Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов, страница 11

àññìàòðèâàÿêîëüöî, èìåþùåå ìèíèìàëüíîå ïåðåñå÷åíèå ñ M1 ∩ M2 , ìû ïðèõîäèì ê èçìåíåíèþ òèïà ñâÿçíîé ñóììû (ñî âòîðîãî íà ïåðâûé).Òåì ñàìûì ìû äîêàçàëè íå òîëüêî òåîðåìó 2.5, íî è ëåììó 2.1. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìû ïîëó÷èëè ñâÿçíóþ ñóììó ðîäà íîëü â êîíöå ïðîöåññàäåñòàáèëèçàöèè, òî ýòà ñâÿçíàÿ ñóììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçíóþ ñóììó â óòîëùåííîé ñåðå S 2 × I , ÷òî, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíî êëàññè÷åñêîéñâÿçíîé ñóììå êëàññè÷åñêèõ óçëîâ.2.3. àñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ652.3. Òåîðèÿ Õàêåíàè àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿâèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèéÎñíîâíîé öåëüþ íàñòîÿùåãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé òåîðåìû.Òåîðåìà 2.6.Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, îïðåäåëÿþùèé, ÿâëÿþòñÿ ëè äâàçàäàííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèÿ ýêâèâàëåíòíûìè èëè íåò.ëàâíàÿ èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàñïîçíàâàíèå íåêîòîðîãî êëàññà òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé (òàê íàçûâàåìûõ ìíîãîîáðàçèé Õàêåíà) è èçó÷åíèåíîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé â ýòèõ ìíîãîîáðàçèÿõ ðàíåå øèðîêî ïðèìåíÿëàñü äëÿ ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ çàäà÷ òðåõìåðíîé òîïîëîãèè.

 ÷àñòíîñòè, â ðàìêàõ ýòîé òåîðèè áûëà ðåøåíà ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.Èçâåñòíî [Moi℄, ÷òî ëþáîå òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå òðèàíãóëèðóåìî. Âäàëüíåéøåì âñå ðàññìàòðèâàåìûå òðåõìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ òðèàíãóëèðîâàííûìè; ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàåìûå ïîäìíîæåñòâà òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé, íàïðèìåð, ñîáñòâåííûå ïîâåðõíîñòè â íèõ, ïðåäïîëàãàþòñÿ ïîäïîëèýäðàìè çàäàííîé òðèàíãóëÿöèè. êàæäîì òðèàíãóëèðîâàííîì òðåõìåðíîì ìíîãîîáðàçèè M (áûòü ìîæåò, ñ íåïóñòûì êðàåì) ðàññìàòðèâàþòñÿ ñîáñòâåííûå äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè F .Íàïîìíèì, ÷òî ïîâåðõíîñòü F íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé, åñëè F ∩ ∂M =∂F . Èç êëàññà ñîáñòâåííûõ ïîâåðõíîñòåé âûäåëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûé êëàññíîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé.Íîðìàëüíûå ïîâåðõíîñòè ýòî ñîáñòâåííûå ïîâåðõíîñòè, êîòîðûå, ãðóáî ãîâîðÿ, âåäóò ñåáÿ íîðìàëüíî ïî îòíîøåíèþ ê òðèàíãóëÿöèè.  ýòîìñìûñëå îïðåäåëåíèå çàâèñèò îò òðèàíãóëÿöèè, õîòÿ â äàëüíåéøåì îïèñûâàåìûå íàìè ñâîéñòâà íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ÿâëÿþòñÿ óíèâåðñàëüíûìè.Ñðåäè íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé âûäåëÿåòñÿ êëàññ óíäàìåíòàëüíûõèëè áàçèñíûõ, èç êîòîðîãî âñå íîðìàëüíûå ïîâåðõíîñòè ïîëó÷àþòñÿ ïîñðåäñòâîì ïðèìåíåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ñóììèðîâàíèÿ (ïîäðîáíåå ñì.

[Matv℄).2.3. àñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ66Ïîíÿòèå íîðìàëüíîé è óíäàìåíòàëüíîé ïîâåðõíîñòåé îáîáùàåòñÿ íàìíîãîîáðàçèå ñ óçîðîì ãðàîì áåç èçîëèðîâàííûõ òî÷åê íà êðàå.Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ òåîðèè Õàêåíà íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ñîñòîÿòâ ñëåäóþùåì:1. Íàáîð óíäàìåíòàëüíûõ íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé êîíå÷åí è ñòðîèòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè.2. Äëÿ ìíîãèõ åñòåñòâåííûõ ñâîéñòâ a ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè â ìíîãîîáðàçèè M ñóùåñòâóåò íîðìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü F ,îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì a, òî ñóùåñòâóåò è óíäàìåíòàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì a.Èç ýòèõ ïîëîæåíèé âûòåêàåò, ÷òî íàõîæäåíèå íîðìàëüíîé ïîâåðõíîñòè,îáëàäàþùåé åñòåñòâåííûìè ñâîéñòâàìè, ÿâëÿåòñÿ àëãîðèòèìè÷åñêè ðàçðåøèìîé çàäà÷åé.Ê ñâîéñòâàì ïóíêòà 2 óïîìÿíóòûõ îñíîâíûõ ïîëîæåíèé Õàêåíà îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, ñëåäóþùåå: ñâîéñòâî ïîâåðõíîñòè F áûòü ñåðîé è çàäàâàòüíåòðèâèàëüíûé ýëåìåíò âòîðîé ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïû ìíîãîîáðàçèÿ M .Ê òàêèì æå ñâîéñòâàì îòíîñèòñÿ âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè/äåñòàáèëèçàöèèäëÿ çàäàííîãî ïðåäñòàâèòåëÿ âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ (ñì.

íèæå).Ìû íå áóäåì äàâàòü òî÷íîå îïðåäåëåíèå íîðìàëüíîé ïîâåðõíîñòè è óíäàìåíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Íàøå äàëüíåéøåå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.6áóäåò îñíîâàíî íà òåîðåìå Êóïåðáåðãà è ðÿäå ëåìì èç òåîðèè íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé, äîêàçàòåëüñòâî áîëüøèíñòâà èç êîòîðûõ ìîæíî íàéòèâ êíèãå Ñ.Â.Ìàòâååâà [Matv℄.Íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå îïðåäåëåíèÿ.Ìíîãîîáðàçèå M íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì, åñëè êàæäàÿ âëîæåííàÿñåðà â M îãðàíè÷èâàåò øàð â M .Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ êàê óçëîâ âóòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ M × I , ðàññìîòðåííûõ ñ òî÷íîñòüþ äî ñòàáèëèçàöèé/äåñòàáèëèçàöèé.

Çäåñü M ýòî êîìïàêòíàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü, íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçíàÿ. Ïðè ýòîì ìû òðåáóåì, ÷òîáû äëÿ êàæäîéñâÿçíîé êîìïîíåíòû Mi ïîâåðõíîñòè M, ìíîãîîáðàçèå Mi × I ñîäåðæàëîïî êðàéíåé ìåðå îäíó êîìïîíåíòó çàöåïëåíèÿ L.2.3. àñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ67Íàïîìíèì, ÷òî ðåàëèçàöèÿ âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé, åñëè åå íåëüçÿ äåñòàáèëèçèðîâàòü. äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ òåîðåìà 2.1 Êóïåðáåðãà [Kup℄.Äëÿ ñðàâíåíèÿ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé íàì äîñòàòî÷íî óìåòü íàõîäèòüèõ ìèíèìàëüíûõ ïðåäñòàâèòåëåé è ñðàâíèâàòü èõ.

Àëãîðèòì, êîòîðûé ìûïðèâîäèì íèæå, èñïîëüçóåò òðåõìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ ñ óçîðîì íà êðàå(ñì. îïðåäåëåíèÿ íèæå), êîòîðûå ñâÿçàíû ñ âèðòóàëüíûìè çàöåïëåíèÿìè.Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû èç òåîðèèÕàêåíà-Ìàòâååâà, ñì. [Matv℄ à òàêæå [ÔÌ℄.Ñæèìàþùèì äèñêîì äëÿ ïîâåðõíîñòè F â 3-ìíîãîîáðàçèè M ñ êðàåì∂M íàçûâàåòñÿ âëîæåííûé (íåñîáñòâåííûé) äèñê D ⊂ M , ïåðåñåêàþùèéF ïî ãðàíèöå äèñêà, ò.å. D ∩ F = ∂D.Ïîâåðõíîñòü (áûòü ìîæåò, íåñâÿçíàÿ) F ⊂ M íàçûâàåòñÿ ñæèìàåìîé âîäíîì èç ñëåäóþùèõ äâóõ ñëó÷àåâ:1. Îíà äîïóñêàåò ñæèìàþùèé äèñê D ⊂ M , òàêîé ÷òî êðèâàÿ ∂D íåîãðàíè÷èâàåò äèñêà íà ïîâåðõíîñòè F ;2.

Ñóùåñòâóåò øàð B â M , òàêîé ÷òî B ∩ F = ∂B .Ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ íåñæèìàåìîé, åñëè îíà íå ÿâëÿåòñÿ ñæèìàåìîé.Ïîâåðõíîñòü F ⊂ M íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íî ñæèìàåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò(íåñîáñòâåííûé) äèñê D2 ⊂ M , òàêîé ÷òî D2 ∩ (∂M ∪ F ) = ∂D2 , ïðèýòîì D2 ∩ F ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåòðèâèàëüíóþ äóãó â F (ò.å. äóãó, íåâûñåêàþùóþ äèñê èç ïîâåðõíîñòè F ).Äàëåå, ìíîãîîáðàçèå M íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íî íåïðèâîäèìûì, åñëè äëÿâñÿêîãî ñîáñòâåííîãî äèñêà D ⊂ M , åãî êðàé ∂D îãðàíè÷èâàåò äèñê â ∂M .Ïóñòü äàíî òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå.

Ïîä óçîðîì (ïîíÿòèå âïåðâûå ââåäåíî Ê. Èîãàííñîíîì, ñì. [Joh℄) ìû ïîíèìàåì èêñèðîâàííûé 1ïîëèýäð(ãðà) áåç èçîëèðîâàííûõ âåðøèí íà êðàå ìíîãîîáðàçèÿ (ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ýòîò ãðà ÿâëÿåòñÿ ïîäïîëèýäðîì èêñèðîâàííîé òðèàíãóëÿöèè).Ñóùåñòâîâàíèå óçîðà íà êðàå íå ìåíÿåò îïðåäåëåíèé íåñæèìàåìîé ïîâåðõíîñòè è íåïðèâîäèìîãî ìíîãîîáðàçèÿ.2.3. àñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ68Ïîíÿòèÿ ãðàíè÷íî íåñæèìàåìîé ïîâåðõíîñòè è ãðàíè÷íî íåïðèâîäèìîãîìíîãîîáðàçèÿ îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé ìíîãîîáðàçèé ñ óçîðîì íà êðàå ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äèñê D ⊂ M íàçûâàåòñÿ ÷èñòûì, åñëè îí íå ïåðåñåêàåòóçîðà íà êðàå.Äëÿ ãðàíè÷íîé íåïðèâîäèìîñòè ìû òðåáóåì, ÷òîáû äëÿ êàæäîãî ÷èñòîãîäèñêà D ⊂ M, ∂D ⊂ M , êðàé ∂D îãðàíè÷èâàë äèñê â â F ⊂ M .Äàëåå, ãðàíè÷íî ñæèìàþùèé äèñê (íåñîáñòâåííûé) äëÿ ïîâåðõíîñòè F ýòî ÷èñòûé äèñê D ⊂ M , êîòîðûé ïåðåñåêàåò F âäîëü l ⊂ ∂D è äóãèF ∩ ∂M .

 ýòîì ñëó÷àå äèñê D íåñóùåñòâåííûé, åñëè l âûñåêàåò äèñê D′èç F , ò.÷. ∂D′ ñîñòîèò èç äóãè l è ÷èñòîé äóãè â ∂M .Ïîâåðõíîñòü F ⊂ (M, Γ) íàçîâåì ãðàíè÷íî íåñæèìàåìîé, åñëè ó íåå íåòñóùåñòâåííûõ ãðàíè÷íî ñæèìàþùèõ äèñêîâ.Îðèåíòèðîâàííîå òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå M íàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íîáîëüøèì, åñëè îíî ñîäåðæèò ñîáñòâåííóþ íåñæèìàåìóþ ãðàíè÷íî íåñæèìàåìóþ ïîâåðõíîñòü, îòëè÷íóþ îò äâóìåðíîé ñåðû è äâóìåðíîãî äèñêà.Åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü ïîíÿòèå äîñòàòî÷íî áîëüøîãî òðåõìåðíîãîìíîãîîáðàçèÿ âìåñòå ñî ñâîéñòâàìè íåïðèâîäèìîñòè è ãðàíè÷íîé íåïðèâîäèìîñòè. Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ. íåñâÿçíîì ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèå íàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà, åñëè êàæäàÿ åãî êîìïîíåíòà ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà.Îïðåäåëåíèå 2.4. Ñâÿçíîå òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå áåç óçîðà íà êðàåíàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì, ãðàíè÷íî íåïðèâîäèìûì è äîñòàòî÷íî áîëüøèì.Ñâÿçíîå íåïðèâîäèìîå ãðàíè÷íî íåïðèâîäèìîå òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå(M, Γ) ñ óçîðîì Γ íà êðàå íàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà, ëèáî åñëè îíîäîñòàòî÷íî âåëèêî, ëèáî åñëè óçîð Γ íåïóñò (ïðè ýòîì íåïóñòî è ∂M ), à Mÿâëÿåòñÿ òåëîì ñ ðó÷êàìè, íî íå øàðîì.Îïðåäåëåíèå 2.5.

Ïóñòü M íåïðèâîäèìîå ãðàíè÷íî íåïðèâîäèìîåòðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå (áåç óçîðà íà êðàå). Ñîáñòâåííîå êîëüöî A ⊂ Míàçûâàåòñÿ íåñóùåñòâåííûì, ëèáî åñëè îíî ïàðàëëåëüíî îòíîñèòåëüíî ∂íåêîòîðîìó êîëüöó íà êðàå ∂M , ëèáî åñëè îñü ýòîãî êîëüöà A ñòÿãèâàåìàâ ìíîãîîáðàçèè M .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå êîëüöî A íàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííûì.2.3. àñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ69Ñóùåñòâåííîå (îòíîñèòåëüíî ìíîãîîáðàçèÿ Sg ×I , èç êîòîðîãî âûêèíóòîçàöåïëåíèå, ñì. äàëåå) êîëüöî, äâå êîìïîíåíòû êðàÿ êîòîðîãî ëåæàò íàðàçíûõ êîìïîíåíòàõ êðàÿ Sg × {0} è Sg × {1} ýòî êàê ðàç òàêîå êîëüöî,âäîëü êîòîðîãî ìû ìîæåì ïðîâåñòè äåñòàáèëèçàöèþ.Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùååÏðåäëîæåíèå 2.1 (Äæåéêî-óáèíøòåéí-Òîìïñîí, ñì., íàïð.,[Tho,Matv℄).

Âñÿêîå ñâÿçíîå íåïðèâîäèìîå 3-ìíîãîîáðàçèå ñ íåïóñòûì êðàåìÿâëÿåòñÿ ëèáî äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ëèáî òåëîì ñ ðó÷êàìè. äàëüíåéøåì ìû áóäåì èìåòü äåëî ñ ìíîãîîáðàçèÿìè ñ íåïóñòûì óçîðîì íà êðàå. ×òîáû òàêîå ìíîãîîáðàçèå áûëî ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà, íàìäîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî îíî (òî÷íåå, âñÿêàÿ åãî ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà) ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì è ãðàíè÷íî íåïðèâîäèìûì, íî íå ÿâëÿåòñÿ øàðîì.Ëåììà 2.4 (Äæåéêî-óáèíøòåéí-Òîìïñîí, ñì., íàïð., [Tho, Matv℄).Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðàñïîçíàþùèé, ÿâëÿåòñÿ ëè çàäàííîå ìíîãîîáðàçèåMïðèâîäèìûì; åñëè ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì, òî àëãîðèòìäîñòàâëÿåò äâóìåðíóþ ñåðóS ⊂ M,íå îãðàíè÷èâàþùóþ øàðà âM.Ëåììà 2.5. ([Matv℄) Êëàññè÷åñêèå çàöåïëåíèÿ àëãîðèòìè÷åñêè ðàñïîçíàâàåìû.Ýòà ëåììà ñëåäóåò èç òåîðèè Õàêåíà íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé; äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ñëåäóþùèõ èäåÿõ: äëÿ êàæäîãî íåòðèâèàëüíîãîíåðàñïàäàþùåãîñÿ çàöåïëåíèÿ äîïîëíåíèå ê åãî îòêðûòîé òðóá÷àòîé îêðåñòíîñòè â S 3 ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà.

Ñíàáæàÿ ýòî ìíîãîîáðàçèå óçîðîì íà êðàå, ìû ñìîæåì âîññòàíîâèòü èñõîäíîå çàöåïëåíèå. Ïîñëå ýòîãîïðîáëåìà ñâîäèòñÿ ê ïðîáëåìå ðàñïîçíàâàíèÿ ìíîãîîáðàçèé Õàêåíà, ïîäðîáíîñòè ñì. â [Matv℄.Ëåììà 2.6. ([Matv℄)Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, îïðåäåëÿþùèé, èìååò ëèäàííîå ìíîãîîáðàçèå ÕàêåíàM÷èñòîå ñóùåñòâåííîå êîëüöî. Åñëè òà-êîå êîëüöî ñóùåñòâóåò, îíî ñòðîèòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè.