Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Íàó÷íàÿ íîâèçíà381.5. Íàó÷íàÿ íîâèçíàÍàñòîÿùàÿ äèññåðòàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì äîñòàòî÷íî ïîëíûì ñèñòåìàòè÷åñêèì èññëåäîâàíèåì, öåëèêîì ïîñâÿùåííîì íîâîé áóðíî ðàçâèâàþùèìñÿâåòâÿì ìàëîìåðíîé òîïîëîãèè òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ è òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà.Âñå îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ äèññåðòàöèè, âûäâèãàåìûå íà çàùèòó, ÿâëÿþòñÿ íîâûìè.1.6. Ïîëîæåíèÿ äèññåðòàöèè, âûíîñèìûå íà çàùèòóÈç âòîðîé ãëàâû äèññåðòàöèè íà çàùèòó âûíîñèòñÿ ñëåäóþùåå ïîëîæåíèå:• Òåîðåìà î òîì, ÷òî ëþáàÿ ñâÿçíàÿ ñóììà äâóõ âèðòóàëüíûõ óçëîâíåòðèâèàëüíà, åñëè õîòÿ áû îäèí èç óçëîâ íåòðèâèàëåí (òåîðåìà 2.3).Èç òðåòüåé ãëàâû íà çàùèòó äèññåðòàöèè âûíîñèòñÿ• Ïîñòðîåíèå òåîðèè âèðòóàëüíûõ äëèííûõ óçëîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì íîâîé òåõíèêè äëèííûõ ãðóïïîèäîâ (òåîðåìà 3.14, â ÷àñòíîñòè, äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû â îáùåì ñëó÷àå íå êîììóòèðóþò,ñì. ñòð. 126).Èç ãëàâû 4 íà çàùèòó âûíîñèòñÿ:• Ïîñòðîåíèå èíâàðèàíòíîãî ïîëèíîìà Ξ (òåîðåìà 4.8), èññëåäîâàíèåñâîéñòâ ýòîãî ïîëèíîìà äëÿ îöåíêè ìèíèìàëüíîñòè íåêîòîðûõ äèàãðàììâèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Èç ãëàâû 5 íà çàùèòó âûíîñÿòñÿ ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ.• Ïîñòðîåíèå òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñ êîýèöèåíòàìè èç Z2 (òåîðåìà 5.1) è ïðîèçâîëüíûìè êîýèöèåíòàìè â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ (òåîðåìà 5.3).
Îáîáùåíèå êîíñòðóêöèè Õîâàíîâàðîáåíèóñîâûõ ðàñøèðåíèé äëÿ ïîëó÷åíèÿ òåîðèè ãîìîëîãèé âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé (òåîðåìû 5.9,5.10,5.11). Ïîñòðîåíèå çàòÿãèâàþùåãî äåðåâà äëÿêîìïëåêñà Õîâàíîâà. Ïðèìåíåíèå ãîìîëîãèé Õîâàíîâà ê îöåíêàì íà ìèíèìàëüíûé ðîä àòîìà è ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàììû (âèðòóàëüíîãî) çàöåïëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ìèíèìàëüíîñòè íåñêîëüêèõ áåñêîíå÷íûõ ñåðèé âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì.1.6. Ïîëîæåíèÿ äèññåðòàöèè, âûíîñèìûå íà çàùèòó39• Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ãëàâû 6 ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîëüöà êîýèöèåíòîâ ïî äèàãðàììå ïðîèçâîëüíîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ êîìïëåêñà, êîòîðûé â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå èìååò òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî è îáû÷íûé êîìïëåêñ Õîâàíîâà (òåîðåìû 6.3,6.4,6.5).Èç ãëàâû 8 íà çàùèòó âûíîñèòñÿ:• Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà î ðåàëèçóåìîñòè ñèíãóëÿðíûõ çàöåïëåíèé íà ïëîñêîñòè (òåîåðåìà 8.6).1.6.1.
Äðóãèå âàæíûå ðåçóëüòàòûÎòìåòèì òàêæå ðÿä íîâûõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â äèññåðòàöèè.• Òåîðåìà î òîì, ÷òî âèðòóàëüíûå óçëû àëãîðèòìè÷åñêè ðàñïîçíàâàåìû(òåîðåìà 2.6).• Ïîñòðîåíèå òåîðèè âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ, îïðåäåëåíèå ðÿäà èíâàðèàíòîâ, ñ íèìè ñâÿçàííûõ, è óñòàíîâëåíèå íåêîòîðûõ ñâîéñòâ ýòèõ èíâàðèàíòîâ (òåîðåìû 3.3,3.12).• Ïîñòðîåíèå èíâàðèàíòîâ âèðòóàëüíûõ è êëàññè÷åñêèõ óçëîâ ñî çíà÷åíèÿìè â (áåñêîíå÷íîìåðíûõ) àëãåáðàõ Ëè (òåîðåìà 3.16).• Ïîñòðîåíèå èíâàðèàíòîâ èåðàðõè÷åñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (òåîðåìà3.18).• Ïîñòðîåíèå èíâàðèàíòà âèðòóàëüíûõ êîñ, îáîáùàþùåãî îäèí ïîëíûéèíâàðèàíò êëàññè÷åñêèõ êîñ (ãëàâà 7).• Ïîñòðîåíèå íåñêîëüêèõ ñåðèé èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ èâèðòóàëüíûõ óçëîâ (òåîðåìà 8.4).1.6.2.
Ïðèìåðûåçóëüòàòû íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè ïîäêðåïëÿþòñÿ ïðèìåðàìè. Ïðèâåäåì îòäåëüíî ñïèñîê ïðèìåðîâ, ïîëó÷åííûõ àâòîðîì âïåðâûå:1.  [Man6℄ (ñì. ãëàâó 3 íà ñòð. 102) âïåðâûå óñòàíîâëåíà íåýêâèâàëåíòíîñòü ñâÿçíûõ ñóìì äâóõ òðèëèñòíèêîâ (âïåðâûå èçîáðàæåííûõ íà ñòð.51).2.
 ãëàâå 3 íà ñòð. 125 âïåðâûå ïðèâåäåí ïðèìåð íåêîììóòèðóåìîñòèäëèííûõ óçëîâ.1.7. Àïðîáàöèÿ äèññåðòàöèè. Ïóáëèêàöèè ïî òåìå äèññåðòàöèè403.  ãëàâå 3 íà ñòð. 144 àâòîðîì âïåðâûå ïîêàçàíà íåòðèâèàëüíîñòüèåðàðõè÷åñêîãî òðèëèñòíèêà è èåðàðõè÷åñêèõ êîëåö Áîððîìåî.4.  ãëàâå 5 íà ñòð. 263 ïðèâåäåíà áåñêîíå÷íàÿ ñåðèÿ ïðèìåðîâ ìèíèìàëüíûõ äèàãðàìì äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.
Ïîñòðîåíèå ýòèõ ïðèìåðîâ íå îïèðàåòñÿ íà ïîñòðîåíèå ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.5.  ãëàâå 5 íà ñòð. 215 ïðèâåäåí ïðèìåð âèðòóàëüíîãî óçëà, íå èìåþùåãî äèàãðàììû ñ íåîðèåíòèðóåìûì àòîìîì. Ýòîò ïðèìåð íå ðàñïîçíàåòñÿñêîáêîé Êàóìàíà, à ðàñïîçíàåòñÿ òîëüêî ãîìîëîãèÿìè Õîâàíîâà.Îòìåòèì òàêæå âàæíûå ïðèìåðû, ïðèíàäëåæàùèå äðóãèì àâòîðàì.Òàê, íà ðèñ. 3.19 íà ñòð. 114 èçîáðàæåí ïðèìåð .Ñàâîëëåêà, îáðàòèìîñòü êîòîðîãî ðàçëè÷àåòñÿ èíâàðèàíòîì ζ . Ýòîò èíâàðèàíò áûë íåçàâèñèìî îò àâòîðà (è íåñêîëüêî ðàíüøå) ïðåäëîæåí Ñàâîëëåêîì, Êàóìàíîìè ýäîðäîì, à òàêæå Ñèëüâåðîì è Óèëüÿìñ. Ñàâîëëåê ïîêàçàë, ÷òî ýòîòèíâàðèàíò ñâîäèòñÿ ê èíâàðèàíòàì Âàñèëüåâà ñèíãóëÿðíûõ óçëîâ. ãëàâå 8 ïîêàçàíî (òåîðåìà 8.7), ÷òî ó äëÿ êàæäîãî êîìïàêòíîãî âèðòóàëüíîãî óçëà K èìååòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ äëèííûõ óçëîâ,èìåþùèõ óçåë K â êà÷åñòâå çàìûêàíèÿ.
Ýòîò ðåçóëüòàò (íà äðóãèõ ïðèìåðàõ) áûë íåñêîëüêî ðàíåå ïîëó÷åí Ä.Ñèëüâåðîì è Ñ.Óèëüÿìñ.1.7. Àïðîáàöèÿ äèññåðòàöèè. Ïóáëèêàöèè ïî òåìå äèññåðòàöèèÂñå îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ äèññåðòàöèè, âûäâèãàåìûå íà çàùèòó, îïóáëèêîâàíû â êíèãàõ àâòîðà [Ìà1, Man1℄, ñòàòüÿõ [Ìà2, Ìà3, Ìà4, Ìà5, Ìà6,Ìà7, Ìà8, Ìà9, Ìà10, Ma11, Ma12, Ma13, Ma14, Ìà15, Man2, Man3, Man4,Man5, Man6, Man7, Man8, Man9℄, à òàêæå ñîâìåñòíûõ ñòàòüÿõ [KM1, KM2℄. ðàáîòå [KM1℄ àâòîðó ïðèíàäëåæèò ïîñòðîåíèå âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâè áèãðóïïîèäîâ, áèãðóïïîèäîâ, ñâÿçàííûõ ñ äëèííûìè âèðòóàëüíûìè óçëàìè, èíâàðèàíòîâ óçëîâ ñî çíà÷åíèÿìè â áåñêîíå÷íîìåðíûõ àëãåáðàõ Ëè. ðàáîòå [KM2℄ àâòîðó ïðèíàäëåæàò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îá àëãîðèòìè÷åñêîé ðàñïîçíàâàåìîñòè âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé è î íåòðèâèàëüíîñòèñâÿçíîé ñóììû íåòðèâèàëüíûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ. ñïèñêå ëèòåðàòóðû âñòðå÷àþòñÿ äðóãèå ðàáîòû àâòîðà; îíè äîáàâëåíû1.8.
Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè41äëÿ ïîëíîòû áèáëèîãðàèè.1.8. Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç 8 ãëàâ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû. ëàâà ïåðâàÿ ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèåì.  íåé ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è èçâåñòíûåàêòû èç òåîðèè óçëîâ, ïåðå÷èñëÿþòñÿ îñíîâíûå äîñòèæåíèÿ äèññåðòàöèè,âûíîñèìûå íà çàùèòó.ëàâà âòîðàÿ ïîñâÿùåíà ìåòîäàì òðåõìåðíîé òîïîëîãèè â òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Äîêàçàíû äâå òåîðåìû: îá àëãîðèòìè÷åñêîé ðàñïîçíàâàåìîñòè âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé è î íåòðèâèàëüíîñòè ñâÿçíîé ñóììû íåòðèâèàëüíûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èíâàðèàíòàì âèðòóàëüíûõ óçëîâ è çàöåïëåíèé,ñâÿçàííûõ ñ äèñòðèáóòèâíûì ãðóïïîèäîì è ðàçëè÷íûìè åãî îáîáùåíèÿìè.Öåíòðàëüíûì â òðåòüåé ãëàâå ÿâëÿåòñÿ ïðåäëîæåííàÿ àâòîðîì òåîðèÿèíâàðèàíòîâ äëèííûõ óçëîâ è ïîíÿòèå äëèííîãî ãðóïïîèäà.×åòâåðòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ èíâàðèàíòîâ, ñâÿçàííûõ ñî ñêîáêîé Êàóìàíà.
Ïîñòðîåíû ðàçëè÷íûå èíâàðèàíòû âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ñâÿçàííûå ñî ñêîáêîé Êàóìàíà. ÷åòâåðòîé ãëàâå ïîñòðîåí èíâàðèàíò Ξ, êîòîðûé ïðèâîäèò (ñì. ãë. 8)ê òðåõïàðàìåòðè÷åñêîé ñåðèè èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ïÿòîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ äëÿ ìíîãèõ âàæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ(îðèåíòèðóåìûå àòîìû, êîýèöèåíòû Z2 ), ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòîâ ïðîèçâîëüíûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé èãîìîëîãèé Õîâàíîâà, à òàêæå äîêàçàòåëüñòâî ðÿäà òåîðåì ìèíèìàëüíîñòè(ïî êîëè÷åñòâó êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Øåñòàÿ ãëàâà öåíòðàëüíàÿ â íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà ïîñòðîåíèþ òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà ñ ïðîèçâîëüíûìè êîýèöèåíòàìèäëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (à òàêæå ñêðó÷åííûõ óçëîâ).
 íåé ïîñòðîåí êîìïëåêñ, èìåþùèé òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî è êîìïëåêñ Õîâàíîâà â ñëó÷àå êëàñ-1.8. Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè42ñè÷åñêèõ çàöåïëåíèé, à òàêæå âî âñåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, îïèñàííûõ â ãëàâå5. Ìíîãèå ïðèëîæåíèÿ èç ãëàâû 5 äîïóñêàþò îáîáùåíèå íà ïðîèçâîëüíûåâèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ ïîñðåäñòâîì êîíñòðóêöèè, ïðåäëîæåííîé â ãëàâå6.Ñåäüìàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà âèðòóàëüíûì êîñàì: â íåé ïîñòðîåí èíâàðèàíòâèðòóàëüíûõ êîñ, ÿâëÿþùèéñÿ îáîáùåíèåì ïîëíîãî èíâàðèàíòà êëàññè÷åñêèõ êîñ.Âîñüìàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èíâàðèàíòàì Âàñèëüåâà. Îñíîâíûìè ðåçóëüòàòàìè ÿâëÿþòñÿ: ïîñòðîåíèå áåñêîíå÷íûõ ñåðèé èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâàâèðòóàëüíûõ óçëîâ, à òàêæå äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà î ïëàíàðíîñòè ÷åòûðåõâàëåíòíûõ ãðàîâ ñ êðåñòîâîé ñòðóêòóðîé, íå èìåþùèõïàðû öèêëîâ ñ ðîâíî îäíîé òî÷êîé òðàíñâåðñàëüíîãî ïåðåêðåñòüÿ.Îáúåì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 387 ñòðàíèö.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò 204 íàèìåíîâàíèÿ.åçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà:• Ìåæäóíàðîäíîì ìàòåìàòè÷åñêîì êîíãðåññå-2002, Ïåêèí.• Ìåæäóíàðîäíîì ìàòåìàòè÷åñêîì êîíãðåññå-2006, Ìàäðèä.• Ìåæäóíàðîäíîé ðîññèéñêî-ðàíöóçñêîé êîíåðåíöèè Autour des tresses,Ìîñêâà, 2002.• Êîíåðåíöèè Knots in Poland, Âàðøàâà-Áåäëåâî, 2003, äâà äîêëàäà.• Êîíåðåíöèè, ïîñâÿùåííîé ñòîëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ Ë.Â.Êåëäûø,Ìîñêâà, 2004 (ïðèãëàøåííûé äîêëàä),• Êîíåðåíöèè Categoriation in algebra and topology, Uppsala, Øâåöèÿ, 2006,• Êîíåðåíöèè Algebrai Topology: Old and New, ïîñâÿùåííîé 80-ëåòèþñî äíÿ ðîæäåíèÿ Ì.Ì.Ïîñòíèêîâà, Áåäëåâî, Ïîëüøà, èþíü 2007.• Êîíåðåíöèè Topology and Physis In Memory of Xiao-Song Lin,Òÿíüöçèíü, Êèòàé, èþëü 2007.à òàêæå íà ñåìèíàðàõ:• ñåìèíàðå Óçëû è äèñêðèìèíàíòû àêàä.
Â.À.Âàñèëüåâà (Íåçàâèñèìûéìîñêîâñêèé óíèâåðñèòåò, 2002, äâàæäû â 2004).• Ñåìèíàðå êàåäðû äèåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé, ðóê.àêàä. À.Ò.Ôîìåíêî, ÌÓ, 2004, 2006, 2007 - ìíîãîêðàòíî.1.8. Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè43• Ñåìèíàðå Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû ïîä ðóê.
àêàäÀ.Ò.Ôîìåíêî, ïðî. À.Ñ.Ìèùåíêî, ïðî. À.Â.Áîëñèíîâà, ÌÓ (2002,2003).• ñåìèíàðå ïî àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè ïðî. Â.Ì.Áóõøòàáåðà è ïðî.À.Â.×åðíàâñêîãî (ÌÓ, â 2005 òðèæäû, 2007).• ñåìèíàðå ïîä ðóêîâîäñòâîì àêàä. Î.Á.Ëóïàíîâà, ÌÓ, 2003, 2005.• ñåìèíàðå èì. Ï.Ñ.Àëåêñàíäðîâà, ÌÓ, ðóê. ïðî. Â.Â.Ôåäîð÷óê, 2004.• ñåìèíàðå ïî òåîðèè îñîáåííîñòåé àêàä. Â.È.Àðíîëüäà, àêàä. Â.À.Âàñèëüåâà,Â.Ì.Çàêàëþêèíà, Ñ.Ì.óñåéí-Çàäå (ÌÓ, 2005).• ñåìèíàðå ïðî. À.Ñ.Ìèùåíêî, È.Ê.Áàáåíêî, Å.Â.Òðîèöêîãî, Â.Ì.Ìàíóéëîâà(ÌÓ, 2007, äâàæäû).• ñåìèíàðå ïðî.
Î.Ì.Êàñèì-Çàäå (2003).• Ïåòåðáóðãñêîì ãîðîäñêîì òîïîëîãè÷åñêîì ñåìèíàðå èì. Â.À. îõëèíà,ðóê. ïðî. Í.Þ.Íåöâåòàåâ è ïðî. Â.Ì.Íåæèíñêèé (2005, äâàæäû).• ñåìèíàðå Ìîñêâà-Ïåòåðáóðã (Ñ.-Ïåòåðáóðã, ïðî. Ñ.Â.Äóæèí, 2005).• ñåìèíàðå ïðî. Â.Ì.Íåæèíñêîãî (Ñ.-Ïåòåðáóðã, 2005).• ñåìèíàðå ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðî. Ñ.Ñ.ûøêîâà, Í.Ï.Äîëáèëèíà,Í..Ìîùåâèòèíà, ÌÓ, 2004.• ñåìèíàðàõ â Ruhr-Universitat Bohum (Hubert Flenner, Uwe Abresh),2002.• ñåìèíàðå â Alfred Renyi Intezet, Budapest (Andras Szus), 2005.• ñåìèíàðå Î.ß.Âèðî (Uppsala Universitetet), ìíîãîêðàòíî â 2006.ëàâà 2Âèðòóàëüíûå óçëû è òðåõìåðíàÿ òîïîëîãèÿÒðåõìåðíàÿ òîïîëîãèÿ èãðàåò âàæíóþ ðîëü â êëàññè÷åñêîé òåîðèè óçëîâ. Ñàìûìè ïåðâûìè èíâàðèàíòàìè êëàññè÷åñêèõ óçëîâ è çàöåïëåíèéáûëè òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû, ñâÿçàííûå ñ äîïîëíåíèåì ê òðóá÷àòîéîêðåñòíîñòè çàöåïëåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
