Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов, страница 12

Áîëåå òîãî, äëÿêîìïîíåíò êðàÿU, VìíîãîîáðàçèÿMàëãîðèòìè÷åñêè ðåøàåòñÿ è âî-ïðîñ íàõîæäåíèÿ ñóùåñòâåííîãî êîëüöà, ó êîòîðîãî ïî êðàéíåé ìåðå îäíàêîìïîíåíòà ëåæèò ââV.U,ïðè ýòîì íè îäíà êîìïîíåíòà êðàÿ íå ëåæèò2.3. àñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ70Çàìå÷àíèå 2.8. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ýòó ëåììó äëÿ ðåøåíèÿ âîïðîñàî òîì, ìîæíî ëè äåñòàáèëèçèðîâàòü íåêîòîðóþ ðåàëèçàöèþ âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ. Äëÿ ýòîãî â êà÷åñòâå ìíîæåñòâàVìû âûáåðåì êîìïî-íåíòû êðàÿ ãðàíèöû òðóá÷àòûõ îêðåñòíîñòåé êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿ.Òåì ñàìûì îñòàíóòñÿ ëèøü ñóùåñòâåííûå êîëüöà, êîìïîíåíòû êðàÿ êîòîðûõ ëåæàò íà êîìïîíåíòàõ êðàÿ óòîëùåííîé ïîâåðõíîñòè. Äëÿ äåñòàáèëèçàöèè íàì ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû êîìïîíåíòû êðàÿ íàøåãî êîëüöàëåæàëè íàðàçíûõêîìïîíåíòàõ êðàÿ óòîëùåííîé ïîâåðõíîñòè.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ è íàõîæäåíèÿ òàêèõ êîëåöòàêæå ðàñïîçíàåòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè.Ëåììà 2.7.

([Matv℄)Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, êîòîðûé ïî äâóì ìíîãîîá′′ðàçèÿì Õàêåíà ñ óçîðàìè íà êðàå (M, Γ) è (M , Γ ) îïðåäåëÿåò, ñóùåñòâóåò ëè ãîìåîìîðèçì ïåðâîãî ìíîãîîáðàçèÿ íà âòîðîå, ïåðåâîäÿùèé′óçîð Γ â óçîð Γ .Ïåðåéäåì òåïåðü ê ïðîñòðîåíèþ ïðîöåññà ðàñïîçíàâàíèÿ âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé.àññìîòðèì âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå L è åãî ïðîèçâîëüíîãî ïðåäñòàâèòåëÿ, ò.å. ïàðó (M, L), ãäå M = M̃ × I äëÿ íåêîòîðîé çàìêíóòîé äâóìåðíîéïîâåðõíîñòè M̃ , à L çàöåïëåíèå â M (ìû èñïîëüçóåì îäíó è òó æå áóêâóL äëÿ îáîçíà÷åíèÿ èñõîäíîãî çàöåïëåíèÿ è çàöåïëåíèÿ â ìíîãîîáðàçèè Mäëÿ ýêîíîìèè îáîçíà÷åíèé). Ïóñòü N ìàëàÿ îòêðûòàÿ òðóá÷àòàÿ îêðåñòíîñòü çàöåïëåíèÿ L. Âûðåæåì N èç M . Ìû ïîëó÷èì ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì,êîòîðîå îáîçíà÷èì ÷åðåç ML .

Êðàé ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñîñòîèò èç êîìïîíåíò êðàÿ ìíîãîîáðàçèÿ M (äâóõ, åñëè ìíîãîîáðàçèå M ñâÿçíî) è íåñêîëüêèõ òîðîâ; êîëè÷åñòâî òîðîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿ L.Ñíàáäèì êàæäûé òàêîé òîð óçîðîì ΓL íà êðàå: ýòîò óçîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåðèäèàí ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòû ñ òðåìÿ òî÷êàìè íà íåì: ìûäîáàâëÿåì òî÷êè äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðåâðàòèòü îêðóæíîñòü â ãðà ïîäãðà íåêîòîðîé òðèàíãóëÿöèè. Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷èì ìíîãîîáðàçèå(ML , ΓL ) ñ óçîðîì íà êðàå.Î÷åâèäíî, ÷òî âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå L (è ïàðà (M, L)) âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî (ML , ΓL ), òàê êàê ìû çíàåì ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ìíîãîîáðàçèÿ Mïîñðåäñòâîì ïðèêëåéêè ïîëíîòîðèé ê êîìïîíåíòàì êðàÿ ìíîãîîáðàçèÿ ML ,2.3.

àñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ71ó êîòîðîãî ìåðèäèàíû ýòèõ ïîëíîòîðèé âûäåëåíû óçîðîì.Ëåììà 2.8.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàöåïëåíèåLíå ïðåäñòàâèìî â âèäåíåñâÿçíîé ñóììû (íåïóñòîãî) êëàññè÷åñêîãî çàöåïëåíèÿ è (áûòü ìîæåò,ïóñòîãî) âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ. Òîãäà ìíîãîîáðàçèåΓL(ML , ΓL ) ñ óçîðîìÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìíîãîîáðàçèå ML ñâÿçíî; äåéñòâèòåëüíî: ðàññìîòðèì ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ìíîãîîáðàçèÿ M è, åñëè ó çàöåïëåíèÿ L íåò êëàññè÷åñêèõ îòäåëüíî ñòîÿùèõêîìïîíåíò, òî êàæäàÿ èç êîìïîíåíò ìíîãîîáðàçèÿ (ML , ΓL ) ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà; çíà÷èò, òàêîâûì ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿåòñÿ è (ML , ΓL ).Ìû ðàññìàòðèâàåì ñâÿçíûé ñëó÷àé.

 ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2.1, íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ìíîãîîáðàçèå (ëþáàÿ åãî ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà)ñ óçîðîì íà êðàå ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì è ãðàíè÷íî íåïðèâîäèìûì: ïîîïðåäåëåíèþ, îíî íå ìîæåò áûòü òåëîì ñ ðó÷êàìè. ñëó÷àå g = 0 ìû èìååì äåëî ñ êëàññè÷åñêèìè çàöåïëåíèÿìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî g > 0. Òîãäà äëÿ êàæäîé ñâÿçíîé îðèåíòèðóåìîé äâóìåðíîéïîâåðõíîñòè Sg ìíîãîîáðàçèå Sg × I ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì. Òàêèì îáðàçîì, åñëè çàöåïëåíèå L íå ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì (ò.å. g 6= 0), òî äëÿåãî îòêðûòîé îêðåñòíîñòè N (L) ìíîãîîáðàçèå (Sg × I)\N (L) ìîæåò áûòüïðèâîäèìûì åñëè è òîëüêî åñëè îíî ñîäåðæèò ñåðó S , îãðàíè÷èâàþùóþøàð â Sg × {0, 1}, ñîäåðæàùèé íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî êîìïîíåíòçàöåïëåíèÿ L. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè êîìïîíåíòû îáðàçóþò êëàññè÷åñêîåïîäçàöåïëåíèå çàöåïëåíèÿ L, îòäåëåííîå îò îñòàëüíûõ êîìïîíåíò.

Ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ïðèâîäèìîñòü.Äàëåå, òàê êàê L íå ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíîé ñóììîé òðèâèàëüíîãî óçëà ñíåêîòîðûì âèðòóàëüíûì óçëîì, ìíîãîîáðàçèå ML ÿâëÿåòñÿ ãðàíè÷íî íåïðèâîäèìûì.Äåéñòâèòåëüíî, êàæäàÿ êðèâàÿ â Sg × {0} èëè â Sg × {1}, êîòîðàÿ ìîæåò îãðàíè÷èâàòü äèñê â Sg × I , ÿâëÿåòñÿ ñòÿãèâàåìîé ïî êðàþ. Òàêèìîáðàçîì, ãðàíè÷íàÿ ïðèâîäèìîñòü ìîæåò èìåòü ìåñòî ëèøü â òîì ñëó÷àå,åñëè èìååòñÿ ñîáñòâåííûé äèñê ñ êðàåì, ëåæàùèì íà îäíîì èç òîðîâ êðàå îäíîãî èç âûðåçàííûõ ïîëíîòîðèé.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîìïîíåíòà çàöåïëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó ïîëíîòîðèþ ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíî ñòîÿùèìÄîêàçàòåëüñòâî.2.3. àñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ72òðèâèàëüíûì óçëîì.Òàêèì îáðàçîì, ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûìè ãðàíè÷íî íåïðèâîäèìûì è, ñëåäîâàòåëüíî (ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.1),ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà.Ïåðåéäåì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó îñíîâíîé òåîðåìû. Ïóñòü L, L′ âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ. Àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì ïðèìåíåíèè ñëåäóþùèõ ÷åòûðåõ øàãîâ:Øàã 1. àññìîòðèì íåêîòîðûå ðåàëèçàöèè (M, L), (M ′ , L′ ) âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé L, L′ .

Ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìíîãîîáðàçèÿ ñ óçîðàìè íàêðàÿõ. Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç (ML , Γ), (ML′ ′ , Γ′ ).Øàã 2. Îïðåäåëèì, ÿâëÿåòñÿ ëè îäíî èç ìíîãîîáðàçèé ML èëè ML′ ′ ïðèâîäèìûì. Åñëè îäíî èç íèõ ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì, òî, ñîãëàñíî ëåììå 2.4, ìûìîæåì íàéòè ñåðó, íå îãðàíè÷èâàþùóþ øàðà, è òàêèì îáðàçîì îòäåëèòü íåêîòîðûå îòäåëüíî ñòîÿùèå êëàññè÷åñêèå êîìïîíåíòû îò îäíîãî(èëè îáîèõ) ðàññìàòðèâàåìûõ çàöåïëåíèé.Ñäåëàåì çàìåíó îáîçíà÷åíèé: îáîçíà÷èì ñòàðûìè èìåíàìè M, M ′ ìíîãîîáðàçèÿ, ïîëó÷åííûå èç M, M ′ âûðåçàíèåì øàðîâ, ñîäåðæàùèõ êîìïîíåíòû çàöåïëåíèÿ (ñ ïîñëåäóþùèì çàêëåèâàíèåì äûð øàðàìè). Îáîçíà÷èì òàêæå ÷åðåç L, L′ òå ïîäçàöåïëåíèÿ çàöåïëåíèé L, L′ , êîòîðûåîñòàëèñü ïîñëå óäàëåíèÿ êëàññè÷åñêèõ îòäåëüíî ñòîÿùèõ êîìïîíåíò.Áóäåì çàïîìèíàòü óäàëåííûå êëàññè÷åñêèå ïîäçàöåïëåíèÿ.Øàã 3.

Îïðåäåëèì (ñîãëàñíî ëåììå 2.6), âîçìîæíî ëè ïðèìåíèòü äåñòàáèëèçàöèþ ê îäíîìó èç ìíîãîîáðàçèé (M, L) èëè (M ′ , L′ ).Åñëè ýòî âîçìîæíî, ïðèìåíèì òàêóþ äåñòàáèëèçàöèþ. Âåðíåìñÿ ê øàãó2.Áóäåì ïðèìåíÿòü øàãè 2 è 3, ïîêà ýòî âîçìîæíî. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîöåññ îñòàíîâèòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ: íà êàæäîì øàãå ìû ëèáî óáèðàåìíåêîòîðîå êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò çàöåïëåíèé, ëèáî óìåíüøàåì ðîä îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé.Êëàññè÷åñêèå çàöåïëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè ðàñïîçíàâàåìûìè. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ñðàâíèòü îòäåëüíî ñòîÿùèå êëàññè÷å-2.3. àñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ73ñêèå ïîäçàöåïëåíèÿ çàöåïëåíèé L è L′ .

Åñëè ýòè äâà çàöåïëåíèÿ íåèçîòîïíû, ìû îñòàíàâëèâàåìñÿ: ðàññìàòðèâàåìûå âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ïðîäîëæàåì.Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ïåðâûõ òðåõ øàãîâ ìû ñâåäåì ïðîáëåìó ê ñëó÷àþ,êîãäà ó çàöåïëåíèé íåò îòäåëüíî ñòîÿùèõ êëàññè÷åñêèõ êîìïîíåíò, àèõ ðåàëèçàöèè ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàëüíûìè. Ñ íàñòîÿùåãî ìîìåíòà âñåìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿþòñÿ ìíîãîîáðàçèÿì Õàêåíà (ñ óçîðîì íà êðàå) ïîëåììå 2.8.Øàã 4. Êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ìíîãîîáðàçèé (ML , Γ) è (ML′ ′ , Γ′ ) ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Õàêåíà ñ óçîðîì íà êðàå. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåìàëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèòü âîïðîñ î òîì, ñóùåñòâóåò ëè ãîìåîìîðèçìf : ML → ML′ ′ , ïåðåâîäÿùèé Γ â Γ′ (ïî ëåììå 2.7). Åñëè òàêîé ãîìåîìîðèçì ñóùåñòâóåò, òî âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ L, L′ ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå çàöåïëåíèÿ L è L′ íå ýêâèâàëåíòíû.Âûïîëíÿÿ øàãè, îïèñàííûå âûøå, ìû ðåøàåì ïðîáëåìó ðàñïîçíàâàíèÿ.Òåîðåìà 2.6 äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 2.9.Äîêàçàòåëüñòâî, ïðèâåäåííîå âûøå, ïðîõîäèò òàêæåäëÿ ñëó÷àÿ îðèåíòèðîâàííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé è îñíàùåííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.ëàâà 3Äèñòðèáóòèâíûå ãðóïïîèäû â òåîðèèâèðòóàëüíûõ óçëîâÍà íà÷àëüíîì ýòàïå ðàçâèòèÿ òåîðèè óçëîâ îñíîâíûì èíâàðèàíòîì áûëòîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà äîïîëíåíèÿ ê óçëóèëè ãðóïïà óçëà. Íà åå îñíîâå áûë ïîñòðîåí ïðîñòîé è óäîáíûé èíâàðèàíò ïîëèíîì Àëåêñàíäåðà, [Ale1, Ale2℄.Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà äîïîëíåíèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà êîìáèíàòîðíî ïîñðåäñòâîì êîïðåäñòàâëåíèÿ Âèðòèíãåðà, êîòîðîå áûëî îïèñàíî âïåðâîé ãëàâå. Èç êîïðåäñòàâëåíèÿ Âèðòèíãåðà óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïûìîæíî ïîëó÷èòü ïîëèíîì Àëåêñàíäåðà íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè; îäèí èçíèõ ñâîáîäíîå èñ÷èñëåíèå Ôîêñà, ñì.

[ÊÔ℄. Ïîëèíîì Àëåêñàíäåðà è òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû óçëîâ òåñíî ñâÿçàíû ñ êðó÷åíèÿìè, ñì. [Tur3℄.Ïðîñòåéøèì ñïîñîáîì äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî òðèëèñòíèê íåòðèâèàëåí, ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå òàê íàçûâàåìîãî èíâàðèàíòà ðàñêðàñîê. àññìàòðèâàåòñÿ êëàññè÷åñêàÿ äèàãðàììà L è åå äóãè ñâÿçíûå êîìïîíåíòû(ìû ñ÷èòàåì âåòâü ïðîõîäà ðàçðûâíîé, êàê îíà îáû÷íî èçîáðàæàåòñÿ íàïëîñêîñòè). Áóäåì ðàñêðàøèâàòü âñå äóãè äèàãðàììû â òðè öâåòà, ïðèýòîì íàçîâåì ðàñêðàñêó ïðàâèëüíîé, åñëè â êàæäîì ïåðåêðåñòêå òðè èíöèäåíòíûå åìó äóãè ëèáî ïîêðàøåíû â îäèí öâåò, ëèáî èìåþò òðè ðàçíûõöâåòà. Ïîñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñîê è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç CI(K).

Êàæäûé êëàññè÷åñêèé óçåë èìååò òðè îäíîöâåòíûõ ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñêè. Íåñëîæíî äîêàçûâàåòñÿ [ÊÔ℄, ÷òî êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñîê ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì çàöåïëåíèÿ (ìîæíî íåïîñðåäñòâåííîïîêàçàòü ýòî, ïðîâåðÿÿ, êàê ïåðåñòðàèâàþòñÿ ðàñêðàñêè ïðè ïðèìåíåíèèòîãî èëè äðóãîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà).Äèñòðèáóòèâíûå ãðóïïîèäû â òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâÇàìå÷àíèå 3.1.75Êàê áóäåò ñëåäîâàòü èç îáùåé òåîðèè, èíâàðèàíò ðàñ-êðàñîê ïðîäîëæàåòñÿ è íà âèðòóàëüíûå óçëû è çàöåïëåíèÿ.Ó ïðîñòåéøåé äèàãðàììû òðèâèàëüíîãî óçëà âñåãî îäíà (öèêëè÷åñêàÿ)äóãà, ïîýòîìó êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñîê òðèâèàëüíîãî óçëà ðàâíîòðåì: òðèâèàëüíàÿ äèàãðàììà èìååò ëèøü òðè ðàñêðàñêè îäíîöâåòíûå.Òàêèì îáðàçîì, åñëè äèàãðàììà óçëà èìååò íåîäíîöâåòíóþ ðàñêðàñêó,òî çàäàâàåìûé åþ óçåë íåòðèâèàëåí.