Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ê òàêîâûì îòíîñÿòñÿ óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà(äîïîëíåíèÿ ê çàöåïëåíèþ) è ïîëèíîì Àëåêñàíäåðà [Ale1, Ale2℄. Êàê ñòàëîÿñíî ïîçäíåå, òîïîëîãèÿ äîïîëíåíèÿ ê óçëó ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò åãî èçîòîïè÷åñêèé òèï (òåîðåìà îðäîíà-Ëþêêå [GL℄; àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèåäëÿ çàöåïëåíèé íåâåðíî). Êðîìå òîãî, áëàãîäàðÿ òîïîëîãè÷åñêîé òåîðåìåÂàëüäõàóçåíà [Wal℄ î òîì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé (êîòîðûå íàçûâàþòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèìè) âñÿêèé èçîìîðèçìóíäàìåíòàëüíûõ ãðóïï ïîðîæäàåòñÿ íåêîòîðûì ãîìåîìîðèçìîì ìíîãîîáðàçèé, áûë ïîñòðîåí îðìàëüíî-àëãåáðàè÷åñêè ïîëíûé èíâàðèàíò êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé ñì. ðàáîòû Ñ.Â.Ìàòâååâà [Matv℄ è Ä.Äæîéñà [Joy℄.Êëþ÷åâûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ òîò àêò, ÷òî äîïîëíåíèå ê îòêðûòîé òðóá÷àòîéîêðåñòíîñòè íåòðèâèàëüíîãî óçëà ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèì òðåõìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì ñ êðàåì.Íàñòîÿùàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà äîêàçàòåëüñòâó äâóõ îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ: äîêàçàíà àëãîðèòìè÷åñêàÿ ðàñïîçíàâàåìîñòü âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèéè ïîêàçàíî, ÷òî âñÿêàÿ ñâÿçíàÿ ñóììà äâóõ íåòðèâèàëüíûõ óçëîâ âñåãäàíåòðèâèàëüíà.
Ýòè ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â [Ìà1, KM2℄.Ïåðâûé àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ è çàöåïëåíèé òàêæå ñâÿçàí ñ òðåõìåðíîé òîïîëîãèåé: à èìåííî, îí îñíîâàí íà òåîðèè íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé, ïðåäëîæåííîé Â.Õàêåíîì [Hak℄ è ðàçâèòîé .Õåìèîíîì [Hem℄ è Ñ.Â.Ìàòâååâûì [Matv℄. Îñíîâíàÿ èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîâ õîðîøèõ òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ (áûòü ìîæåò, ñ êðàåì) èìååòñÿÂèðòóàëüíûå óçëû è òðåõìåðíàÿ òîïîëîãèÿ45êëàññ íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ïîâåðõíîñòåé, èìåþùèõ ïðàâèëüíîåðàñïîëîæåíèå ïî îòíîøåíèþ ê ïîäðàçáèåíèþ ìíîãîîáðàçèÿ (íàïðèìåð, êåãî òðèàíãóëÿöèè).
Îñíîâíîå ïîëîæåíèå òåîðèè Õàêåíà ñîñòîèò â òîì, ÷òîòàêèå ïîâåðõíîñòè ïîëó÷àþòñÿ èç êîíå÷íîãî àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìîãîíàáîðà áàçèñíûõ íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé. Ïðè ýòîì äëÿ ìíîãèõ âàæíûõñâîéñòâ P ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: åñëè ñóùåñòâóåò ïîâåðõíîñòü, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì P , òî ñóùåñòâóåò áàçèñíàÿ íîðìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü, îáëàäàþùàÿ òåì æå ñâîéñòâîì.
Íà ìíîæåñòâå íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé îïðåäåëåíà òàê íàçûâàåìàÿ îïåðàöèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ñóììèðîâàíèÿ; êàæäàÿïîâåðõíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êîíå÷íûì íàáîðîì íåîòðèöàòåëüíûõ öåëî÷èñëåííûõ õàðàêòåðèñòèê, êîòîðûå ñêëàäûâàþòñÿ ïðè òàêîì ñóììèðîâàíèè.Íàõîæäåíèå áàçèñíûõ íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþáàçèñíûõ íåîòðèöàòåëüíûõ öåëî÷èñëåííûõ ðåøåíèé êîíå÷íîé öåëî÷èñëåííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ýòà ïðîáëåìà àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìà, íî ååðåøåíèå ÷ðåçâû÷àéíî ãðîìîçäêî â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ, ñâÿçàííûõ ñ çàäà÷àìè òðåõìåðíîé òîïîëîãèè.Îáçîð òåîðèè íîðìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ ê òðåõìåðíîéòîïîëîãèè ñì.
â êíèãàõ Ñ.Â.Ìàòâååâà [Matv℄ è À.Ò.Ôîìåíêî è Ñ.Â.Ìàòâååâà[ÔÌ℄.Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîãèå ïðîáëåìû â òðåõìåðíîé òîïîëîãèè ìîãóò áûòüàëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøåíû, åñëè ïåðåîðìóëèðîâàòü èõ íà ÿçûêå ïîâåðõíîñòåé è èõ ñâîéñòâ. Ê òàêèì ïðîáëåìàì, â ÷àñòíîñòè, îòíîñèòñÿ ïðîáëåìàðàñïîçíàâàíèÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ. Ïåðâîå ïîëíîå áåçóïðå÷íîå äîêàçàòåëüñòâî âñåõ îñíîâíûõ óòâåðæäåíèé òåîðèè Õàêåíà ìîæíî íàéòè â ìîíîãðàèè Ìàòâååâà [Matv℄.Ñ ñàìîãî íà÷àëà áûëà âèäíà ñâÿçü âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñ òðåõìåðíîéòîïîëîãèåé.
Ïðè ïîñòðîåíèè òåîðèè Ë.Êàóìàí îïèðàëñÿ íà òåîðèþ óçëîâ â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ, ðàçâèòóþ Ë.Êàóìàíîì, Ô.Æèæåðîìè Þ.Ñàëåðîì [JKS℄. Âàæíûì øàãîì â ïîíèìàíèè ýòîé âçàèìîñâÿçè ñòàëàòåîðåìà .Êóïåðáåðãà (òåîðåìà 2.1), óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî ó êàæäîãî âèðòóàëüíîãî óçëà ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêàÿ ìèíèìàëüíàÿ (ïî ðîäó ïîâåðõíîñòè)ðåàëèçàöèÿ.Ìû èñïîëüçóåì ýòîò àêò, à òàêæå êëþ÷åâûå ïîëîæåíèÿ òåîðèè Õàêåíà-Âèðòóàëüíûå óçëû è òðåõìåðíàÿ òîïîëîãèÿ46Ìàòâååâà äëÿ ðåøåíèÿ äâóõ ïðîáëåì òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ: äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî ñâÿçíàÿ ñóììà íåòðèâèàëüíûõ óçëîâ íåòðèâèàëüíà èàëãîðèòìè÷åñêîãî ðàñïîçíàâàíèÿ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.åçóëüòàò îá àëãîðèòìè÷åñêîé ðàñïîçíàâàåìîñòè âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé âàæåí ïî ñëåäóþùèì ïðè÷èíàì:1. Ñ ìîìåíòà ïîÿâëåíèÿ òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ çàäà÷à àëãîðèòìè÷åñêîãî ðàñïîçíàâàíèÿ ÿâëÿëàñü öåíòðàëüíîé çàäà÷åé âñåé òåîðèè.2.
 ìàëîìåðíîé òîïîëîãèè ÷àñòî èìååò ìåñòî àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàñïîçíàâàåìîñòü. Ïîýòîìó çíàíèå âàæíîãî àêòà î òîì, ÷òî òå èëè èíûåîáúåêòû àëãîðèòìè÷åñêè ðàñïîçíàâàåìû, äåëàåò àêòóàëüíîé çàäà÷ó îïîñòðîåíèè ýåêòèâíîãî àëãîðèòìà.3. Äîêàçàòåëüñòâî, ïîìèìî òåîðåìû Êóïåðáåðãà è íåñêîëüêèõ îñíîâíûõïîëîæåíèé òåîðèè Õàêåíà, âêëþ÷àåò òàêæå ðàññóæäåíèÿ, ðàçðàáîòàííûå ñïåöèàëüíî äëÿ ñëó÷àÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ëåììà 2.8 è ïîøàãîâûéàëãîðèòì äåñòàáèëèçàöèè â êîíöå íàñòîÿùåé ãëàâû).Îòìåòèì, ÷òî àëãîðèòìè÷åñêîå ðàñïîçíàâàíèå çàöåïëåíèé (êàê âèðòóàëüíûõ, òàê è êëàññè÷åñêèõ) ïðèíöèïèàëüíî ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ðåçóëüòàòîì: õîòÿ îðìàëüíîå îïèñàíèå âñåõ øàãîâ àëãîðèòìà (äëÿ êëàññè÷åñêîãî èëè âèðòóàëüíîãî ñëó÷àÿ) è âûïèñûâàåòñÿ êîíñòðóêòèâíî (ñî ññûëêàìèíà àëãîðèòìû èç [Matv℄), íî ýòîò àëãîðèòì èìååò î÷åíü áîëüøóþ ñëîæíîñòüè âðÿä ëè (áåç äîïîëíèòåëüíûõ èäåé óïðîùåíèÿ) ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàííà êîìïüþòåðå äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé. íàñòîÿùåé ãëàâå ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåìâèðòóàëüíûõ óçëîâ è çàöåïëåíèé.Îïðåäåëåíèå 2.0.
Âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå ýòî êëàññ ýêâèâàëåíòíî-ñòè çàöåïëåíèé â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ M × I ñ òî÷íîñòüþ äî ñòàáèëèçàöèè/äåñòàáèëèçàöèè (ñì. äàëåå).Âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå L = L1 ⊔ L2 · · · ⊔ Lk íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì, åñëè îðèåíòèðîâàíî ñîîòâåòñòâóþùåå çàöåïëåíèå â M ×I , ò.å. êàæäàÿèç îêðóæíîñòåé S 1 , . .
. , S 1 ïðîîáðàçîâ êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿ ñíàáæåíà îðèåíòàöèåé. Ïðè ýòîì ìíîãîîáðàçèå M è îòðåçîê I ïðåäïîëàãàþòñÿîðèåíòèðîâàííûìè, à îðèåíòàöèÿ èêñèðîâàííîé.Âèðòóàëüíûå óçëû è òðåõìåðíàÿ òîïîëîãèÿ47Àíàëîãè÷íî, îñíàùåííûå âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ (ñð. îïð. íà ñòð.
10)ìîæíî çàäàâàòü â âèäå íàáîðîâ ëåíò S 1 × I , âëîæåííûõ â óòîëùåííûåïîâåðõíîñòè.Ïðè ýêâèâàëåíòíîñòè îðèåíòèðîâàííûõ çàöåïëåíèé ìû òðåáóåì ñîõðàíåíèÿ îðèåíòàöèè íà âñåõ êîìïîíåíòàõ.Çàìå÷àíèå 2.1.ïðîèçâåäåíèåóòîëùåííîé ïîâåðõíîñòüþ ìû ïîíèìàåì äåêàðòîâîM × I , ãäå I îòðåçîê [0, 1], à M çàìêíóòîå îðèåíòèÏîäðóåìîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçíîå. Ïðè ýòîì ìûòðåáóåì, ÷òîáû äëÿ êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòûîáðàçèÿMóòîëùåííàÿ ïîâåðõíîñòüîäíó êîìïîíåíòó çàöåïëåíèÿ.Mi ×IMiäâóìåðíîãî ìíîãî-ñîäåðæàëà áû ïî êðàéíåé ìåðå ÷àñòíîñòè, êîãäà ìû èìååì äåëî ñ óçëàìè, ìíîãîîáðàçèå âñåãäà äîëæíîáûòü ñâÿçíûì, ò.å. ïîâåðõíîñòü M ãîìåîìîðíà ñåðå ñ íåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì ðó÷åê.Ïîä äåñòàáèëèçàöèåé ìû ïîíèìàåì ñëåäóþùåå. Ïóñòü S íåêîòîðàÿíåñòÿãèâàåìàÿ îêðóæíîñòü íà ïîâåðõíîñòè M , äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò öèëèíäð C ñ êðàÿìè íà ðàçíûõ êðàÿõ ìíîãîîáðàçèÿ M ⊗ {0, 1}, ãîìîòîïíûé(â êëàññå ñîáñòâåííûõ (ñì.
ñòð. 48) âëîæåíèé) öèëèíäðó C × I , íå ïåðåñåêàþùèé çàöåïëåíèÿ ñ êðàåì öèëèíäðà). Òîãäà äåñòàáèëèçàöèÿ ýòîðàçðåçàíèå òðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M × I âäîëü öèëèíäðà ñ çàêëåèâàíèåì âíîâü ïîÿâèâøèõñÿ êîìïîíåíò êðàÿ øàéáàìè D2 ×I , ñì. ðèñ. 2.1. Ïðèýòîì åñëè ðàçðåçàíèå ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ ïóñòîé êîìïîíåíòû, òî ýòóêîìïîíåíòó ñëåäóåò óäàëèòü, ÷òîáû íå íàðóøàòü èçíà÷àëüíîé äîãîâîðåííîñòè (çàìå÷àíèå 2.1): â êàæäîé êîìïîíåíòå Mi × I äîëæíà ëåæàòü õîòÿáû îäíà êîìïîíåíòà çàöåïëåíèÿ.Ìû áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèå äåñòàáèëèçàöèÿ âäîëü öèëèíäðà (êîëüöà) C .Ïîä ñòàáèëèçàöèåé ïîíèìàåòñÿ îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ ê äåñòàáèëèçàöèè.Èíûìè ñëîâàìè, ñòàáèëèçàöèÿ è äåñòàáèëèçàöèÿ ýòî äîáàâëåíèå è óäàëåíèå ðó÷åê ê ïîâåðõíîñòè M ; ïðè ýòîì äîáàâëÿåìûå/óäàëÿåìûå ðó÷êè íåäîëæíû ñîäåðæàòü îáùèõ òî÷åê ñ ðàññìàòðèâàåìûì çàöåïëåíèåì.Î÷åâèäíî, ÷òî ñòàáèëèçàöèþ (äîáàâëåíèå ðó÷åê) ìîæíî ïðèìåíÿòü êëþáîé äèàãðàììå.Âèðòóàëüíûå óçëû è òðåõìåðíàÿ òîïîëîãèÿ48èñ.
2.1. Äåñòàáèëèçàöèÿ ïàðû (S2 × I, K)Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ, íàñêîëüêî äîëãî ìîæíî äåñòàáèëèçèðîâàòüäèàãðàììó. Ïóñòü âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå L çàäàíî çàöåïëåíèåì L̄ â óòîëùåííîé ïîâåðõíîñòè M × I .Íàçîâåì òàêîå çàäàíèå ìèíèìàëüíûì, åñëè ê íåìó íåëüçÿ ïðèìåíèòüäåñòàáèëèçàöèè.Íà ïðîòÿæåíèè íàñòîÿùåé ãëàâû ïîä ñëîâîì ìíîãîîáðàçèå ìû áóäåìïîíèìàòü òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå M , áûòü ìîæåò, ñ êðàåì, ïîä ñëîâîìïîâåðõíîñòü ìû áóäåì ïîíèìàòü äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü F ⊂ M , ïðèýòîì ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ÷òî ïîâåðõíîñòüÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî F ∩ ∂M = ∂F , ãäå ∂M è ∂F ãðàíèöà ìíîãîîáðàçèÿ M è ãðàíèöà ïîâåðõíîñòè F ñîîòâåòñòâåííî.Áîëåå òîãî, âñå òðåõìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ íà ïðîòÿæåíèè íàñòîÿùåé ãëàâû ïðåäïîëàãàþòñÿ îðèåíòèðîâàííûìè, ïðè÷åì îðèåíòàöèÿ ÿâëÿåòñÿèêñèðîâàííîé, è âñå äàëüíåéøèå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû, îðìóëèðóåìûå î òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ, îòíîñÿòñÿ ê îðèåíòèðîâàííûì ìíîãîîáðàçèÿì (êàê ïðàâèëî ñ êðàåì); ïðè ýòîì ïîä ãîìåîìîðèçìîì âñåãäàïîíèìàåòñÿ ãîìåîìîðèçì, ñîõðàíÿþùèé îðèåíòàöèþ.2.1.
Òåîðåìà Êóïåðáåðãà492.1. Òåîðåìà ÊóïåðáåðãàÑ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ òðåõìåðíîé òîïîëîãèè ðåã Êóïåðáåðã äîêàçàë ñëåäóþùóþ âàæíóþ òåîðåìó [Kup℄:Òåîðåìà 2.1.öåïëåíèÿM × I)KÌèíèìàëüíûé ïðåäñòàâèòåëü êàæäîãî âèðòóàëüíîãî çà-(M ×I, K ⊂M × {1} â ñåáÿ.åäèíñòâåí ñ òî÷íîñòüþ äî äèåîìîðèçìà ïàðûíà ñåáÿ, ïåðåâîäÿùåãî âåðõíþþ êîìïîíåíòó êðàÿ ñëó÷àå, êîãäà ìû èìååì äåëî ñ óçëîì, èëè áîëåå îáùî, ñ íåðàñïàäàþùèìñÿ çàöåïëåíèåì, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîâåðõíîñòü äîëæíà áûòü ñâÿçíîé,ò.å. èìåòü âèä Sg ñåðû ñ g ðó÷êàìè.Îïðåäåëåíèå 2.1. Íàçîâåì ïîäëåæàùèì ðîäîì íåðàñïàäàþùåãîñÿ âèð-òóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ L ðîä g ìèíèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè Sg , òàêîé ÷òî çàöåïëåíèå L ðåàëèçóåìî â Sg × I .Çàìå÷àíèå 2.2.Ïîäëåæàùèé ðîä íóëü èìåþò êëàññè÷åñêèå çàöåïëåíèÿè òîëüêî îíè.Çàìå÷àíèå 2.3. äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ ââåñòè åùå íåñêîëü-êî õàðàêòåðèñòèê êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, íàçûâàåìûõñëîâîì ðîä: ðîä ïîäëåæàùåé ïîâåðõíîñòè, ðîä àòîìà, ðîä Çåéåðòà.Èíîãäà ìû áóäåì îïóñêàòü õàðàêòåðèñòèêó ïîäëåæàùèé è ïèñàòü ïðîñòî ðîä, åñëè èç êîíòåêñòà ÿñíî, î êàêîì ðîäå èäåò ðå÷ü.
Ïîä ðîäîìóòîëùåííîé ïîâåðõíîñòèM ×Iâñåãäà ïîíèìàåòñÿ ðîä ïîâåðõíîñòèM.Èç òåîðåìû Êóïåðáåðãà ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâà âèðòóàëüíûõ óçëà K1 è K2îáà èìåþò ðîä g , òî îíè ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà îäèí èç íèõ ìîæåò áûòü ïåðåñòðîåí â äðóãîé â êëàññå âèðòóàëüíûõóçëîâ ðîäà g , ò.å.
èçîòîïèÿìè â Sg × I (è ãîìåîìîðèçìàìè Sg íà ñåáÿ). Â÷àñòíîñòè, ïðè g = 0 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äâå êëàññè÷åñêèå äèàãðàììû óçëîâ(çàöåïëåíèé) ÿâëÿþòñÿ âèðòóàëüíî ýêâèâàëåíòíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà îíè çàäàþò èçîòîïíûå çàöåïëåíèÿ.Ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòîÒåîðåìà 2.2.Êëàññè÷åñêèå çàöåïëåíèÿ îáðàçóþò ïîäìíîæåñòâî â ìíî-æåñòâå âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè äâå êëàññè÷åñêèå2.2äèàãðàììû ýêâèâàëåíòíû. îä âèðòóàëüíîãî óçëà(êàê50âèðòóàëüíûå äèàãðàììû), òî îíè çàäàþòèçîòîïíûå êëàññè÷åñêèå çàöåïëåíèÿ.Ýòà òåîðåìà áûëà âïåðâûå äîêàçàíà â ðàáîòå [GPV℄ ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêöèè äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà. Ê ýòîìó âîïðîñó ìû âåðíåìñÿ â ãëàâå 3.2.2. îä âèðòóàëüíîãî óçëàÍåñâÿçíàÿ ñóììà âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì (óçëîâ èëè çàöåïëåíèé) K1 èK2 îïðåäåëÿåòñÿ êàê äèàãðàììà íà ïëîñêîñòè, ðàçäåëåííîé ïðÿìîé ëèíèåél íà äâå ïîëóïëîñêîñòè, ïðè ýòîì ïåðåñå÷åíèå äèàãðàììû íåñâÿçíîé ñóììûñ îäíîé ïîëóïëîñêîñòüþ ñîñòîèò èç äèàãðàììû K1 , à ïåðåñå÷åíèå ñ äðóãîéïîëóïëîñêîñòüþ èç äèàãðàììû K2 .
Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííóþ ñâÿçíóþ ñóììó ÷åðåç K1 ⊔K2 . Î÷åâèäíî, ÷òî íåñâÿçíàÿ ñóììà âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèéêîððåêòíî îïðåäåëåíà: êëàññ âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ K1 ⊔K2 íå çàâèñèòîò âûáîðà äèàãðàìì-ïðåäñòàâèòåëåé çàöåïëåíèé K1 è K2 .Íàçîâåì âèðòóàëüíóþ äèàãðàììó ñâÿçíîé, åñëè îíà íå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç íåñâÿçíîé ñóììû äâóõ íåïóñòûõ âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì ïðèìåíåíèåì äâèæåíèÿ îáúåçäà.Ïóñòü K1 , K2 äâå íåïåðåñåêàþùèåñÿ äèàãðàììû îðèåíòèðîâàííûõâèðòóàëüíûõ óçëîâ íà îðèåíòèðîâàííîé ïëîñêîñòè P , êîòîðûå îáëàäàþòòåì ñâîéñòâîì, ÷òî íåêîòîðûé äâóìåðíûé äèñê E ïåðåñåêàåò K1 ⊔ K2 ïîäâóì äóãàì AB ∈ K1 è CD ∈ K2 , èìåþùèì ïðîòèâîïîëîæíûå îðèåíòàöèè, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
