В пределе строго монохроматической волны, когда bx ,by(и h ) –постоянные, все формулы этого раздела приводятся к соответствующимформулам работы [12].Из (5.20) находим среднюю силу, действующую на частицу:Fx t  dp x t q2 x1 dp xd  bx2 ~  ,dt1  h~  d~ 2 2 1  h~  d~  1  h~  Fy t  2 ~d  by   ,22  1  h~  d~  1  h~  Fz t  d q2 ~h x bx ~ 2   y by ~ 2 2~~21  h  d 2   1  h~ q2 y 22  q  2 ~2 bx    by ~   . 4  (5.21)1cНапомним, что  (t )  t  Z (t ) , а Z (t ) - определяется уравнением в (5.9) сDz  0 (см.

(5.17)). В нерелятивистском пределе (когда   mc ,x , y  mc и h( )  1 ) Fx  Fy  0, а для Fz (t ) , используя (4.6), получаем:Fz t   mc2dh~ 1 q  d 2 ~2mc ~ bx    by ~  ~d4  mc  d38q2  2 ~q2 2 ~bbE2 ,xy4m 2 Z2m 2 z(5.22)где (см. (2.7) и (4.1)) E 2  E x2  E y2 , E x  bx  cos  , E y  by  sin  иугловые скобки ... ,как и в (4.22), обозначают усреднение по периодуволны (или по фазе). Как и должно быть, в нерелятивистском пределеполучается известная сила Гапонова -Миллера F  q2 E 2 [29].2m 2В ультрарелятивистском пределе для случая, когда частицапокоится до прихода импульса (   mc ,  x   y  0 и h~   1 ) получаем:Fx  Fy  0,2 ~2 ~ 2mcd 2 ~mcd  bx    by   2 ~Fz t   2 ~bx    by   .bx    by2 ~  d~2 bx2 ~   by2 ~  d~  bx2 ~   by2 ~    (5.23)Для падающей электромагнитной волны с круговой поляризацией~bx ~   by ~   b 2, при этом формула (5.23) приобретает вид:dFz t   mc ~ ln b 2 ~   mc2 ln b 2 ~  .d(5.24)В случае электромагнитной волны с плоской поляризациейbx ~   b~  , by ~   0 , формула (5.23) переходит в следующую формулу:3d3Fz t   mc ~ ln b2 ~    mc2 ln b2 ~  .2 d2(5.25)Из (5.24), (5.25) видно, что в ультрарелятивистском пределесредняя сила, действующая на частицу в отличие от нерелятивистскогослучая не зависит от амплитуды поля, а определяется изменением поля впространстве и времени [30].39Заметим, что после прохождения волны импульс и энергиячастицы принимают те значения, которые были до того, как волнадошла до частицы.

Смещение частицы за время прохождения волны,если частица ранее покоилась, отлично от нуля только вдольнаправления распространения волны.Вернемся к вопросу об условиях, при которых выполняетсянеравенство (5.14) и функции  t  ,  t  и  t  можно считать почтипериодическими с периодом (см. (5.12) и (5.19))~T  T 1  h~  .(5.26)Мы ограничимся случаями, когда исследование этого вопросаможет быть доведено до окончательного ответа.

Будем полагать, чточастица в начальный момент времени (до прихода импульса) покоится:V0  0 ,bx 0  b y 0  0 .Тогда согласно (2.25),   mc ; согласно (4.7),2222 x   y  0 и, согласно (4.6), h  qb 2mc  , где b  bx  b y .Формулы(5.10),вкоторыхнеравенство(5.14)ещенеиспользовалось, принимают следующий вид: t   qbxcos   Dx ,m 22 t   qb ym 2sin   D y ,1 q  22 t   bx  b y sin 2  Dz .8c1  h   m (5.27)Далее мы рассмотрим случаи круговой и линейной поляризаций.В случае круговой поляризации bx  b y  bqb , h  2 2mc 2и, какследует из (5.27),   0 ,   2 (см.

(5.13)), и cos t  и sin t  ~периодические функции времени с периодом T (5.26). Чтобы  0,выбираем Dx  0 ; чтобы   0 , выбираем D y  0 :40 t   qb2m 2 t   cos  ,qb2m 2 t   0 .sin  ,(5.28)Отсюда, используя (5.11), находим:~   t  T   t   qdbT ~ cos  ,d2m2~   t  T   t   qdbTsin  ,2m 2 d~  0 .(5.29)Из (5.29) и (5.28) получаем:ТакимT db~ .b d~образом,(5.30)вслучаекруговойполяризацииотличиеколебательного движения частицы (покоящейся до прихода импульса)от строго периодического с периодом (5.26) определяется малымпараметром (5.1).2В случае линейной поляризации bx  b ,by  0qb и h   . 2mc Формулы (5.27) принимают вид: t   2qb1 qb cosDt0,,t sin 2  Dz ; (5.31)xm 28c1  h   m мы выбралиDy  0 ,чтобы   0 .

В данном случае мы вынужденыпринять условие (5.14). Пренебрегая величиной k , мы получим для Dформулы (5.17), в которых нужно положитьb y  0 : Dx  D y  Dz  0 .Формулы (5.31) можно представить в следующем виде: t   qbcos  ,m 2 t   0 , t   hsin 2 .4 1  h(5.32)Отсюда, используя (5.11), (5.13) и (5.14), находим:41kqbqdb~   t  T   t   sin   cos T ~ ;22dmm1dhsin 2.~2 1  h  d 1  h1  cos 2 (5.33)Отношение   достигает максимума при фазе  m такой, чтоcos 2 m   h1  h ; соответствующее значениеmax1dhh~ .~1  h 1  2h2 1  h  1  2h d(5.34)Таким образом, при любых полях условие (5.14) выполняется: прислабом поле, h  1 ,    h ; при сильном поле, h  1 ,     h .Из (5.33) и (5.32) находим, что отношениеT dh1.~h d 1  h1  cos 2 (5.35)Это отношение имеет максимальное значение при cos 2  1 и maxT1 dh~  .

Такимh dобразом, при любых полях     .Так же из (5.33) и (5.32) находим:TЭтоTmax1 db 2hsin 2 1.~b d  1  h 1  h1  cos 2 отношениемаксимально(5.36)приsin   1и1 db 2h 2h 1~ 1 .~b d  1  h  1 h Таким образом, при любых полях     .421.6 Сравнение аналитических результатов с моделированиемдвижениязаряженнойчастицывплоскойквази-монохроматической электромагнитной волне.Настоящийразделприменимостипосвящениспользуемоговисследованиюразделе1.5пределовприближенияадиабатичности (5.1) путем сравнения полученного там приближенногорешения c результатами численного решения точного уравнениядвижения заряженной частицы во внешнем заданном поле плоскогоэлектромагнитного импульса в широком диапазоне его интенсивностейи длительностей.Численное моделирование движения релятивистской частицы смассой m и зарядом q в поле электромагнитного импульса проводилосьпри помощи двухмерной XZ – версии электромагнитного PIC кодаКАRАТ [11].