Диссертация (Моделирование и оптимизация лазерно-плазменных источников корпускулярного и электромагнитного излучения), страница 12

В работе [33]исследуются зависимости коэффициентов отражения и абсорбциилазерных импульсов, падающих на мишени различного состава,интенсивностьлазерногоизлученияменяетсявдиапазонеI  1013  1018 Вт см 2 . Эксперименты [33] показывают, что коэффициентотражения импульса от металлической мишени уменьшается с ростоминтенсивности до 1015 Вт/см2, а затем опять растет.Существует ряд теоретических исследований, направленных насоздание математических моделей для расчета коэффициента отражениялазерногоимпульсапроизвольнойинтенсивностиотплазмыпроизвольной плотности. Ранним примером подобных исследованийявляется работа [25], в которой авторы описывают самосогласованнуюмодель и осуществляют численный расчет коэффициентов отражениялазерного импульса длительностью 0.01…10 пс с интенсивностьюI  1012  1016 Вт см 2 , падающего на плоский плазменный слой. В работе[27] описана расчетная модель и приводятся результаты численногомоделированияотражениялазерногоимпульсафемтосекудной88длительности с интенсивностью I  1014  1017 Вт см 2 от лазерной плазмытвердотельнойплотности,результатыхорошосогласуютсясэкспериментальными данными других исследователей.

В работе [34]также приводятся результаты численного моделирования отражениялазерного импульса с интенсивностью до 1020 Вт/см2 от твердотельныхмишеней. Авторы работ [28, 30, 31] приводят результаты теоретическихрасчетов коэффициента отражения в сравнении с полученнымиэкспериментальными результатами. Например, в работе [30], помимоэкспериментального исследования, описана теоретическая модельвзаимодействия интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов ствердотельнымимишенями,использующаядвухтемпературноеуравнение состояния облучаемого вещества и позволяющая рассчитатькоэффициент отражения импульса, сравнение экспериментальныхданныхсрезультатамирасчетоввдиапазонеинтенсивностейI  1013  1014 Вт см 2 позволяет уточнять некоторые параметры модели.Каквидноизприведенныхданных,верхнеезначениеинтенсивности лазера I  1016  1018 Вт см 2 , которое могут обеспечитьдоступныеширокомукругуисследователейэкспериментальныеустановки, не позволяет получить представление о том, какова будетзависимость коэффициента отражения от интенсивности при переходе вобластьI  1018 Вт см 2 ,когдаэлектроныплазмыстановятсярелятивистскими.

Так как твердотельные мишени наиболее удобны дляпроведения экспериментов, основная часть накопленных данных окоэффициенте отражения при интенсивности I  1016 Вт см 2 относится кдиапазонуплотностей,значительнопревышающихкритическуюплотность для длины волны падающего излучения. Теоретическиеисследования покрывают практически ту же область параметров плазмыи импульса, что и эксперименты. Поэтому дальнейший интереспредставляютисследованиякактеоретические,таккоэффициента отраженияиэкспериментальныев области сверхвысоких89интенсивностей импульса I  1018 Вт см 2 и плотностей плазмы нижетвердотельной плотности.Далеепроводитсяаналитическоеичисленоеисследованиекоэффициента отражения интенсивного фемтосекундного лазерногоимпульсасинтенсивностьюI  1016  10 21 Вт см 2отплазмыоколокритической плотности.2.5.2 Определение коэффициента отражения лазерного импульса отоколокритической плазмы по формулам ФренеляЭлектромагнитный импульс, распространяясь в вакууме, падает нарезкую границу «плазма-вакуум», частично отражаясь и частичнопроникая внутрь плазмы.РассматриваетсяэлектромагнитныйнапряженностикоторогораспределениюГаусса.изменяетсяПриимпульс,соамплитудавременемфиксированнойсогласнопространственнойкоординате напряженность электрического поля в таком импульсезависит от времени следующим образом:  t  t 2 1  ,E t   E0 exp  t  2  (15)где E0 – максимальное значение амплитуды электрического полялазерного импульса, t 2 – временной параметр, связанный с ширинойэлектромагнитного импульса на половине максимума интенсивностиFWHM по формуле FWHM  t 2 2 ln 2  1.18 t 2 , t1 – длительность переднегофронта электромагнитного импульса.Классические формулы Френеля для случая нормального падениямонохроматической электромагнитной волны на однородную среду соступенчатой границей общеизвестны [35].

С помощью этих формулможнонайтикоэффициентотраженияпоинтенсивностимонохроматической волны, которая, распространяясь в вакууме, падаетна плазменную среду:902 n pl  1  ,RI   n  1pl(16)где n pl - показатель преломления плазменной среды.Коэффициент отражения по напряженности записывается как:RE Вn pl  1n pl  1.некоторых(17)случаяхудобнопользоватьсякоэффициентомотражения по энергии, который определяется формулой:RW W1,W1(18)где W1 - полная энергия падающей волны, W1 - полная энергияотраженной волны.В случае, когда мнимая часть комплексной диэлектрическойпроницаемости плазмы гораздо меньше действительной, то есть плазмаобладает слабым коэффициентом поглощения, показатель преломленияплазмы описывается формулой [36]: pl4  e 2 ne 11,me  222n pl   (19)где e и me - заряд и масса электрона соответственно, ne - концентрацияэлектронов в плазме6,  - частота электромагнитного излучения, pl 4e 2 ne- плазменная частота.meПодставляем показатель преломления плазмы в (17): pl2 RE  2 1  1  2 pl 22 .(20)Так как общепринятые литеры, обозначающие показатель преломления иконцентрацию электронов плазмы совпадают, в дальнейшем показательпреломления плазмы всегда будем обозначать n pl , а электронную концентрацию ne ,6критическую концентрацию электронов плазмы будем обозначать ncr .91В случае, когда подкоренное выражение в формуле (20) меньше нуля,коэффициент отражения становится равным единице:RE  1 при pl 22 1.(21)Физический смысл (21) следующий: монохроматические импульсы счастотой    pl отражаются от плазмы полностью.Формула (20) позволяет рассчитать коэффициент отражения длямонохроматической электромагнитной волны с частотой  .

В случаелазерного импульса фемтосекундной длительности мы не можемсчитать излучение монохроматическим. Однако любой конечныйэлектромагнитный импульс можно представить в виде совокупностигармонических компонент, путем разложения в ряд или интеграл Фурье.Тогда можно найти коэффициент отражения для каждой из компонентимпульса, а затем найти общий коэффициент отражения.Рассмотрим более подробно данный подход. Исходный импульсзадается формулой:  t 2 f t   E0  sin  0 t   exp     ,  t 2  (22)где 0 - частота колебаний электромагнитного поля импульса.Для перехода из временной области в частотную и построениячастотного спектра импульса используется тригонометрическая формапрямого преобразования Фурье [37]:g   2 f t   sin t  dt .(23)0Формула (23) учитывает, что функция (22) является нечетной.

Послеподстановки (22) в (23) и интегрирования получаем следующий видфункции g   :g   E0 t 2   1 2 1 222 exp  t 2    0    exp  t 2   0    .2 2  4 4(24)92Обратное преобразование Фурье в тригонометрической форме длянечетной функции выглядит следующим образом [37]:f t  12 g    sin t  d .(25)Для того чтобы найти отраженный сигнал, необходимо каждуюгармонику умножить на спектральный коэффициент отражения RE   насоответствующей ей частоте, а затем провести обратное преобразованиеФурье:f refl t  12 g    sin t  R    d .(26)EПодставив в (25) выражения для g   (23) и RE   (19), получаемформулу для отраженного импульса в следующем виде:f refl t  E0 t 2 12    1 exp  4 t    2222pl 00 1 22   exp  4 t 2    0     pl 2 1  1  2. sin t   2 d(27)Учитывая (20) и (21), можно заключить, что результирующийотраженный сигнал складывается из двух частей:f refl  f refl t   f refl t  ,(28)гдеEt 1f refl t   0 2 22   pl  1 1 exp  4 t       exp  4 t       222при2f refl t  при pl 220pl pl 2 1  1  2 pl 22220 sin t   2 d1E0 t 22  1.,(29) pl  1 1 exp  4 t       exp  4 t       sin t  d222022200(30)93После нахождения отраженного импульса f refl можно определитькоэффициент отражения по энергии (18).

Для ограниченного во времениэлектромагнитного импульса можно вычислить удельную энергию,падающую на единицу площади, проинтегрировав мгновенные значенияинтенсивности волны по времени:tКw   Idt ,(31)tНгде I - интенсивность лазерного импульса в момент времени t , t H ; t К  интервал времени, на котором существует лазерный импульс.Тогда коэффициент отражения по энергии для ограниченной во времениплоской волны можно записать следующим образом:КtотрRW wотрwпадIотрdtНtотр,КtпадI(32)dtпадНtпадгде wотр - энергия отраженной волны, приходящаяся на единицуплощади, wпад - энергия падающей волны, приходящаяся на единицуплощади,- мгновенная интенсивность отраженной волны, I пад -I отрмгновенная интенсивность падающей волны, tпадH ; tпадК , tотрH ; tотрК-интервалы времени, на которых существуют соответственно падающая иотраженная волна.Интенсивностьсветаввакуумепропорциональнаквадратуамплитуды световой волны.

Следовательно, можно переписать формулу(32) в виде:t Котр E t dt2отрRW t Нотр,t Кпад(33) E t dt2падt Нпад94гдеEпад t иEотр t - напряженность падающей и отраженнойэлектромагнитной волны соответственно.Формула (33) совместно с формулами (28, 29, 30) позволяетвычислить коэффициент отражения по энергии для электромагнитногоимпульсафемтосекунднойдлительностивслучаеплазмыоколокритической плотности.

На рис. 11 приведен график зависимостикоэффициента отражения по энергии от длительности импульса дляслучая,когдаплотностьплазмыравнакритической.Дляэлектромагнитного импульса с длиной волны   1 мкм критическаяконцентрация плазмы ncr  1,21 10 21 см 3 .Рис. 11. Зависимость коэффициента отражения от длительностиимпульса в случае критической концентрации плазмы ncr=1.21·1021 см-3Из графика на рис.