Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов, страница 9

ïåðâàÿ äóãà îðèåíòèðîâàíà îò A ê B , à âòîðàÿ îò C ê D, ïðèýòîì ïðè îáõîäå îêðóæíîñòè ∂E ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ÷åòûðå òî÷êè âñòðå÷àþòñÿ â ïîðÿäêå A, B, C, D. Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿl, ïåðåñåêàþùàÿ äèñê E è íå ïåðåñåêàþùàÿ äèàãðàìì K1 , K2 , òàêàÿ ÷òîäèàãðàììû K1 è K2 ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò l.Îïðåäåëåíèå 2.2. Íàçîâåì ñâÿçíîé ñóììîé äèàãðàìì K1 è K2 (îáîçíà-÷åíèå: K1 #K2 ) äèàãðàììó, ïîëó÷åííóþ èç äèàãðàììû íåñâÿçíîé ñóììûK1 ⊔ K2 óäàëåíèåì äóã AB è CD è äîáàâëåíèåì äóã DA è CB ñ ðàñïðîñòðàíåíèåì îðèåíòàöèè äèàãðàìì K1 è K2 íà ïîëó÷èâøóþñÿ äèàãðàììóK1 #K2 , ñì. ðèñ. 2.4.Îòìåòèì, ÷òî ñâÿçíàÿ ñóììà âèðòóàëüíûõ óçëîâ íå ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî2.2. îä âèðòóàëüíîãî óçëà51îïðåäåëåííîé.

Íà ðèñóíêàõ 2.2 è 2.3 èçîáðàæåíû äâå íåýêâèâàëåíòíûå äðóãäðóãó ñâÿçíûå ñóììû âèðòóàëüíîãî òðèëèñòíèêà ñ ñàìèì ñîáîé.e¸eèñ. 2.2. Ñâÿçíàÿ ñóììà K#K¸eeèñ. 2.3. Äðóãàÿ ñâÿçíàÿ ñóììà K#KÍå ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûì è êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ñâÿçíîéñóììû äâóõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Ïîýòîìó áóäåì óïîòðåáëÿòü òåðìèí ñâÿçíàÿ ñóììà âèðòóàëüíûõ óçëîâ äëÿ ëþáîé èç ñâÿçíûõ ñóìì, ïîëó÷àåìûõñâÿçíûì ñóììèðîâàíèåì íåêîòîðûõ èõ äèàãðàìì.Èíòåðåñíî òàêæå ðàññìîòðåíèå ñâÿçíîé ñóììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ: îíà îïðåäåëåíà êîððåêòíî.

Îïèñàíèþ äëèííûõ âèðòóàëüíûõóçëîâ ïîñâÿùåíà ÷àñòü 3.2 ãëàâû 3.Öåëüþ íàñòîÿùåãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé òåîðåìû.Òåîðåìà 2.3.K1 , K2 , õîòÿ áû îäèíèç êîòîðûõ íåòðèâèàëåí, ëþáàÿ èõ ñâÿçíàÿ ñóììà K1 #K2 ÿâëÿåòñÿ íåòðèÄëÿ ëþáûõ äâóõ âèðòóàëüíûõ óçëîââèàëüíûì âèðòóàëüíûì óçëîì.2.2. îä âèðòóàëüíîãî óçëà52LLèñ. 2.4. Ïðèìåð ñâÿçíîé ñóììû âèðòóàëüíûõ óçëîâÝòà òåîðåìà áóäåò ñëåäñòâèåì òåîðåìû 2.5 î (ïîäëåæàùåì) ðîäå è ëåììû2.1. ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 2.3 îíåòðèâèàëüíîñòè ñâÿçíîé ñóììû óçëîâ, áûëà äîêàçàíà Õîðñòîì Øóáåðòîì[Shu℄. íåé èñïîëüçîâàëèñü ñîîáðàæåíèÿ, àíàëîãè÷íûå èäåå äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìå 2.5.

À èìåííî, áûëà äîêàçàíà àääèòèâíîñòü ðîäà Çåéåðòà íåîòðèöàòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêè êëàññè÷åñêèõ óçëîâ, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèåíóëü òîëüêî íà òðèâèàëüíîì óçëå.Íàïîìíèì, ÷òî âñÿêîå êëàññè÷åñêîå çàöåïëåíèå L ⊂ R3 äîïóñêàåò îðèåíòèðóåìóþ ñâÿçíóþ ïîâåðõíîñòü F ⊂ R3 , òàêóþ, ÷òî ∂F = L. Ìèíèìàëüíûéðîä òàêîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ðîäîì Çåéåðòà çàöåïëåíèÿ L. ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ óçëîâ K1 è K2 , êëàññè÷åñêèå äèàãðàììû êîòîðûõ2.2. îä âèðòóàëüíîãî óçëà53ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåêîòîðîé ïðÿìîé l ìû âûáèðàåì êëàññè÷åñêèå äèàãðàììû K1 è K2 ýòèõ óçëîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ íåêîòîðîãî êðóãà E , ïåðåñåêàþùåãî l â äâóõ òî÷êàõ íà ïëîñêîñòè, ïåðåñå÷åíèåE ∩ (K1 ∪ K2 ) ñîñòîÿëî èç äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ äóã AB è CD, ëåæàùèõ ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò l, íàïðàâëåííûõ âíóòðè êðóãà â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû.

Ïîñëå ýòîãî ñâÿçíàÿ ñóììà K1 #K2 îïðåäåëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîìäèàãðàììû K1 #K2 = K1 ⊔ K2 \(AB ∪ CD) ∪ (DA ∪ CB) ñ î÷åâèäíîé îðèåíòàöèåé.Ýòî îïðåäåëåíèå äëÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ çàäàåò êëàññè÷åñêóþ ñâÿçíóþñóììó. Ïîëó÷åííûé êëàññè÷åñêèé óçåë ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûì:åãî èçîòîïè÷åñêèé êëàññ íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëåé K1 è K2 .Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî àêòà îáùåèçâåñòíî, ñì., íàïð., [BZ, Ìà1℄.Áóäåì íàçûâàòü òàêóþ ñâÿçíóþ ñóììó êëàññè÷åñêîé ñâÿçíîé ñóììîéêëàññè÷åñêèõ óçëîâ.  îòëè÷èå îò îáùåãî ñëó÷àÿ âèðòóàëüíîé ñâÿçíîéñóììû (êîòîðóþ ìîæíî ïðèìåíÿòü è ê äèàãðàììàì êëàññè÷åñêèõ óçëîâ),êëàññè÷åñêàÿ ñóììà ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííîé.Òåîðåìà Øóáåðòà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.Òåîðåìà 2.4 ([Shu℄).ñêèõ óçëîâK 1 , K2Åñëè êëàññè÷åñêàÿ ñâÿçíàÿ ñóììà äâóõ êëàññè÷å-ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðèâèàëüíûé êëàññè÷åñêèé óçåë,òî êàæäûé èç óçëîâKi , i = 1, 2,òðèâèàëåí.Îïðåäåëåíèå 2.3.

Ñêàæåì, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ðåàëèçàöèÿ âèðòóàëüíî-ãî óçëà K â âèäå óçëà â óòîëùåííîé ïîâåðõíîñòè M × I ÿâëÿåòñÿ îñîáîé,åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ãîìîòîïè÷åñêè íåòðèâèàëüíàÿ âëîæåííàÿ îêðóæíîñòü S ⊂ M , íå ðàçäåëÿþùàÿ ïîâåðõíîñòü M íà äâå ÷àñòè è âëîæåííîåêîëüöî C ⊂ M ×I , òàêîå ÷òî ∂C = C ∩(M ×{0, 1}), ïðè ýòîì C ∩(M ×{1})ãîìîòîïíî S × {1}, à ïåðåñå÷åíèå C ∩ K òðàíñâåðñàëüíî è ñîñòîèò ðîâíîèç îäíîé òî÷êè.Çàìå÷àíèå 2.4.

Îòìåòèì, ÷òî èç òîãî, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ñîñòîèò ðîâíîèç îäíîé òî÷êè ñëåäóåò, ÷òî êîëüöîCíå ðàçäåëÿåòêîìïîíåíòû.Ïðèìåð îñîáîé ðåàëèçàöèè ïîêàçàí íà ðèñ. 2.5.M ×Iíà äâå ñâÿçíûå2.2. îä âèðòóàëüíîãî óçëà54èñ. 2.5. Îñîáàÿ ìèíèìàëüíàÿ ðåàëèçàöèÿ íà óòîëùåííîì òîðåÊëþ÷åâûì óòâåðæäåíèåì â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2.3 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2.5. Äëÿ êàæäûõäâóõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèéK1 , K2K1 #K2 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîg(K1 #K2 ) > g(K1 ) + g(K2 ) − 1, ïðè ýòîìg(K1 #K2 ) > g(K1 ) + g(K2 ), åñëè ìèíèìàëüíûé ïðåäñòàâèòåëüëèáî èç âèðòóàëüíûõ óçëîâ K1 , K2 íå ÿâëÿåòñÿ îñîáûì.è êàæ-äîé èõ ñâÿçíîé ñóììûÇàìå÷àíèå 2.5.êàêîãî-Îòìåòèì, ÷òî ýòè íåðàâåíñòâà íåëüçÿ çàìåíèòü íàðàâåíñòâà.

 ãëàâå 4 áóäåò îïèñàí óçåë Êèøèíî, èìåþùèé ïîäëåæàùèéðîä äâà è ÿâëÿþùèéñÿ ñâÿçíîé ñóììîé äâóõ òðèâèàëüíûõ óçëîâ (ðîäàíóëü). äàëüíåéøåì íàì òàêæå ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿËåììà 2.1. Åñëè íåêîòîðàÿ ñâÿçíàÿ ñóììà äâóõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ K1 , K2ðîäà íóëü èìååò ðîä íóëü (ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êëàññè÷åñêèé óçåë),òî îáà óçëàK1èK2èìåþò ðîä íóëü, à ýòà ñâÿçíàÿ ñóììà ýêâèâàëåíòíàèõ êëàññè÷åñêîé ñâÿçíîé ñóììå.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2.1 áóäåò ñëåäîâàòü èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû2.5.2.2.

îä âèðòóàëüíîãî óçëà55Èç òåîðåìû 2.5 è ëåììû 2.1 ñëåäóåò òåîðåìà 2.3. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòüK1 è K2 äâà âèðòóàëüíûõ óçëà. Åñëè õîòÿ áû îäèí èç íèõ (ñêàæåì K1 )èìååò (ìèíèìàëüíûé) ïîäëåæàùèé ðîä áîëüøå íóëÿ, òî K1 #K2 òàêæå èìååò ðîä áîëüøå íóëÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé òðèâèàëüíûé óçåë. À èìåííî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.5, åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü,ïðè êîòîðîé g(K1 #K2 ) = 0 ýòî ñëó÷àé, êîãäà g(K1 ) = 0, g(K2 ) = 1 (èëèg(K1 ) = 1, g(K2 ) = 0), ïðè ýòîì îáà ìèíèìàëüíûõ ïðåäñòàâèòåëÿ äîëæíûáûòü îñîáûìè, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ íåâîçìîæíî â ñëó÷àå ðîäà íóëü (òàêêàê íà ñåðå íåò íåòðèâèàëüíûõ öèêëîâ). ñëó÷àå, åñëè îáà óçëà ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèìè, ìû ìîæåì â ñèëó ëåììû 2.1 ðàññìîòðåòü èõ êëàññè÷åñêóþ ñâÿçíóþ ñóììó. Ïîñëåäíÿÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåòðèâèàëüíûé óçåë â ñèëó òåîðåìû Øóáåðòà (â ïðåäïîëîæåíèèíåòðèâèàëüíîñòè õîòÿ áû îäíîãî èç äâóõ óçëîâ).Ïåðåéäåì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.5.Çàìå÷àíèå 2.6. äàëüíåéøåì ìû áóäåì îáîçíà÷àòü àáñòðàêòíûå âèð-òóàëüíûå óçëû è ïðåäñòàâëÿþùèå èõ óçëû â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõîäíîé è òîé æå áóêâîé.

Òàê, íàïðèìåð, âèðòóàëüíûé óçåëóçëîìKâ óòîëùåííîé ïîâåðõíîñòè2.2.1. Äâà òèïà ñâÿçíîãî ñóììèðîâàíèÿKçàäàåòñÿSg × I .Ïóñòü äâà âèðòóàëüíûõ óçëà K1 è K2 ïðåäñòàâëåíû ïîñðåäñòâîì óçëîââ óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ è èêñèðîâàíà íåêîòîðàÿ èõ ñâÿçíàÿ ñóììà. ýòîì ñëó÷àå ìîãóò èìåòü ìåñòî åñòåñòâåííûå âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâèòüñâÿçíóþ ñóììó ïðåäñòàâèòåëåé ýòèõ óçëîâ â âèäå (ïðåäñòàâèòåëÿ) óçëà âóòîëùåííîé ïîâåðõíîñòè, ñì.

ðèñ. 2.6, à.á.Îäèí ñïîñîá ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ìû ðàññìàòðèâàåì óòîëùåííûå ïîâåðõíîñòè (M1 × I) ⊃ K1 è (M2 × I) ⊃ K2 è âûðåçàåì â íèõ äâà âåðòèêàëüíûõ öèëèíäðè÷åñêèõ îòâåðñòèÿ Di × I , ãäå Di ⊂ Mi , òàê ÷òî ïåðåñå÷åíèå(Di × I) ∩ Ki ãîìåîìîðíî îòðåçêó. Ïîñëå ýòîãî ìû ñêëåèâàåì ïîëó÷åííûåêðàÿ âìåñòå (îòîæäåñòâëÿÿ ∂D1 × I è ∂D2 × I ñïîñîáîì, ñîãëàñîâàííûìñ îðèåíòàöèåé ìíîãîîáðàçèÿ, íàïðàâëåíèåì èíòåðâàëà I òàêèì îáðàçîì,÷òîáû êîíöû óçëîâ ñîåäèíèëèñü, è ýòî ñîåäèíåíèå áûëî ñîãëàñîâàíî ñ îðèåíòàöèåé óçëîâ).

Òåì ñàìûì ìû ïîëó÷àåì (M × I) = ((M1 #M2 ) × I) ñ2.2. îä âèðòóàëüíîãî óçëà56èñ. 2.6. Äâà òèïà ñâÿçíîãî ñóììèðîâàíèÿóçëîì K1 #K2 âíóòðè.Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ýòîì g(M ) = g(M1 ) + g(M2 ).Äðóãîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ñâÿçíîé ñóììû ðàáîòàåò òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ðåàëèçàöèè îáîèõ óçëîâ K1 è K2 ÿâëÿþòñÿ îñîáûìè. Îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî K1 è K2 ëåæàò â M1 × I è M2 × I , ïðè÷åìêàæäûé èç äâóõ ðîäîâ g(M1 ) è g(M2 ) áîëüøå íóëÿ, ïðè ýòîì ñóùåñòâóþòíåòðèâèàëüíûå (íåãîìîòîïíûå íóëþ) êðèâûå γ1 ∈ M1 è γ2 ∈ M2 , òàêèå÷òî ìíîæåñòâî (γi × I) ∩ Ki ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîé òî÷êè (îòìåòèì, ÷òîâ ýòîì ñëó÷àå êðèâàÿ γi íå ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëÿþùåé). Ñëåäîâàòåëüíî, ìûìîæåì ðàçðåçàòü ìíîãîîáðàçèÿ (Mi × I) âäîëü êîëåö γi × I è ñêëåèòü èõäðóã ñ äðóãîì (â ýòîì ñëó÷àå ñêëåèâàþòñÿ äâå ïàðû öèëèíäðîâ).

Çäåñüìû òàêæå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñêëåéêà ñîãëàñîâàíà ñ ðàñïîëîæåíèåì òî÷åêïåðåñå÷åíèÿ ñ óçëàìè è îðèåíòàöèåé óçëîâ. ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ìíîãîîáðàçèå M × I , ãäå g(M ) = g(M1 ) +g(M2 ) − 1 äëÿ íåêîòîðîé ñâÿçíîé ñóììû K1 #K2 , ëåæàùåé â M . äàëüíåéøåì ïðè äåñòàáèëèçàöèè è îïðåäåëåíèè ðîäà âèðòóàëüíîãîóçëà íàì ïîíàäîáÿòñÿ òîëüêî ýòè äâà òèïà ñâÿçíîãî ñóììèðîâàíèÿ.Òåîðåìà Êóïåðáåðãà èñïîëüçóåòñÿ íàìè äëÿ êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòèïîíÿòèÿ ðîäà âèðòóàëüíîãî óçëà.2.2.2.

Ïëàí äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2.5àññìîòðèì äâà âèðòóàëüíûõ óçëà K1 è K2 è íåêîòîðóþ èõ ñâÿçíóþ ñóììó K1 #K2 . åàëèçóåì ýòó ñâÿçíóþ ñóììó êðèâûìè â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ ïåðâûì ñïîñîáîì. Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå ïîâåðõíîñòè ÷åðåç2.2. îä âèðòóàëüíîãî óçëà57M1 , M2 , M1 #M2 , à ñîîòâåòñòâóþùèå óçëû ÷åðåç K1 , K2 , K1 #K2 . Áóäåìòðàíñîðìèðîâàòü óòîëùåííóþ ïîâåðõíîñòü (M1 #M2 ) × I è óçëû âíóòðèíåå.Äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé ìû áóäåì ïèñàòü M = M1 #M2 , à òàêæåM = M1 ∪ M2 . Ìû ïðåäïî÷èòàåì âòîðîå îáîçíà÷åíèå, êîãäà íàì íóæíîïîä÷åðêíóòü, ÷òî M1 è M2 ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè ìíîãîîáðàçèÿ M ; ïåðâîå îáîçíà÷åíèå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðè ðàññìîòðåíèè M1 è M2 êàê îòäåëüíîñòîÿùèõ ìíîãîîáðàçèé.Áóäåì ïðèìåíÿòü ïðîöåññ äåñòàáèëèçàöèè ê óçëó, ïîëó÷åííîìó â âèäåñâÿçíîé ñóììû, îïèñàííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå.Ïðîöåññ äåñòàáèëèçàöèè áóäåò ñîñòîÿòü èç íåñêîëüêèõ øàãîâ.Ìû ïîêàæåì, ÷òî ïîñëå êàæäîãî øàãà äåñòàáèëèçàöèè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ (âñå îáîçíà÷åíèÿ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ïðîöåññà äåñòàáèëèçàöèè); äàëåå M çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü:1.