Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.19. Ïðîñòåéøèé íåòðèâèàëüíûé ïëîñêèé âèðòóàëüíûé óçåëøåì äðóãîé ñïîñîá ïîäíÿòèÿ, îòëè÷íûé îò îïèñàííîãî íà ñòð. 22.Ïîäíÿòèå ïðîèñõîäèò â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà ïî âèðòóàëüíîé äèàãðàììå Lìû ñòðîèì ïîâåðõíîñòü ñ êðàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì.  êàæäîì êëàññè÷åñêîì ïåðåêðåñòêå äèàãðàììû çàöåïëåíèÿ ìû ðàñïîëàãàåì êðåñò (âåðõíÿÿ÷àñòü ðèñ. 1.20), à â êàæäîì âèðòóàëüíîì ïåðåêðåñòêå ïàðó íåïåðåñåêà-1.1. Ââåäåíèå27þùèõñÿ ëåíò (íèæíÿÿ êàðòèíêà), ñð. [KK℄. Ñîåäèíÿÿ ýòè êðåñòû è ëåíòûëåíòàìè (íå ïåðåêðó÷åííûìè), èäóùèìè âäîëü äóã çàöåïëåíèÿ, ìû ïîëó÷àåì îðèåíòèðóåìîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì÷åðåç M ′ .¡ @¡¡ −→@@@¡¡¡¡@¡ @¡ @¡ ¡@ @¡@ ¡@@@¡@@ d¡@¡¡ @@¡¡−→@ @ ¡ ¡@¡ ¡¡ ¡@¡ ¡ @ @@@ ¡èñ.
1.20. Ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà ïîâåðõíîñòè M ′Åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðîåêöèÿ äèàãðàììû çàöåïëåíèÿ L îòîáðàæàåòñÿâ M ′ òàêèì îáðàçîì, ÷òî äóãè äèàãðàììû îòîáðàæàþòñÿ â ñðåäíèå ëèíèèëåíò, à êëàññè÷åñêèå (ïëîñêèå) ïåðåêðåñòêè ñîîòâåòñòâóþò ïåðåêðåñòêàìâíóòðè êðåñòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì íàáîð êðèâûõ δ ⊂ M ′ . Çàêëåèâàÿ äèñêàìè ãðàíè÷íûå êîìïîíåíòû ìíîãîîáðàçèÿ M ′ , ìû ïîëó÷àåìîðèåíòèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå M = M (L) áåç êðàÿ ñ íàáîðîì êðèâûõ δ ,ïîãðóæåííûõ â íåãî.Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê òåîðåìå, ñì. íàïð., [KK℄.Òåîðåìà 1.1.Ïëîñêèå âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ ýòî êëàññû ýêâèâà-ëåíòíîñòè êîíå÷íûõ íàáîðîâ îðèåíòèðîâàííûõ êðèâûõ â äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòÿõ, ðàññìîòðåííûõ ñ òî÷íîñòüþ äî ñâîáîäíîé ãîìîòîïèè, ñòàáèëèçàöèè è äåñòàáèëèçàöèè.Âîïðîñ î òîì, ÿâëÿþòñÿ ëè äâà òàêèõ çàäàíèÿ ïëîñêîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ýêâèâàëåíòíûìè â êàòåãîðèè ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ ëåãêîðàñïîçíàåòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè.
Âïåðâûå ýòî áûëî ñäåëàíî Á. àéíõàðòîì[Rein℄. Íèæå ìû ïðèâîäèì îäèí àëãîðèòì òàêîãî ðàñïîçíàâàíèÿ. Íàñòîÿùèé àëãîðèòì è åãî ñâÿçü ñ âèðòóàëüíûìè óçëàìè áûë ñîîáùåí àâòîðó1.1. Ââåäåíèå28Å.À.Êóäðÿâöåâîé. Çäåñü äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ïîäðàçóìåâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííîé, çàìêíóòîé è èìåþùåé êîíå÷íîå ÷èñëî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè (åñëèS íåñâÿçíà, òî îðèåíòèðîâàííîé ïðåäïîëàãàåòñÿ êàæäàÿ èç åå êîìïîíåíòñâÿçíîñòè).Îïðåäåëèì ýêâèâàëåíòíîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî ñâîáîäíîé ãîìîòîïèè è ñòàáèëèçàöèè áîëåå òî÷íî.Ïóñòü S ìíîæåñòâî âñåõ ïàð (M, δ), ãäå M ãëàäêàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ çàìêíóòàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü áåç êðàÿ (âîçìîæíî íåñâÿçíàÿ, íîñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñâÿçíûõ êîìïîíåíò), à δ íåóïîðÿäî÷åííîå êîíå÷íîåñåìåéñòâî çàìêíóòûõ êðèâûõ, ïîãðóæåííûõ â M .
 äàëüíåéøåì ìû áóäåìðàññìàòðèâàòü ëèøü ïîãðóæåíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ.Îïðåäåëèì êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå S ïîñðåäñòâîì ñëåäóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè:1. Åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðèçì M → M ′ , îòîæäåñòâëÿþùèé íàáîðûδ è δ ′ , òî äâå ïàðû (M, δ), (M ′ , δ ′ ) ýêâèâàëåíòíû,2. Äëÿ èêñèðîâàííîãî ìíîãîîáðàçèÿ M åñëè íàáîð êðèâûõ δ ñâîáîäíîãîìîòîïåí íàáîðó êðèâûõ δ ′ â M , òî ïàðû (M, δ) è (M, δ ′ ) ýêâèâàëåíòíû.3.
Åñëè N ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì, ïîëó÷åííûì èç M óäàëåíèåì äâóõäèñêîâ, íå ïåðåñåêàþùèõ êðèâûõ èç δ , è âêëåèâàíèåì îðèåíòèðîâàííûõ ðó÷åê íà èõ ìåñòî (ñòàáèëèçàöèÿ), òî ïàðû (M, δ) è (N, δ) ýêâèâàëåíòíû.4. Äëÿ êàæäîãî êîìïàêòíîãî çàìêíóòîãî îðèåíòèðîâàííîãî äâóìåðíîãîìíîãîîáðàçèÿ N ïàðû (M, δ) è (M ⊔ N, δ) ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.Åñòåñòâåííî, âìåñòå ñ êàæäûì ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ðàññìàòðèâàåòñÿ òàêæå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå; òàê, ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîåê ñòàáèëèçàöèè íàçûâàåòñÿ äåñòàáèëèçàöèåé. ï.4. ⊔ îçíà÷àåò íåñâÿçíóþ ñóììó ìíîãîîáðàçèÿ M (ñî âñåìè êðèâûìèèç íàáîðà δ íà ýòîì ìíîãîîáðàçèè) è ìíîãîîáðàçèÿ N (ñ ïóñòûì íàáîðîìêðèâûõ).1.1.
Ââåäåíèå29 äàëüíåéøåì òàêèå êîìáèíàòîðíûå îáúåêòû ïîíàäîáÿòñÿ íàì äëÿ ïîñòðîåíèÿ áîëåå ñèëüíûõ èíâàðèàíòîâ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (Ξ-ïîëèíîì, ñì.ãë. 4, ðàçäåë 4.2.2).Èäåÿ ðàñïîçíàâàíèÿ ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äåñòàáèëèçàöèÿ íå ïðåïÿòñòâóåò äâèæåíèÿì, óìåíüøàþùèì êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ è íàîáîðîò. Òàêèì îáðàçîì, óïðîùåíèå ìîæíî ïðîèçâîäèòü âëþáîì ïîðÿäêå.
Îïèøåì ýòî áîëåå ïîäðîáíî.àññìîòðèì ýëåìåíò (M, δ) ∈ S . Íàçîâåì äâóóãîëüíèêîì äâà îòðåçêàI1 , I2 êðèâûõ (èëè îäíîé êðèâîé) èç δ , òàêèå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå I1 ∩ I2 =∂I1 = ∂I2 ñîñòîèò èç äâóõ òî÷åê, ïðè ýòîì îáúåäèíåíèå I1 ∪ I2 îãðàíè÷èâàåò äèñê íà M . Ïîä ïåòëåé áóäåì ïîíèìàòü îòðåçîê êðèâîé èç íàáîðà δ ,êîíöåâûå òî÷êè êîòîðîãî ñîâïàäàþò, ïðè ýòîì îòðåçîê íå èìååò äðóãèõ òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, êðîìå êîíöåâûõ, à ïîëó÷èâøàÿñÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿîãðàíè÷èâàåò äèñê íà M .Àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó âîçìîæíîñòè äåñòàáèëèçèðîâàòü ïîâåðõíîñòü (óìåíüøèòü ðîä) ëèáî ê óìåíüøåíèþ êîëè÷åñòâà ïåðåñå÷åíèé ïîñðåäñòâîì ðàçâåäåíèÿ äâóóãîëüíèêà èëè óäàëåíèÿ ïåòëè, ñì.ðèñ.
1.21.  ñëó÷àå, êîãäà íè÷åãî èç âûøåïåðå÷èñëåííîãî ñäåëàòü íåâîçìîæíî, äèàãðàììà íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé.èñ. 1.21. Óäàëåíèå ïåòëè è ðàçâåäåíèå äâóóãîëüíèêàÌèíèìàëüíûå äèàãðàììû ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïîñëåäîâàòåëüíûìïðèìåíåíèåì òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, êîòîðîå íå ìåíÿåò íè ïîâåðõíîñòè, íè êîëè÷åñòâà ïåðåêðåñòêîâ. Ïîýòîìó ðàñïîçíàâàíèå äâóõ ýê-1.1. Ââåäåíèå30âèâàëåíòíûõ ìèíèìàëüíûõ äèàãðàìì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòóþ êîìáèíàòîðíóþ çàäà÷ó, êîòîðàÿ ðåøàåòñÿ ïåðåáîðîì.Òàêèì îáðàçîì, ïëîñêèå âèðòóàëüíûå óçëû íåòðèâèàëüíîå (íî ïîëíîñòüþ îïèñàííîå àëãîðèòìè÷åñêè) ïåðâîå ïðèáëèæåíèå âèðòóàëüíûõ óçëîâ,äîïóñêàþùåå íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.Ïàðàëëåëüíî òåîðèè óçëîâ ñòðîèòñÿ òåîðèÿ êîñ (âïåðâûå ïîíÿòèå ââåäåíî Ý.Àðòèíîì, [Art1℄).
Ïîä ãðóïïîé êîñ èç n íèòåé ïîíèìàåòñÿ óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà íåóïîðÿäî÷åííûõíàáîðîâ èç n ðàçëè÷íûõ òî÷åê íà êîìïëåêñíîé ïðÿìîé. Òàêèì îáðàçîì, äëÿçàäàíèÿ êîñû èç n íèòåé íóæíî çàäàòü çàìêíóòûé ïóòü â ýòîì êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, ò.å. îïèñàòü òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ íàáîðà n òî÷åêâî âðåìåíè òàê, ÷òîáû îíè â êîíå÷íûé ìîìåíò ïîïàëè íà ìåñòî èçíà÷àëüíûõ òî÷åê (â íåêîòîðîì ïîðÿäêå).
Ïðè ýòîì ïîðÿäîê òî÷åê íå èêñèðîâàí.Åñëè èêñèðîâàòü ïîðÿäîê òî÷åê, ìû ïðèäåì ê ïîíÿòèþ êðàøåíûõ êîñ.Êîñû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â ãëàäêîé èëè â êóñî÷íî-ëèíåéíîé êàòåãîðèè,ïðè ýòîì â ãëàäêîé êàòåãîðèè ñòàíäàðòíûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ñãëàæèâàíèå ïðè âçÿòèè îïåðàöèè ïðîèçâåäåíèÿ êîñ.Îáû÷íî çà òî÷êó îòñ÷åòà (â êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå) áåðóò íàáîð öåëûõ òî÷åê 1, . . . , n ∈ Z ⊂ C.Òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ îòäåëüíûõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íèòè êîñû. îìîòîïèÿ â ïðîñòðàíñòâå êîñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàäêóþ (êóñî÷íîëèíåéíóþ) äåîðìàöèþ âñåõ íèòåé áåç ïåðåñå÷åíèé.Ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííàÿ îïåðàöèÿ çàìûêàíèÿ êîñ: åñëè ñîåäèíèòü êàæäûé âåðõíèé êîíåö êîñû ñ åå ñîîòâåòñòâóþùèì íèæíèì êîíöîì, ìû ïîëó÷èì êîððåêòíî îïðåäåëåííûé êëàññ çàöåïëåíèÿ, ñì.
ðèñ. 1.22.Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè êîñ èìåþò åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó ãðóïïû.Ïàðàëëåëüíî ñ òåîðèåé âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñóùåñòâóåò òåîðèÿ âèðòóàëüíûõ êîñ, âïåðâûå ðàññìàòðèâàâøàÿñÿ â ðàáîòàõ Â.Â.Âåðøèíèíà, [Ver℄, Ñ.Êàìàäû, [Kam℄, ñì. òàêæå [Ìà3, KL, KL2℄. ðóïïà âèðòóàëüíûõ êîñ èç níèòåé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðóïïó ñ äâóìÿ ñåìåéñòâàìè îáðàçóþùèõ: n − 1êëàññè÷åñêèõ (êàê ó êëàññè÷åñêèõ êîñ) è n − 1 âèðòóàëüíûõ (êàê ó ãðóïïûïåðåñòàíîâîê); ñîîòíîøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò îáîáùåííûì äâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà (âñåì, êðîìå ïåðâîãî êëàññè÷åñêîãî Ω1 è ïåðâîãî âèðòóàëüíî-1.1.
Ââåäåíèå31èñ. 1.22. Çàìûêàíèå êîñûãî Ω′1 ) è äàëüíåé êîììóòàòèâíîñòè (ñì. äàëåå). Îíè ðàçäåëÿþòñÿ íà òðèãðóïïû: êëàññè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ (îòíîñÿùèåñÿ ê êëàññè÷åñêèì îáðàçóþùèì), ñîîòíîøåíèÿ ãðóïïû ïåðåñòàíîâîê (îòíîñÿùèåñÿ ê âèðòóàëüíûìîáðàçóþùèì) è ñìåøàííûå ñîîòíîøåíèÿ (ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëóâèðòóàëüíîìó äâèæåíèþ Ω′′3 ).Ïîäîáíî òîìó, êàê çàìûêàíèÿ êëàññè÷åñêèõ êîñ çàäàþò êëàññè÷åñêèåóçëû èëè çàöåïëåíèÿ, çàìûêàíèÿ âèðòóàëüíûõ êîñ äàþò âèðòóàëüíûå óçëû èëè çàöåïëåíèÿ.
Ïðè ýòîì òàêèå çàöåïëåíèÿ àâòîìàòè÷åñêè ÿâëÿþòñÿîðèåíòèðóåìûìè: îðèåíòàöèÿ íàñëåäóåòñÿ èç êîñû, åñëè âñå íèòè êîñû îðèåíòèðîâàòü ñâåðõó âíèç. Ïðèìåð âèðòóàëüíîé êîñû èçîáðàæåí íà ðèñ. 1.23.Èìååòñÿ ðÿä åñòåñòâåííûõ àñïåêòîâ òåîðèè êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõêîñ. Îòìåòèì íàèáîëåå âàæíûå èç íèõ.1. Ëþáîå îðèåíòèðîâàííîå êëàññè÷åñêîå çàöåïëåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî çàìûêàíèåì íåêîòîðîé êîñû. Ýòî äîêàçàíî â [Ale3℄.
Ëþáîå âèðòóàëüíîåîðèåíòèðîâàííîå çàöåïëåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî çàìûêàíèåì íåêîòîðîéâèðòóàëüíîé êîñû [Kam, Ver℄.2. Çàìûêàíèÿ èçîòîïíûõ (â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå) èëè ýêâèâàëåíòíûõ (ââèðòóàëüíîì ñëó÷àå) êîñ çàäàþò èçîòîïíûå (ýêâèâàëåíòíûå) çàöåïëåíèÿ.Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé.3. Äâå êëàññè÷åñêèå êîñû, èìåþùèå ýêâèâàëåíòíûå çàìûêàíèÿ, ïîëó-1.1. Ââåäåíèå32¢¢A c¢¢A¢ A¢AAA¢¢¢¢A¢¢A¢¢¢ A ¢A¢¢AAA ¢¢ AAA¢AA¢A¢ AAA¢AAèñ. 1.23.
Âèðòóàëüíàÿ êîñà÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì òàê íàçûâàåìûõäâèæåíèé Ìàðêîâà (Áèðìàí [Bir2℄, Ìîðòîí [Mor℄ è äð.), è ò.ä. Äâå âèðòóàëüíûå êîñû, èìåþùèå ýêâèâàëåíòíûå çàìûêàíèÿ, ïîëó÷àþòñÿ äðóã èçäðóãà ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì âèðòóàëüíûõ äâèæåíèé Ìàðêîâà(Ñ.Êàìàäà); äðóãîé íàáîð äîñòàòî÷íûõ äâèæåíèé ïðåäëîæåí Ë.Êàóìàíîìè Ñ.Ëàìáðîïóëó [KL℄.Âàæíîå ìåñòî ïðèíàäëåæèò ñëåäóþùèì âîïðîñàì.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
