Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Êàæäàÿ ñòðåëêà ñíàáæåíàçíàêîì, êîòîðûé ñîâïàäàåò ñî çíàêîì ïåðåêðåñòêà, ò.å. + äëÿ ïåðåêðåñòêà.âèäàè − äëÿÒàê, äëÿ êëàññè÷åñêîãî ïðàâîãî òðèëèñòíèêà ãàóññîâà äèàãðàììà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì, ñì. ðèñ. 1.9.Xàóññîâîé äèàãðàììîé,Uèñ. 1.9. àóññîâà äèàãðàììà ïðàâîãî òðèëèñòíèêàÏðîèçâîëüíûå ãàóññîâû äèàãðàììû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ãàóññîâûõ äèàãðàìì êëàññè÷åñêèõ óçëîâ. Ýòî ñâÿçàíî ñíåâîçìîæíîñòüþ âëîæåíèÿ â ïëîñêîñòü ãðàà ñ íåêîòîðîé êîìáèíàòîðíîéñòðóêòóðîé. Òåì íå ìåíåå, âñå ãàóññîâû äèàãðàììû ìîæíî ðåàëèçîâàòü ïîñðåäñòâîì ïîãðóæåíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ, îòìå÷àÿ òî÷êè, èìåþùèå áîëü-1.1.
Ââåäåíèå19øå îäíîãî ïðîîáðàçà (â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ ðîâíî äâà ïðîîáðàçà),âèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè, ñì. ðèñ. 1.10.èñ. 1.10. àóññîâà äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî óçëàÝòî åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (íå çàöåïëåíèé): íóæíî ðàññìîòðåòü âñå îðìàëüíûå ãàóññîâû äèàãðàììû è îðìàëüíî îïèñàòü äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà (êàê â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ äèàãðàìì óçëîâ): îíè áóäóò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé êîìáèíàòîðíûå ñõåìû ïðåîáðàçîâàíèé ãàóññîâûõ äèàãðàìì.  ýòîì ñëó÷àå êëàññûýêâèâàëåíòíîñòè ãàóññîâûõ äèàãðàìì ïî îðìàëüíûì äâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà è áóäóò ïðåäñòàâëÿòü âèðòóàëüíûå óçëû.
Îòìåòèì, ÷òî íàì íåïîíàäîáèòñÿ äâèæåíèå îáúåçäà, òàê êàê ãàóññîâà äèàãðàììà íå çíàåò íè÷åãî î ðàñïîëîæåíèè âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ íà ïëîñêîñòè, à çíàåòëèøü êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè è òî, êàê îíè ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé. Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ãàóññîâû äèàãðàììû ÷óâñòâèòåëüíû òîëüêî ê êëàññè÷åñêèìäâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà è íå÷óâñòâèòåëüíû ê äâèæåíèÿì îáúåçäà.
Òî÷íîãî ñïèñêà äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà äëÿ ãàóññîâûõ äèàãðàìì ìû íå ïðèâîäèì, ñì., íàïð., [GPV℄.Âåòâè âèðòóàëüíîãî óçëà, èìåþùèå âèðòóàëüíîå ïåðåñå÷åíèå, îòíîñÿùèåñÿ ê äâóì äàëåêî îòñòîÿùèì ÷àñòÿì óçëà, ìîãóò ñâîáîäíî äâèãàòüñÿ ïîïîâåðõíîñòè íåçàâèñèìî îäíà îò äðóãîé. Ýòî ïðèâîäèò ê îïðåäåëåíèþ âèðòóàëüíûõ óçëîâ êàê óçëîâ â óòîëùåííûõ îðèåíòèðîâàííûõ ïîâåðõíîñòÿõS × I , ãäå S äâóìåðíàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü, à I îòðåçîê ñ èêñèðîâàííîé îðèåíòàöèåé; ïðè ýòîì óòîëùåííûå ïîâåðõíîñòèäîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ñòàáèëèçàöèè, ò.å. ñ òî÷íîñòüþäî äîáàâëåíèÿ è óäàëåíèÿ ðó÷åê èç ïîâåðõíîñòè S òàê, ÷òîáû äîáàâëÿåìûåóòîëùåííûå ðó÷êè íå çàòðàãèâàëè ñîîòâåòñòâóþùåãî óçëà (áîëåå ïîäðîá-1.1. Ââåäåíèå20íîå îïèñàíèå ñì.
â ãë. 2).Çäåñü è äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà óòîëùåííîé îðèåíòðîâàííîé ïîâåðõíîñòè S × I èêñèðîâàíà ñòðóêòóðà ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ è óêàçàíî,êàêîé êðàé ÿâëÿåòñÿ âåðõíèì, à êàêîé íèæíèì. ñëó÷àå çàöåïëåíèÿ íóæíî ðàçðåøàòü òàêæå íåñâÿçíûå ïîâåðõíîñòèS1 ⊔ · · · ⊔ Sk (ïðè ýòîì èíîãäà òðåáóþò, ÷òîáû â êàæäîì ìíîãîîáðàçèèSj × I ëåæàëà ïî êðàéíåé ìåðå îäíà êîìïîíåíòà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ,[Kup℄). Çàöåïëåíèÿ â S × I îïèñûâàþòñÿ äèàãðàììàìè íà S ñ ïðîõîäàìè è ïåðåõîäàìè.  ýòîì ñìûñëå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû ïîëó÷àþòñÿ ñïîìîùüþ ðåãóëÿðíûõ ïðîåêöèé îáùåãî ïîëîæåíèÿ äèàãðàìì ïîâåðõíîñòè S íà ïëîñêîñòü: ïåðåêðåñòêè ïåðåõîäÿò â êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè,à íîâûå ïåðåñå÷åíèÿ (äååêòû ïðîåêöèè) îòìå÷àþòñÿ âèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè; ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïðè äèåîìîðèçìå ïðîåêöèèîêðåñòíîñòåé êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ âñå ïåðåõîäèëè íà ïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè.
Äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà äëÿ äèàãðàìì íà S (òåæå, ÷òî è â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ äèàãðàìì óçëîâ) ñîîòâåòñòâóþò êëàññè÷åñêèì äâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà äëÿ âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì; ñóùåñòâóþòòàêæå ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûå íå ìåíÿþò êîìáèíàòîðíîé ñòðóêòóðû äèàãðàììû íà S , íî ìåíÿþò êîìáèíàòîðíóþ ñòðóêòóðó ïðîåêöèè íà ïëîñêîñòü:èì ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèå îáúåçäà.Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè ðàçëè÷íûõ îïðåäåëåíèé âèðòóàëüíûõ óçëîâáûëà àíîíñèðîâàíà â ðàáîòå [Kau7℄ è äîêàçàíà ðàçëè÷íûìè àâòîðàìè, âòîì ÷èñëå Êàóìàíîì.
Ïîëíîå ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè,íàïðèìåð, â [Ìà1℄.Íàðÿäó ñ îáû÷íûìè âèðòóàëüíûìè óçëàìè ñóùåñòâóåò òåîðèÿ ñêðó÷åííûõ óçëîâ, ïðåäëîæåííàÿ Áóðãóàíîì [Bou℄, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîéâèðòóàëüíûå óçëû â îðèåíòèðîâàííûõ óòîëùåíèÿõ íåîðèåíòèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé. Ìû îáðàòèìñÿ ê ñêðó÷åííûì âèðòóàëüíûì óçëàì â ãëàâå 6.åàëèçàöèÿ äâèæåíèé îáúåçäà äâèæåíèÿìè íà óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ è èõ ïðîåêöèÿìè èçîáðàæåíà íà ðèñ.
1.11.Ýòî ïîäâîäèò íàñ ê ëîêàëüíûì âåðñèÿì äâèæåíèÿ îáúåçäà, êîòîðûå ñîñòîÿò èç:1. ×èñòî âèðòóàëüíûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà Ω′1 , Ω′2 , Ω′3 , êîòîðûå ïîëó-1.1. Ââåäåíèå21èñ. 1.11. Îáîáùåííûå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà è óòîëùåííûå ïîâåðõíîñòè÷àþòñÿ èç êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà çàìåíîé âñåõ ó÷àñòâóþùèõ â íèõ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ âèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè, ñì. ðèñ.
1.12.⇐⇒dddd⇐⇒⇐⇒dèñ. 1.12. Äâèæåíèÿ Ω′1 , Ω′2 , Ω′3dddd1.1. Ââåäåíèå222. Ïîëóâèðòóàëüíîé âåðñèè Ω′′3 òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, êîòîðàÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äóãà, ñîäåðæàùàÿ äâà âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêà,ìîæåò áûòü ïåðåíåñåíà ñêâîçü êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê, ñì. ðèñ. 1.13.dd⇐⇒ddèñ. 1.13. Ïîëóâèðòóàëüíàÿ âåðñèÿ Ω′′3Íàçîâåì óâåëè÷èâàþùèì òîò èç âàðèàíòîâ äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, êîòîðûé óâåëè÷èâàåò êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ (êëàññè÷åñêèõ â êëàññè÷åñêîìñëó÷àå è âèðòóàëüíûõ â âèðòóàëüíîì). Òàê, äâèæåíèÿ Ω1 , Ω2 , Ω′1 , Ω′′2 âîäíó ñòîðîíó ÿâëÿþòñÿ óâåëè÷èâàþùèìè, à â äðóãóþ ñòîðîíó óìåíüøàþùèìè.Î÷åâèäíî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 1.1.Äâå âèðòóàëüíûå äèàãðàììûKèK′ïîëó÷àþòñÿäðóã èç äðóãà ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì äâèæåíèé îáúåçäà òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ïîëó÷àþòñÿ îäíà èç äðóãîé ïîñëåäîâàòåëüíûì′′′′′ïðèìåíåíèåì äâèæåíèé Ω1 , Ω2 , Ω3 , Ω3 .Âîññòàíîâëåíèå äèàãðàììû óçëà â óòîëùåííîé ïîâåðõíîñòè ïî âèðòóàëüíîé äèàãðàììå íà ïëîñêîñòè ïðîèñõîäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïóñòü L äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ íà S 2 (ìû êîìïàêòèèöèðóåì R2 îäíîé òî÷êîé).
Êàæäûé âèðòóàëüíûé ïåðåêðåñòîê ýòîé äèàãðàììû ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñå÷åíèþ äâóõ äóã. Âûáåðåì îäíó èç íèõ è ñîçäàäèì äëÿ åå ïîäíÿòèÿ ðó÷êó, ñì. ðèñ. 1.14.  èòîãå ìû ïîëó÷èì äèàãðàììó(ñ ïðîõîäàìè, ïåðåõîäàìè è âèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè) íà òîðå, ó êîòîðîé êîëè÷åñòâî âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ íà åäèíèöó ìåíüøå, ÷åì óèçíà÷àëüíîé äèàãðàììû.Îòìåòèì, ÷òî âûáîð ðàñïîëîæåíèÿ ýòîé ðó÷êè ñâåðõó èëè ñíèçó íåñóùåñòâåí, òàê êàê óòîëùåííàÿ ïîâåðõíîñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ íàìè ñàìàïî ñåáå âíå êîíêðåòíîãî âëîæåíèÿ ïîâåðõíîñòè â R3 .1.1.
Ââåäåíèå23èñ. 1.14. Ïîäíÿòèå âèðòóàëüíîãî ïåðåêðåñòêà íà ðó÷êóËåãêî ïðîâåðÿåòñÿ òàêæå, ÷òî íåñóùåñòâåí è âûáîð òîé èç äâóõ äóã, êîòîðàÿ ïîäíèìàåòñÿ íà âíîâü ñîçäàâàåìóþ ðó÷êó äâå êàðòèíêè-äèàãðàììûK1 è K2 , ñîîòâåòñòâóþùèå òàêèì äâóì ïîäíÿòèÿì íà ïîâåðõíîñòè ñ ðó÷êàìè M1 è M2 , ò.å.
K1 ⊂ M1 è K2 ⊂ M2 , áóäóò êîìáèíàòîðíî ýêâèâàëåíòíû(ò.å. ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðèçì f : M1 → M2 îäíîãî ïîäíÿòèÿ íà äðóãîå, ïåðåâîäÿùèé îäíó âèðòóàëüíóþ äèàãðàììó ñ ïåðåêðåñòêàìè â äðóãóþf (K1 ) = K2 ).Ïðîäîëæàÿ äàëåå çàìåíÿòü âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè íà ðó÷êè, ìû ìîæåì èçáàâèòüñÿ îòî âñåõ âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ è ïîëó÷èòü äèàãðàììóíà Sg ( =Sg × { 21 } ⊂ Sg × [0, 1]) , ãäå g íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ðó÷åê. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ äâèæåíèåì îáúåçäà. Êàæäîå òàêîå äâèæåíèå ñîñòîèò â ñîáèðàíèè ïîñëåäîâàòåëüíî ðàñïîëîæåííûõ ðó÷åê â îäíóè äðîáëåíèè ýòîé ðó÷êè íà íîâûå ðó÷êè, ðàñïîëîæåííûå â äðóãèõ ìåñòàõ,ñì.
ðèñ. 1.15èñ. 1.15. Îáúåçä è ñòàáèëèçàöèÿ1.1. Ââåäåíèå24 íèæíåé ÷àñòè ðèñóíêà 1.15 ñîáèðàíèå (èëè, íàîáîðîò, äðîáëåíèå)ñîñòîèò èç ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé, êîòîðûå êàê ðàç ïðåäñòàâëÿþò ñîáîéäåñòàáèëèçàöèþ (ñîîòâ., ñòàáèëèçàöèþ).Ïðè ýòîì êëàññè÷åñêèå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ïðîèçâîäÿòñÿ ëîêàëüíîíà íåêîòîðîé ÷àñòè ïîâåðõíîñòè Sg , ïðîèñõîäÿùåé èç ñåðû ïîñðåäñòâîìäîáàâëåíèÿ ðó÷åê.Åñòåñòâåííî, ÷òî ïîâåðõíîñòü Sg × I àâòîìàòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðîâàííîé: îðèåíòàöèÿ äëÿ Sg ïðîèñõîäèò èç îðèåíòàöèè ñåðû S 2 , ê êîòîðîéïðèêëåèâàþòñÿ ðó÷êè.Îòìåòèì, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè Sg íåò íèêàêîé âûäåëåííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ïàðàëëåëåé è ìåðèäèàíîâ).
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïðèìåíåíèè ïåðâîãî âèðòóàëüíîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ýòà ïîâåðõíîñòü ïîäâåðãàåòñÿñêðó÷èâàíèÿì Äåíà, ñì. ðèñ. 1.16.èñ. 1.16. Ñêðó÷èâàíèå Äåíà è äâèæåíèå Ω′1Îòìåòèì, ÷òî äâà ïîõîæèõ íà äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ïðåîáðàçîâàíèÿ,ïîêàçàííûå íà ðèñóíêå íèæå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿþòñÿ ýêâèâèàëåíòíîñòÿìè âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Îíè ïîëó÷èëè íàçâàíèå çàïðåùåííûõ äâèæåíèé, ñì. ðèñ. 1.17.Îêàçûâàåòñÿ (ýòî âïåðâûå çàìåòèëè óñàðîâ, Ïîëÿê è Âèðî [GPV℄), ÷òîïðè äîáàâëåíèè îáîèõ çàïðåùåííûõ äâèæåíèé ëþáûå äâà âèðòóàëüíûõ óçëà (íî íå çàöåïëåíèÿ!) ñòàíîâÿòñÿ ýêâèâèàëåíòíûìè. Åñëè äîáàâèòü òîëüêîîäíî èç ýòèõ äâèæåíèé, à äðóãîå îñòàâèòü çàïðåùåííûì, ïîëó÷èòñÿ èíòåðåñíàÿ òåîðèÿ òðóá÷àòûõ óçëîâ. Ýòà òåîðèÿ áûëà ïðåäëîæåíà Øèíîì Ñàòî,[Satoh℄, ñì. òàêæå [KM2℄.1.1. Ââåäåíèå25èñ.
1.17. Çàïðåùåííûå äâèæåíèÿÎáùåèçâåñòíî (äîêàçàòåëüñòâî, ñì., íàïð., â [Ìà1℄), ÷òî êàæäûé êëàññè÷åñêèé óçåë ìîæåò áûòü ïåðåñòðîåí â òðèâèàëüíûé óçåë ïîñëåäîâàòåëü⇐⇒. Ýòî ÿâëÿåòñÿ îòïðàâíîé òî÷êîéíîé çàìåíîé ïåðåêðåñòêîâäëÿ ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòîâ óçëîâ (ñêåéí-ìîäóëè, àëãåáðû Êîíâåÿ, ïîëèíîì Êàóìàíà, èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà è äð.) Äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ ýòîóòâåðæäåíèå íåâåðíî, à èìåííî, ðàçðåøåíèå çàìåíû òèïà êëàññè÷åñêîãî ïåðåêðåñòêà ïðèâîäèò ê íåòðèâèàëüíîé òåîðèè ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ,ñì., íàïð., [KK℄. Åå ìîæíî îðìàëèçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Âìåñòî ëþáîãî êëàññè÷åñêîãî ïåðåêðåñòêà ïðîõîäà èëè ïåðåõîäà ìû èñïîëüçóåìîäèí òèï ïåðåêðåñòêà, íàçûâàåìûé ïëîñêèì (êëàññè÷åñêèì); îí èçîáðàæàåòñÿ îáûêíîâåííûì ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ëèíèé íà ïëîñêîñòè; êðîìå òîãî, ìûäîïóñêàåì âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè. Äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà äëÿ ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ èçîáðàæåíû íà ðèñ.
1.18.Ïðîñòåéøèé ïðèìåð ïëîñêîãî âèðòóàëüíîãî óçëà, êîòîðûé íå ìîæåò áûòüñâåäåí ê òðèâèàëüíîìó, èçîáðàæåí íà ðèñ. 1.19.Âèðòóàëüíûå óçëû ïîäíèìàþòñÿ íà óòîëùåííûå ïîâåðõíîñòè. Åñëè íåîáðàùàòü âíèìàíèå íà òî, êàêàÿ âåòâü âèðòóàëüíîãî óçëà â êëàññè÷åñêîìïåðåêðåñòêå ïðîõîäèò âûøå, à êàêàÿ íèæå (çàáûòü ïðî ñòðóêòóðó ïðîõîäîâ/ïåðåõîäîâ), ìû ïîëó÷èì åñòåñòâåííîå ïîäíÿòèå ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõóçëîâ íà äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè (óòîëùåíèå íå òðåáóåòñÿ); çäåñü ìû îïè-IF1.1. Ââåäåíèå26èñ. 1.18. Äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà äëÿ ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
