Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов, страница 14

 ýòîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü î êîðîòêèõ äóãàõ. Ïðèìåð äèàãðàììû ñ äëèííûìè äóãàìè, äóãàìè è êîðîòêèìè äóãàìèèçîáðàæåí íà ðèñ. 3.2. Íàçîâåì ýòîò âèðòóàëüíûé óçåë âèðòóàëüíûì òðèëèñòíèêîì. Èòàê, ÷àñòüþ äèàãðàììû, êîòîðîé ìû áóäåì ñîïîñòàâëÿòü îáðàçóþùèå àëãåáðàè÷åñêîãî îáúåêòà, ÿâëÿåòñÿ äóãà (èëè äëèííàÿ äóãà èëèêîðîòêàÿ äóãà).àññìîòðèì ñíà÷àëà âñå äëèííûå äóãè äèàãðàììû L.  êàæäîì êëàññè÷åñêîì ïåðåêðåñòêå ñõîäÿòñÿ (ëîêàëüíî) òðè äëèííûå äóãè: îäíà îáðàçóåòïåðåõîä, à äâå îñòàëüíûå ïðîõîä.

Âîîáùå ãîâîðÿ, ãëîáàëüíî äâå èç ýòèõäëèííûõ äóã (èëè âñå òðè) ìîãóò ñîâïàäàòü.Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàììû L ÷åðåç3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ80èñ. 3.2. Äëèííûå äóãè; äóãè; êîðîòêèå äóãèn. Òîãäà êîëè÷åñòâî äëèííûõ äóã ýòîé äèàãðàììû òàêæå ðàâíî n (òàê êàêäèàãðàììà L ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé).Îòìåòèì îäíî âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî. Ïðè ïîñòðîåíèè èíâàðèàíòîâ ñèñïîëüçîâàíèåì äëèííûõ äóã ìû èãíîðèðóåì ðàñïîëîæåíèå âèðòóàëüíûõïåðåêðåñòêîâ.

Òåì ñàìûì îáúåêò, êîòîðûé ìû áóäåì ñòðîèòü òàêèì îáðàçîì, áóäåò åñòåñòâåííî èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî äâèæåíèÿ îáúåçäà (ñì.ñòð. 17).Ñîïîñòàâèì ýòèì äëèííûì äóãàì îðìàëüíûå áóêâû îáðàçóþùèåa1 , . . . , an . Íàøà öåëü ïîñòðîèòü èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà àëãåáðàè÷åñêèé îáúåêò, óäîâëåòâîðÿþùèéíåêîòîðîé àêñèîìàòèêå. Ñîîòíîøåíèÿ íà îáðàçóþùèå ýòîãî îáúåêòà a1 , . . .

, anìû áóäåì áðàòü èç êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàììû.Ñîãëàñíî Ñ.Â.Ìàòâååâó [Ìàò℄, îïðåäåëèì äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä êàêìíîæåñòâî M , ñíàáæåííîå áèíàðíîé îïåðàöèåé ◦, îáëàäàþùåé ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1. (Èäåìïîòåíòíîñòü:) Äëÿ êàæäîãî a ∈ M èìååò ìåñòî a ◦ a = a;2. (Íàëè÷èå ëåâîãî îáðàòíîãî:) Äëÿ êàæäûõ b, c ∈ M ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò x ∈ M , òàêîé ÷òî x ◦ b = c.  ýòîì ñëó÷àå áóäåìïèñàòü: x = c/b;3.

(Ïðàâàÿ ñàìîäèñòðèáóòèâíîñòü:) Äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈ M èìååò ìåñòî(a ◦ b) ◦ c = (a ◦ c) ◦ (b ◦ c).Ïîäîáíî ãðóïïàì, äèñòðèáóòèâíûå ãðóïïîèäû ìîæíî çàäàâàòü ñ ïîìî-3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ81ùüþ îáðàçóþùèõ è ñîîòíîøåíèé. Ýòî äåëàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòüa1 , . . . , ak êîíå÷íûé íàáîð áóêâ (îáðàçóþùèõ). Îïðåäåëèì èíäóêòèâíîìíîæåñòâî Adm äîïóñòèìûõ ñëîâ êàê ìíîæåñòâî, ïîëó÷àþùååñÿ èç îáðàçóþùèõ ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì îïåðàöèé ◦ è /. À èìåííî, îïðåäåëèìèíäóêòèâíî ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ñëîâ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó.1. Âñå áóêâû ai ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè ñëîâàìè.2. Åñëè x, y äîïóñòèìûå ñëîâà, òî ñëîâà (x) ◦ (y) è (x)/(y) òàêæå ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè.3.

Íå ñóùåñòâóåò äîïóñòèìûõ ñëîâ, çà èñêëþ÷åíèåì ñëîâ, ïîëó÷àþùèõñÿòàê, êàê îïèñàíî â ïóíêòàõ 1,2.Çàìå÷àíèå 3.2.Èíîãäà äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ìû áóäåì îïóñêàòü ñêîá-êè, êîãäà ÿñíî èç êîíòåêñòà, êàêîå âûðàæåíèå èìååòñÿ â âèäó. Òàê, íàïðèìåð, âìåñòî(a1 ) ◦ (a2 )ìû áóäåì ïèñàòü ïðîñòîa1 ◦ a2 .Ïóñòü òåïåðü äàí íàáîð èç l ñîîòíîøåíèé Ri (íàçûâàåìûõ îïðåäåëÿþùèìè) âèäà ri1 = ri2 ïðè i = 1, .

. . , l , ãäå rij íåêîòîðûå äîïóñòèìûåñëîâà.Íà ìíîæåñòâå Adm âñåõ äîïóñòèìûõ ñëîâ åñòåñòâåííûì îáðàçîì çàäàíûîïåðàöèè ◦ è /.Îïðåäåëèì òåïåðü äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä, çàäàííûé îáðàçóþùèìèa1 , . . . , ak è ñîîòíîøåíèÿìè R1 , . . . , Rl è îáîçíà÷àåìûé ÷åðåçΓha1 , . . . , ak |R1 , . . . Rl i êàê àêòîðìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Adm ïî îòíîøåíèÿì ýêâèâàëåíòíîñòè, çàäàâàåìûì ñëåäóþùèìè ýëåìåíòàðíûìè ýêâèâàëåíòíîñòÿìè:1. ∀A ∈ Adm : A ◦ A ∼ A, A/A ∼ A2.

∀A, B ∈ Adm : (A ◦ B)/B ∼ (A/B) ◦ B ∼ A3. ∀A, B, C ∈ Adm : (A ◦ B) ◦ C ∼ (A ◦ C) ◦ (B ◦ C)4. ∀i = 1, . . . , l : ri1 ∼ ri2 .Íà ïîëó÷åííîì ìíîæåñòâå îïåðàöèè ◦ è / èíäóöèðîâàíû èç ìíîæåñòâàΓ; àêñèîìû äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà î÷åâèäíî âûïîëíÿþòñÿ.3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ82Âåðíåìñÿ ê äèàãðàììå L ñ n êëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè.  êàæäîìêëàññè÷åñêîì ïåðåêðåñòêå (ñ íîìåðîì i) ýòîé äèàãðàììû îäíà èç äóã îáðàçóåò ïåðåõîä. Åé ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ îáðàçóþùàÿ ai1 . Ñïðàâà îò ýòîé(äëèííîé) äóãè (ïî îòíîøåíèþ ê åå îðèåíòàöèè) íàõîäèòñÿ (äëèííàÿ) äóãà,îáðàçóþùàÿ ïðîõîä: åé ñîîòâåòñòâóåò îáðàçóþùàÿ ai2 , íàêîíåö, ñëåâà ðàñïîëîæåíà (äëèííàÿ) äóãà, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò îáðàçóþùàÿ ai3 , ñì. ðèñ.3.3.ai2 ◦ ai1 = ai3ai3@@¡@¡@¡@¡@¡¡¡¡@@¡@¡@¡@ai1µ¡@ai2èñ.

3.3. Ñîîòíîøåíèå äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäàâ êëàññè÷åñêîì ïåðåêðåñòêåÑîïîñòàâèì äàííîìó êëàññè÷åñêîìó ïåðåêðåñòêó ñîîòíîøåíèå(3.1)ai2 ◦ ai1 = ai3 .Îáîçíà÷èì ýòî ñîîòíîøåíèå ÷åðåç Ri .Çàìå÷àíèå 3.3.Îòìåòèì, ÷òî íà ðèñóíêå 3.3 îðèåíòàöèÿ äóãai2èai3íå óêàçàíà; îíà íå èìååò çíà÷åíèÿ. Êàêàÿ áû îíà íè áûëà, ìû âûïèñûâàåìîäíî è òî æå ñîîòíîøåíèå(3.1).Ñîïîñòàâèì òåïåðü äèàãðàììå L äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèäΓ(L) = Γha1 , .

. . , an |R1 , . . . , Rn i. Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 3.1. ÄëÿäèàãðàììL, L′ ,ïðåäñòàâëÿþùèõ ýêâèâàëåíòíûå âèð′òóàëüíûå óçëû, äèñòðèáóòèâíûå ãðóïïîèäû Γ(L) è Γ(L ) èçîìîðíû.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îñíîâàíî íà òîì àêòå, ÷òî àêñèîìàòèêà äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà îòâå÷àåò åãî èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ83ïðåîáðàçîâàíèé åéäåìåéñòåðà. Çäåñü íóæíî ïðîâåðÿòü ëèøü èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî êëàññè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé åéäåìåéñòåðà, òàê êàêðàñïîëîæåíèå âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ íà äëèííûõ äóãàõ íå ó÷èòûâàåòñÿ. Äàëåå â íàñòîÿùåé ãëàâå ìû äîêàæåì áîëåå îáùóþ òåîðåìó (òåîðåìà3.3). êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ýòà òåîðåìà áûëà âïåðâûå äîêàçàíà Ñ.Â.

Ìàòâååâûì [Ìàò℄ è (íåçàâèñèìî) Ä.Äæîéñîì [Joy℄. Îáîáùåíèå äèñòðèáóòèâíîãîãðóïïîèäà íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ óçëîâ è çàöåïëåíèé è äîêàçàòåëüñòâîåãî èíâàðèàíòíîñòè ïðèíàäëåæèò Êàóìàíó [Kau1℄.Íà ñàìîì äåëå, Ìàòâååâ è Äæîéñ äîêàçàëè ãîðàçäî áîëüøåå:Òåîðåìà 3.2 (Ìàòâååâ-Äæîéñ).Åñëè äëÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâLèL′Γ(L) è Γ(L′ ) èçîìîðíû, òî ëèáî óçåë L ýêâèâàëåíòåí (èçî′′òîïåí) óçëó L , ëèáî L ýêâèâàëåíòåí óçëó, ïîëó÷àþùåìóñÿ èç L çàìåíîéîðèåíòàöèè óçëà è çàìåíîé âñåõ òèïîâ ïåðåêðåñòêîâ (ïðîõîäà íà ïåðåõîäè íàîáîðîò).ãðóïïîèäûÏîñëåäíÿÿ îïåðàöèÿ îçíà÷àåò îäíîâðåìåííóþ çàìåíó îðèåíòàöèè óçëà èîáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà.

Çàìåíà îðèåíòàöèè ïðîñòðàíñòâà ýêâèâàëåíòíà èçìåíåíèþ íàïðàâëåíèÿ îñè Oz ïî îòíîøåíèþ ê ïëîñêîñòè Oxy ; ýòî âûðàæàåòñÿ â çàìåíå âñåõ ïðîõîäîâ íà ïåðåõîäû è íàîáîðîò. Òàê, íàïðèìåð,äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä íå ðàçëè÷àåò ïðàâîãî è ëåâîãî òðèëèñòíèêîâ:îïåðàöèÿ îáðàùåíèÿ îðèåíòàöèè óçëà íà êàæäîì èç òðèëèñòíèêîâ òîæäåñòâåííà, à îáðàùåíèå îðèåíòàöèè ïðîñòðàíñòâà ïåðåâîäèò îäèí èç íèõ âäðóãîé.Ñëåäîâàòåëüíî, äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè ïîëíûì èíâàðèàíòîì êëàññè÷åñêèõ óçëîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä èìååò îáîáùåíèå íà âèðòóàëüíûå óçëû ñîãëàñíî òåîðåìå 3.1.

Èç ýòîãîíàáëþäåíèÿ ñëåäóåò òåîðåìà 2.2.Çàìå÷àíèå 3.4.Ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä íå ÿâëÿ-åòñÿ ïîëíûì èíâàðèàíòîì êëàññè÷åñêèõ óçëîâ â ñòðîãîì ñìûñëå, äëÿ åãîïîëíîòû íóæíî äîáàâèòü åùå èíâàðèàíò, êîòîðûé ñëåäèë áû çà îðèåíòàöèåé óçëà è îáîáùàëñÿ åñòåñòâåííûìè îáðàçîì íà âèðòóàëüíûå óçëû.Ýòî è ïðîäåëàíî â ðàáîòå [GPV℄.3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ84Ñòðóêòóðà äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà èìååò åñòåñòâåííûå îáîáùåíèÿ,êîòîðûå âîçíèêàþò, åñëè ïåðåéòè îò äëèííûõ äóã ê äóãàì èëè ê êîðîòêèì äóãàì.  ñëó÷àå äóã ìû áóäåì ââîäèòü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äóãàìè,ñõîäÿùèìèñÿ â âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ, à ïåðåõîä ê êîðîòêèì äóãàìïîçâîëèò íàì ìîäèèöèðîâàòü ñîîòíîøåíèÿ â êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ:âìåñòî îäíîé áèíàðíîé óíêöèè ìû ïîëó÷èì äâå áèíàðíûå óíêöèè: ìûèìååì äâå âõîäÿùèå äóãè è äâå èñõîäÿùèå äóãè.

 îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ,êîãäà èíâàðèàíò ñòðîèòñÿ ïî äëèííûì äóãàì, â ñëó÷àå äóã èëè êîðîòêèõäóã èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îáúåçäà íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîî÷åâèäíîé, è ååíóæíî ïðîâåðÿòü.Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê ïîíÿòèþ âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà.3.1.1. Âèðòóàëüíûé ãðóïïîèäÏîíÿòèå âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà áûëî âïåðâûå ïðåäëîæåíî â ðàáîòàõàâòîðà [Ìà4, Man6℄. Ïðèâîäèìûå íèæå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â [Ìà4,Man6, Ìà2, Ìà10, Man2℄.Îïðåäåëåíèå 3.0. Íàçîâåì âèðòóàëüíûì ãðóïïîèäîì äèñòðèáóòèâíûéãðóïïîèä (M, ◦), íà êîòîðîì çàäàí àâòîìîðèçì f : M → M , ò.å. âçàèìíîîäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, òàêîå ÷òî äëÿ ëþáûõ a, b ∈ M èìååò ìåñòî f (a ◦b) = f (a) ◦ f (b).Àíàëîãè÷íî äèñòðèáóòèâíûì ãðóïïîèäàì âèðòóàëüíûå ãðóïïîèäû òàêæå ìîæíî çàäàâàòü îáðàçóþùèìè aα è îïðåäåëÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿìèRβ , ãäå èíäåêñû α è β ïðîáåãàþò íåêîòîðûå êîíå÷íûå ìíîæåñòâà.

Ñíà÷àëàìû îïðåäåëÿåì ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ñëîâ ïîñðåäñòâîì îïåðàöèé ◦, /, àòàêæå f è f −1 .àññìîòðèì ñëåäóþùóþ àêñèîìàòèêó ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòà âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé. Ïóñòü äàíî âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå L, è ïóñòü a1 , . . . , ak ìíîæåñòâî åãî äóã. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îïåðàöèþ ◦ äëÿ çàïèñè ñîîòíîøåíèé ìåæäó äóãàìè, èíöèäåíòíûìè îäíîìó è òîìó æå êëàññè÷åñêîìóïåðåêðåñòêó òàê æå, êàê è ðàíüøå, ñì. (3.1), ðèñ. 3.3; êðîìå òîãî, ìû ââåäåìîðìàëüíóþ (óíàðíóþ) îïåðàöèþ f äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ (ýòàîïåðàöèÿ áóäåò àâòîìîðèçìîì ãðóïïîèäà), à èìåííî: ïóñòü â íåêîòîðîìâèðòóàëüíîì ïåðåêðåñòêå Xj ñõîäÿòñÿ ÷åòûðå äóãè, êîòîðûì ñîîòâåòñòâó-3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ85þò îáðàçóþùèå aj1 , aj2 , aj3 , aj4 òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.

3.4.aj¡ajaj4@I@2V ¡d@¡¡ @¡@@1= f (aj )1¡µ¡aj3@= f (aj )4èñ. 3.4. Ñîîòíîøåíèå äëÿ âèðòóàëüíîãî ïåðåêðåñòêàÏîñòðîèì îðìàëüíûé ñâîáîäíûé âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä îáðàçóþùèìè ai ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ ñëîâ ñ ó÷åòîì îïåðàöèé ◦, /, f, f −1 , à çàòåì ïðîàêòîðèçóåì ïî åñòåñòâåííûì ñîîòíîøåíèÿìâèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà. Äëÿ ïîëíîòû îïðåäåëåíèÿ â ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ýêâèâàëåíòíîñòåé íóæíî âêëþ÷èòü òàêæå ñîîòíîøåíèÿ âèäà f (aαb) =f (a)αf (b) è f (f −1 (a)) = f −1 (f (a)) = a, ãäå a è b ïðîèçâîëüíûå äîïóñòèìûå ñëîâà, α îïåðàöèÿ ◦ èëè /, ïîëó÷àåìûå èç îáðàçóþùèõ ïîñðåäñòâîìîïåðàöèé ◦, /, f, f −1 .Äàëåå ìû àêòîðèçóåì ïî ñîîòíîøåíèÿì:aj2 = f (aj1 )(3.2)aj3 = f (aj4 )(3.3)èÏîëó÷åííûé ïîñëå òàêîé àêòîðèçàöèè ãðóïïîèä îáîçíà÷èì ÷åðåç Γf haα |Rβ i.Îïðåäåëèì òåïåðü âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä Γ(L) êàê Γf ha1 , . . . , an |Ri , Rj1 , Rj2 i;çäåñü ñîîòíîøåíèÿ Ri îòíîñÿòñÿ ê êëàññè÷åñêèì ïåðåêðåñòêàì ñ íîìåðàìèi (ñîîòíîøåíèÿ âèäà (3.1)), à ïàðû ñîîòíîøåíèé Rj1 , Rj2 îòíîñÿòñÿ ê âèðòóàëüíûì ïåðåêðåñòêàì (â êàæäîì âèðòóàëüíîì ïåðåêðåñòêå ñ íîìåðîì jìû èìååì äâà ñîîòíîøåíèÿ âèäà (3.2,3.3)).Ïðåäëàãàåìàÿ íèæå òåîðåìà áûëà âïåðâûå äîêàçàíà â [Man6℄, ñì.