Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов, страница 13

Àíàëîãè÷íî, äëÿ òðèâèàëüíîãî çàöåïëåíèÿ èç m êîìïîíåíò êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñîê ðàâíî 3m .Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñîê òðèëèñòíèêàðàâíî äåâÿòè, òàê êàê ïîìèìî òðåõ îäíîöâåòíûõ ðàñêðàñîê ó ïðîñòåéøåéäèàãðàììû òðèëèñòíèêà èìååòñÿ òàêæå øåñòü ðàñêðàñîê â òðè öâåòà: ìûèìååì òðè äóãè, ïðè÷åì â êàæäîì ïåðåêðåñòêå ñõîäÿòñÿ âñå òðè äóãè (îäíàèç íèõ ïðîõîäèò ñêâîçü ïåðåêðåñòîê, à äâå äðóãèå ïðèìûêàþò ê íåìó).Ýòîò ïðèìåð ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì âàðèàíòîì ãëóáîêîé àëãåáðàè÷åñêîéòåîðèè, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê ìíîãî÷èñëåííûì èíâàðèàíòàì êëàññè÷åñêèõ èâèðòóàëüíûõ óçëîâ, ðàññìàòðèâàåìûì â íàñòîÿùåé ãëàâå.Äðóãîå îïèñàíèå èíâàðèàíòà ðàñêðàñîê òàêîâî: êàæäûé öâåò ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ýëåìåíò èç Z3 ; ðàñêðàñêà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè â êàæäîì ïåðåêðåñòêå èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå c ≡ 2b − a(mod 3), åñëè äóãàa ïðîõîäèò ñâåðõó, à äóãè b è c ïðèìûêàþò ê íåé ñïðàâà è ñëåâà ñîãëàñíîîðèåíòàöèè äóãè a.Êàê îêàçûâàåòñÿ, êîëè÷åñòâî ðàñêðàñîê ýëåìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî êîëüöà (ñ ïðàâèëüíî ïîäîáðàííîé îïåðàöèåé â ïåðåêðåñòêàõ) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì.

Ýòî (â áîëåå îáùåé îðìå) áóäåò ïîêàçàíî â äàëüíåéøåì.Êàê óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà, òàê è èíâàðèàíò ðàñêðàñîê îáîáùàþòñÿ äî ïî÷òè ïîëíîãî1 èíâàðèàíòà óçëîâ äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäàèëè êâàíäëà, ïðåäëîæåííîãî â êîíöå 70-õ íà÷àëå 80-õ ãîäîâ íåçàâèñèìîÑ.Â.Ìàòâååâûì è Ä.Äæîéñîì.Ïîëíîòà äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà ñëåäóåò èç ïîëíîòû óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû ñ ïåðèåðè÷åñêîé ñòðóêòóðîé; ïîñëåäíåå âûòåêòàåò èç çíàìåíèòîé òîïîëîãè÷åñêîé òåîðåìû Âàëüäõàóçåíà, ñì. [Wal℄.1 Óçåëðàññìàòðèâàåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî îäíîâðåìåííîãî îáðàùåíèÿ îðèåíòàöèè óçëà è îðèåíòàöèè îáúåìëþùåãî ïðî-ñòðàíñòâà.Äèñòðèáóòèâíûå ãðóïïîèäû â òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ76ðóïïîèä, êàê è óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà, ìîæåò áûòü îïðåäåëåí ãåîìåòðè÷åñêè (êàê êëàññ ãîìîòîïèè ïóòåé, èñõîäÿùèõ èç èêñèðîâàííîé òî÷êè ñ êîíöîì, ëåæàùèì íà êðàå òðóá÷àòîé îêðåñòíîñòè óçëà; ïðè ãîìîòîïèèòðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïåðâûé êîíåö îñòàâàëñÿ íåïîäâèæíûì, à âòîðîé äâèãàëñÿïî òðóá÷àòîé îêðåñòíîñòè), òàê è àëãåáðàè÷åñêè ñ ïîìîùüþ îðìàëüíîãî êîïðåäñòàâëåíèÿ, ïîäîáíîãî êîïðåäñòàâëåíèþ Âèðòèíãåðà.Äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä îêàçàëñÿ óäîáåí òåì, ÷òî åãî ÷àñòíûå ñëó÷àèäàþò ìíîãèå èíâàðèàíòû óçëîâ, ñ êîòîðûìè óäîáíî ðàáîòàòü.

Ê ÷èñëó ýòèõèíâàðèàíòîâ îòíîñÿòñÿ óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà è ïîëèíîì Àëåêñàíäåðà, àòàêæå íåêîòîðûå íîâûå èíâàðèàíòû, îòêðûòèå êîòîðûõ ïîñëåäîâàëî ñðàçóçà èçîáðåòåíèåì äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà. ñåðåäèíå 80-õ ãîäîâ íåçàâèñèìî Î.ß.Âèðî [Viro3℄ è .Ôåííîì [FRS1,FRS2℄ áûëè ïðåäëîæåíû äàëüíåéøèå îáîáùåíèÿ ïîíÿòèÿ ãðóïïîèäà, îñíîâàííûå íà áîëåå ñëîæíîé ñòðóêòóðå ñîîòíîøåíèé â êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ. Áîëåå ñèëüíûå èíâàðèàíòû óçëîâ ïîñòðîåíû íå áûëè, èáî óæåäèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä ïðåäñòàâëÿë ñîáîé (ïî÷òè) ïîëíûé èíâàðèàíò óçëîâ, íî ýòî èçîáðåòåíèå ïðèâåëî ê íåêîòîðûì íîâûì ìåòîäàì ïîèñêà èíâàðèàíòîâ óçëîâ.Èíòåðåñ ê äèñòðèáóòèâíûì ãðóïïîèäàì è èõ îáîáùåíèÿì âîçîáíîâèëñÿñ âîçíèêíîâåíèåì òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ: îáîáùåíèå ïîëíîãî èíâàðèàíòà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ óçëîâ äàåò ìãíîâåííîåäîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ óçëîâ êëàññè÷åñêàÿ è âèðòóàëüíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñîâïàäàþò [GPV℄ (î ÷åì óæå áûëî óïîìÿíóòî âïðåäûäóùåé ãëàâå).Îäíàêî ñàì äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä îêàçàëñÿ âåñüìà ñëàáûì èíâàðèàíòîì äëÿ ðàñïîçíàâàíèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ÷òî ïðèâåëî àâòîðà [Ìà4℄,[Man6℄ê èäåå áîëåå ãëóáîêîãî ïîäõîäà ê àëãåáðàè÷åñêèì ñòðóêòóðàì è ââåäåíèþíîâûõ îïåðàöèé â âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ; ïîëó÷àåìûé òàêèì îáðàçîìèíâàðèàíò íàçûâàåòñÿ âèðòóàëüíûì ãðóïïîèäîì (äðóãèå àâòîðû ðàññìàòðèâàëè íåêîòîðûå èíûå îáîáùåíèÿ ñòðóêòóðû ãðóïïîèäà, ñì.

[KR, Saw,SW℄).Èäåè, ïðåäëîæåííûå â [Man6℄, áûëè çàòåì ðàçâèòû Á.Ìåëëîðîì è Ò.Ôëåìèíãîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè âèðòóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ãðàîâ,Äèñòðèáóòèâíûå ãðóïïîèäû â òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ77[FM℄.Íà óêàçàííîì ïóòè àâòîðó óäàëîñü ïîñòðîèòü ðÿä íîâûõ èíâàðèàíòîââèðòóàëüíûõ óçëîâ è ïîëó÷èòü ðÿä ðåçóëüòàòîâ; òàê, íàïðèìåð, íåêîòîðûå èíâàðèàíòû îáðàùàþòñÿ â íóëü íà êëàññè÷åñêèõ óçëàõ, ñëåäîâàòåëüíî, ïîçâîëÿþò ëåãêî óñòàíîâèòü íåêëàññè÷íîñòü íåêîòîðûõ óçëîâ.

Ñ äðóãîéñòîðîíû, íàø ïîäõîä ê äèñòðèáóòèâíûì ãðóïïîèäàì (âêóïå ñ íåêîòîðûìèíîâûìè êîíñòðóêöèÿìè) ïðèâåë ê ïîñòðîåíèþ èíâàðèàíòîâ äëèííûõâèðòóàëüíûõ óçëîâ, îñíîâàííûõ íà ïîíÿòèè äëèííîãî ãðóïïîèäà, ðå÷üî êîòîðûõ ïîéäåò â ðàçäåëå 3.2.Ïîñòðîåíèå èíâàðèàíòîâ äëèííûõ óçëîâ ïîñðåäñòâîì äèñòðèáóòèâíûõãðóïïîèäîâ ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì ðåçóëüòàòîì íàñòîÿùåé ãëàâû. Êîíñòðóêöèÿ ðàçäåëà 3.2 ïîçâîëèëà àâòîðó ðàñïîçíàâàòü íåòðèâèàëüíîñòü äëèííûõâèðòóàëüíûõ óçëîâ ïðîñòûìè àðèìåòè÷åñêèìè ìåòîäàìè, à òàêæå óñòàíîâèòü âïåðâûå òîò àêò, ÷òî äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû, âîîáùå ãîâîðÿ,íå êîììóòèðóþò.Äàëåå â íàñòîÿùåé ãëàâå ïîñòðîåíà ðåàëèçàöèÿ äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê ïîñòðîåíèþ èíâàðèàíòîâ êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ñî çíà÷åíèÿìè â (áåñêîíå÷íîìåðíûõ) àëãåáðàõ Ëè. íàñòîÿùåé ãëàâå ñòðîÿòñÿ è èññëåäóþòñÿ èíâàðèàíòû âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé èñõîäÿ èç ïëîñêèõ äèàãðàìì. Íàøà öåëü ïîñòðîèòü ïî äèàãðàììå çàöåïëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèé îáúåêò, èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíîîáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.

Îáùèé ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ìû ðàññìàòðèâàåì äèàãðàììó âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ êàê ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà, ëåæàùèé íà ïëîñêîñòè.åáðàì ãðàà ìû ñîïîñòàâëÿåì íåêîòîðûå îðìàëüíûå ýëåìåíòû, êîòîðûå áóäóò èãðàòü ðîëü îáðàçóþùèõ äëÿ èíâàðèàíòíîãî àëãåáðàè÷åñêîãîîáúåêòà, à ïåðåêðåñòêè áóäóò óêàçûâàòü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè,ñîîòâåòñòâóþùèìè èíöèäåíòíûì èì äóãàì. Èíâàðèàíòíîñòü ïîñòðîåííîãîîáúåêòà ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ðàññìîòðåíèåì îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà. êîíöå íàñòîÿùåé ãëàâû ìû ïðèâåäåì òàêæå íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿäèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ ê òåîðèè ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Ñâåðõ òîãî áóäóò îïèñàíû èåðàðõè÷åñêèå âèðòóàëüíûå óçëû êîìáèíà-3.1.

ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ78òîðíûå îáîáùåíèÿ ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, äëÿ êîòîðûõ ìîæíî ñòðîèòü èíâàðèàíòû ñïîñîáàìè, ïîõîæèìè íà òå, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü ïðèèçó÷åíèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ.3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿÏóñòü äàíà âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà L. Óäàëèì èç íåå âñå âèðòóàëüíûåïåðåêðåñòêè. Ïîëó÷èì (íåñâÿçíîå) ìíîæåñòâî L̃, ñîñòîÿùåå èç ñâÿçíûõ êîìïîíåíò, êîòîðûå ìû íàçîâåì äóãàìè. Êàæäàÿ äóãà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèáîîêðóæíîñòü ëèáî êîìïîíåíòó çàöåïëåíèÿ, êîòîðàÿ íå èìååò âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ, à â êàæäîì êëàññè÷åñêîì ïåðåêðåñòêå ïðîõîäèò ñâåðõó,ëèáî èíòåðâàë.

Íà÷àëî è êîíåö ýòîãî èíòåðâàëà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèáî óäàëåííûé âèðòóàëüíûé ïåðåêðåñòîê, ëèáî êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê ïðîõîä; âñå âíóòðåííèå ïåðåêðåñòêè ÿâëÿþòñÿ ïåðåõîäàìè. Ïîäðÿä èäóùèåäóãè, ðàçäåëÿåìûå âèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè, îáðàçóþò äëèííûå äóãè,èäóùèå îò ïðîõîäà äî ñëåäóþùåãî ïðîõîäà.  ñëó÷àå äèàãðàììû êëàññè÷åñêîãî çàöåïëåíèÿ ïîíÿòèÿ äóãè è äëèííîé äóãè ñîâïàäàþò.Íàçîâåì äèàãðàììó ïðàâèëüíîé, åñëè îíà íå èìååò öèêëè÷åñêèõ äëèííûõ äóã. Ïðèìåíÿÿ ê äèàãðàììå ïåðâîå óâåëè÷èâàþùåå êëàññè÷åñêîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà, ìîæíî ïðåâðàòèòü öèêëè÷åñêóþ äëèííóþ äóãó âäëèííóþ äóãó, íå ÿâëÿþùóþñÿ öèêëè÷åñêîé.Ó ëþáîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíàÿ äèàãðàììà.Äåéñòâèòåëüíî, ëþáàÿ äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ, èìåþùàÿ öèêëè÷åñêóþ äëèííóþ äóãó ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðàâèëüíóþ äèàãðàììó ïðèìåíåíèåì ïåðâîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà òàê, êàê ïîêàçàíî íàðèñ.

3.1.Èìååò ìåñòî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 3.1.Äâå ïðàâèëüíûå äèàãðàììû çàäàþò ýêâèâàëåíòíûåâèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îäíà èç íèõìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â äðóãóþ â êëàññå ïðàâèëüíûõ äèàãðàìì.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè äèàãðàììû L ê ýêâèâàëåíòíîé äèàãðàììå L′ áóäóò âñòðå÷àòüñÿ äèàãðàììû ñ öèêëè÷åñêèìè äóãàìè,ìû ìîæåì äîáàâëÿòü ïåòëè (ïîñðåäñòâîì äâèæåíèÿ Ω1 ), à çàòåì óáèðàòü3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ79èñ. 3.1. Ïðåîáðàçîâàíèå äèàãðàììû ñ öèêëè÷åñêîé äëèííîé äóãîéâ ïðàâèëüíóþ äèàãðàììóèõ. Òàêèì îáðàçîì, öåïî÷êà îáîáùåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé åéäåìåéñòåðàL = L0 → L1 · · · → Lk = L′ ïðåâðàòèòñÿ â öåïî÷êó L = L0 = L01 →. .

. L0,i0 → L1 → . . . L1,i1 → . . . Lk1 → . . . Lk,ik = Lk = L′ , ãäå âñå äèàãðàììû Lij ÿâëÿþòñÿ ïðàâèëüíûìè, ïðè÷åì êàæäàÿ èç äèàãðàìì Lij ïîëó÷àåòñÿ èç äèàãðàììû Li äîáàâëåíèåì/óäàëåíèåì ïåòåëü ïîñëåäîâàòåëüíûìïðèìåíåíèåì ïåðâîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà. Òåì ñàìûì óòâåðæäåíèåäîêàçàíî. Äàëåå â íàñòîÿùåé ãëàâå âñå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû ïîäðàçóìåâàþòñÿ ïðàâèëüíûìè, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå.Äëèííûå äóãè ðàçáèâàþòñÿ íà äóãè. Ìîæíî ïðîäîëæèòü äåëåíèå äóã èäàëåå, ðàçáèâàÿ êàæäóþ äóãó âî âñåõ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ, â êîòîðûõ îíà îáðàçóåò ïåðåõîä.