Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов, страница 6

ðóïïà êëàññè÷åñêèõ êîñ åñòåñòâåííî âëîæåíà â ãðóïïó âèðòóàëüíûõêîñ. Âïåðâûå ýòîò àêò áûë äîêàçàí Ôåííîì, èìàíüè è óðêîì â [FRR℄, âíàñòîÿùåé äèññåðòàöèè â ãëàâå 7 ìû ïðèâîäèì äîêàçàòåëüñòâî, îñíîâàííîåíà èíâàðèàíòå F [Ìà3℄, ïîñòðîåííîì àâòîðîì.Îòìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå î âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè åñòåñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ â ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ íå ýêâèâàëåíòíî àíàëîãè÷íîìó âîïðîñó î êîñàõ.

Áîëåå òîãî,íèêàêîå èç ýòèõ äâóõ óòâåðæäåíèé íå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì äðóãîãî.5. Êëàññè÷åñêèå êîñû äîïóñêàþò ìíîæåñòâî àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ,ñì., íàïð.,[Art1, Deh1℄, ÿâíî îïèñûâàåìûå ïîëíûå èíâàðèàíòû, à òàêæåòî÷íûå êîíå÷íîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ [Big1, Kra℄. Êðîìå òîãî, äëÿ êëàññè÷åñêîé ãðóïïû êîñ èç ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà íèòåé ïîëîæèòåëüíî ðåøàåòñÿïðîáëåìà ñîïðÿæåííîñòè [Gar℄. Àëãîðèòì Äåîðíóà ïðèâîäèò ê óïîðÿäî÷å-1.2. Ìîòèâàöèÿ33íèþ êëàññè÷åñêèõ êîñ, ñì. [Deh1, MN℄.Äëÿ ñëó÷àÿ âèðòóàëüíûõ êîñ àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ ïîñòðîåí Â.. Áàðäàêîâûì ïîñðåäñòâîì ïðèâåäåíèÿ êîñ ê íîðìàëüíîé îðìå, ñì. [Bar℄.Àâòîðîì íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè ïîñòðîåí èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ,ÿâëÿþùèéñÿ îáîáùåíèåì îäíîãî ïîëíîãî èíâàðèàíòà êëàññè÷åñêèõ êîñ. ßâëÿåòñÿ ëè ýòîò èíâàðèàíò ïîëíûì, äî ñèõ ïîð íåèçâåñòíî.Ê íàñòîÿùåìó ìîìåíòó íå ðåøåíà ïðîáëåìà ñîïðÿæåííîñòè äëÿ âèðòóàëüíûõ êîñ, à òàêæå îòêðûò âîïðîñ î òîì, ÿâëÿþòñÿ ëè ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ ëèíåéíûìè.6.

Òàêæå àêòóàëåí âîïðîñ ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòîâ óçëîâ ïîñðåäñòâîìêîñ.  êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ïîñòðîåíèþ òàêèõ èíâàðèàíòîâ ïîëîæèë íà÷àëî Â.Äæîíñ [Jon2℄, ïîñòðîèâøèé èíâàðèàíò çàöåïëåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåìòåîðåìû Ìàðêîâà.  äàëüíåéøåì ýòî ïðèâåëî ê òåîðèè êâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ. Òåîðèÿ êâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ âèðòóàëüíûõóçëîâ äî êîíöà íå ïîñòðîåíà; âàæíûì ïðåïÿòñòâèåì äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîéòåîðèè ÿâëÿåòñÿ ïåðâîå âèðòóàëüíîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà Ω′1 . Åñëè èñêëþ÷èòü ýòî äâèæåíèå èç ñïèñêà, ìû ïîëó÷èì òåîðèþ æåñòêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, íà êîòîðûå ïðîäîëæàþòñÿ âñå êâàíòîâûå èíâàðèàíòû êëàññè÷åñêèõ óçëîâ (òåîðåìà Êàóìàíà èç ðàáîòû [Kau7℄).

Òåîðèÿ æåñòêèõ óçëîâÿâëÿåòñÿ áîëåå òî÷íûì ïðèáëèæåíèåì ê òåîðèè êëàññè÷åñêèõ óçëîâ, ÷åìòåîðèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.1.2. ÌîòèâàöèÿÎñíîâíûìè òåìàìè äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ âèðòóàëüíûå óçëû è ãîìîëîãèè Õîâàíîâà.Âèðòóàëüíûå óçëû ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ ïî ñëåäóþùèì ïðè÷èíàì.1. ßâëÿÿñü êëàññè÷åñêèìè îáúåêòàìè òðåõìåðíîé òîïîëîãèè (óçëû âóòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ, ðàññìàòðèâàåìûå ñ òî÷íîñòüþ äî ñòàáèëèçàöèè), îíè äîïóñêàþò èññëåäîâàíèå îáúåêòîâ òðåõìåðíîé òîïîëîãèè ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìáèíàòîðíîé òåõíèêè (ïëîñêèõ äèàãðàìì ñ ïðîõîäàìèïåðåõîäàìè, ãàóññîâûõ äèàãðàìì). Îíè òàêæå äàþò ïîäõîä ê èçó÷åíèþòðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé ñ êîíè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè (âèðòóàëüíûå òðåõ-1.2.

Ìîòèâàöèÿ34ìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ [DK1℄), à òàêæå ê óçëàì â òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ. Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ òåîðåìà î âèðòóàëüíûõ óçëàõ (äîêàçàííàÿ, íàïðèìåð, êîìáèíàòîðíûìè ìåòîäàìè ñ èñïîëüçîâàíèåì ïëîñêèõ äèàãðàìì)ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé îá óçëàõ â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ âèäà Sg × I â ñèëóòåîðåìû Êóïåðáåðãà [Kup℄ (ñì. ãë. 2).2. Äîêàçàòåëüñòâî íåêîòîðûõ êëàññè÷åñêèõ òåîðåì èñïîëüçóåò âèðòóàëüíûå óçëû. Ê òàêîâûì îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, òåîðåìà óñàðîâà [GPV℄ î ñóùåñòâîâàíèè êîìáèíàòîðíûõ îðìóë òèïà Âèðî-Ïîëÿêà [PV℄ äëÿ âû÷èñëåíèÿèíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ.  ýòèõ îðìóëàõ ïîÿâëÿþòñÿíåðåàëèçóåìûå ãàóññîâû äèàãðàììû, ò.å. âèðòóàëüíûå óçëû.3. Òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà óçëîâ â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì èäåé òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñì.

ãëàâû 5,6 íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè).4. Çàäà÷à î ïëàíàðíîñòè ãðàîâ ñ êðåñòîâîé ñòðóêòóðîé (ïðîèñõîäÿùàÿèç òåîðèè èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ) ðåøàåòñÿ ìåòîäàìè,çàèìñòâîâàííûìè èç òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ (àòîìû, d-äèàãðàììû èäð), ïîäðîáíåå ñì. ãëàâó 8.5. Âèðòóàëüíûå óçëû (è óçëû â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ Sg × I ) ñòèìóëèðóþò ðàçâèòèå è èçó÷åíèå ðàçëè÷íûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñòðóêòóð. Ê òàêîâûì îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, áèàëãåáðà Ëè îëäìàíà-Òóðàåâà, [Tur5, Gold℄è òåîðèÿ âèðòóàëüíûõ ñòðóí, ñì. [Tur4℄.6. Íåêîòîðûå èíâàðèàíòû âèðòóàëüíûõ óçëîâ, îãðàíè÷åííûå íà ìíîæåñòâî êëàññè÷åñêèõ óçëîâ, ñîâïàäàþò ñ õîðîøî èçâåñòíûìè êëàññè÷åñêèìèèíâàðèàíòàìè (ñì. ðàáîòû [Ìà7, Ìà8, DK1, DK2℄, îáîáùàþùèìè ïîëèíîìÄæîíñà, óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû, äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà è êâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ çàöåïëåíèé). Ýòè èíâàðèàíòû îñâåùàþò íåêîòîðûå âàæíûå åíîìåíû òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðûõ â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå äî ñèõ ïîð ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé ïðîáëåìîé: òàê, íàïðèìåð,ñóùåñòâóåò âèðòóàëüíûé óçåë K , èìåþùèé ãðóïïó, èçîìîðíóþ ãðóïïåZ, ïîëèíîì Äæîíñà êîòîðîãî íåòðèâèàëåí (íå ðàâåí 1).

Ýòîò åíîìåí ïîêàçûâàåò, ÷òî óçåë K íå ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì, à òàêæå óêàçûâàåò íàñëîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ ïîëèíîìà Äæîíñà ïî òîïîëîãè÷åñêèì èíâàðèàíòàìóçëîâ â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå.1.2. Ìîòèâàöèÿ35Ñèñòåìàòè÷åñêèé ïîèñê âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñ òðèâèàëüíûì ïîëèíîìîìÄæîíñà è ïîïûòêà âûÿâèòü ñðåäè íèõ êëàññè÷åñêèå ÿâëÿåòñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ïîäõîäîì [FKM℄ ê êëàññè÷åñêîé äàâíî ñòîÿùåé çàäà÷å, êîòîðàÿ äîñèõ ïîð íå ðåøåíà, à ñ äðóãîé ñòîðîíû ñòèìóëèðóåò ïîñòàíîâêó íîâûõ çàäà÷î âèðòóàëüíûõ óçëàõ è, ñëåäîâàòåëüíî, îá óçëàõ â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ.Äðóãàÿ òàêàÿ çàäà÷à âîïðîñ î ðàñïîçíàâàíèè èíâàðèàíòàìè Âàñèëüåâàîáðàòèìîñòè óçëîâ äî ñèõ ïîð íå ðåøåíà â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå, íî ëåãêîðåøàåòñÿ â âèðòóàëüíîì ñëó÷àå.7.

 çàäà÷å ðàñïîçíàâàíèÿ ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ âàæíóþ ðîëü èãðàþò èëàìåíòàöèè (ñì. ðàáîòû Ä. Õðåíñåñèíà è Ë. Êàóìàíà [H, HK℄).Ýòî ïîíÿòèå áûëî èçíà÷àëüíî ââåäåíî Ñ.Êàðòåðîì [Car℄ äëÿ èçó÷åíèÿ âîïðîñà, êîãäà èììåðñèðîâàííàÿ â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî êðèâàÿ îãðàíè÷èâàåò äèñê, ïîãðóæåííûé â ýòî ïðîñòðàíñòâî. Òàêèì îáðàçîì, èçó÷åíèåïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ äàåò (÷àñòè÷íûé) îòâåò íà âîïðîñû î ïîãðóæåíèÿõ.8.

Âèðòóàëüíûå óçëû ñòèìóëèðóþò ðàçâèòèå íîâûõ òåîðèé, íàïð., òåîðèÿ âèðòóàëüíûõ ãðàîâ Á.Ìåëëîðà è Ò.Ôëåìèíãà [FM℄; â ýòîé ðàáîòåïðèâîäÿòñÿ îáîáùåíèÿ ìåòîäà âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ, ïðåäëîæåííîãî âíàñòîÿùåé äèññåðòàöèè.9.  äèññåðòàöèè (ãëàâû 4,5,6,8) óñòàíîâëåí åäèíûé ïîäõîä ê òåîðèèâèðòóàëüíûì è êëàññè÷åñêèì óçëàì ïîñðåäñòâîì àòîìîâ. Ñ òî÷êè çðåíèÿàòîìîâ è ãàóññîâûõ äèàãðàìì, à òàêæå íåêîòîðûõ èíâàðèàíòîâ (ñêîáêà Êàóìàíà, èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà, ãîìîëîãèè Õîâàíîâà) êëàññè÷åñêèå óçëûåñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîñòàâíóþ ÷àñòü ìíîæåñòâà âèðòóàëüíûõóçëîâ.10.

 ðàáîòàõ [ZZ1, ZZ2℄ õîðîøî èçâåñòíûå ìåòîäû ïåðå÷èñëåíèÿ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ ïîñðåäñòâîì ãàóññîâûõ èíòåãðàëîâ íàøëè ñâîå ïðèìåíåíèå äëÿ ïåðå÷èñëåíèÿ àëüòåðíèðîâàííûõ äèàãðàìì âèðòóàëüíûõ óçëîâ,êîòîðûå âîçíèêàþò åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðè ïåðå÷èñëåíèè íåïëîñêèõ ÷åòûðåõâàëåíòíûõ ãðàîâ.1.3. Öåëè èññëåäîâàíèÿ361.3. Öåëè èññëåäîâàíèÿÏîñòðîèòü òåîðèþ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Èçó÷èòüñâîéñòâà ãîìîëîãèé Õîâàíîâà êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ óçëîâ ïðèìåíèòåëüíî ê îöåíêàì õàðàêòåðèñòèê óçëîâ (ñëîæíîñòü è äð).Âûÿâèòü åíîìåíû òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ, êîòîðûå íå èìåþò ìåñòàäëÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ.Ñ ïîìîùüþ íîâûõ è óæå èìåþùèõñÿ èíâàðèàíòîâ âèðòóàëüíûõ óçëîâîïðåäåëÿòü èõ íåêëàññè÷íîñòü.Âûÿñíèòü ñâÿçü ìåæäó èíâàðèàíòàìè Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Äîêàçàòü ãèïîòåçó Âàñèëüåâà î ïëàíàðíîñòè ãðàîâ ñ êðåñòîâîé ñòðóêòóðîé.Ïîñòðîèòü òåîðèþ èíâàðèàíòîâ äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Ïîñòðîèòü èíâàðèàíòû âèðòóàëüíûõ êîñ è âûÿâèòü èõ ñâÿçü ñ êëàññè÷åñêèìè êîñàìè.Äîêàçàòü àëãîðèòìè÷åñêóþ ðàñïîçíàâàåìîñòü âèðòóàëüíûõ óçëîâ.1.4.

Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿÎäíèì èç îñíîâíûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòàííûé àâòîðîì ìåòîä êîäèðîâàíèÿ óçëîâ è âèðòóàëüíûõóçëîâ ïîñðåäñòâîì òàê íàçûâàåìûõ àòîìîâ (À.Ò.Ôîìåíêî, [F℄) (à òàêæåd-äèàãðàìì äëÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ). Àòîìû áûëè âïåðâûå ïðåäëîæåíûÀ.Ò.Ôîìåíêî äëÿ êëàññèèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåììàëîé ñëîæíîñòè, è â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàëèñü àâòîðîì ïðè ðåøåíèèðàçëè÷íûõ çàäà÷ òåîðèè êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Òàê, ìåòîäàòîìîâ èñïîëüçîâàí àâòîðîì ïðè ïîñòðîåíèè òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâàâèðòóàëüíûõ óçëîâ. Ýòîò ìåòîä òàêæå øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â ïðîáëåìàõðàñïîçíàâàíèÿ ìèíèìàëüíîñòè äèàãðàìì êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé è ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü åäèíóþ òî÷êó çðåíèÿ íà âñå âèðòóàëüíûåóçëû, íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèå óçëû.

Êàêîêàçàëîñü, ðîä àòîìà, òåñíî ñâÿçàííûé ñ òîëùèíîé ãîìîëîãèé Õîâàíîâà(ñì. ãë. 5) òàêæå äàåò îöåíêè äëÿ ãîìîëîãèé Îæâàòà-Ñàáî [Low℄.1.4. Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ37Êðîìå ñàìèõ àòîìîâ, äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà ñ ïðîèçâîëüíûìè êîýèöèåíòàìè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ â ãëàâå 6 ïîòðåáîâàëîñü èñïîëüçîâàòü íàáîð íîâûõ èäåé: ñêðó÷åííûå êîýèöèåíòû, âçÿòèå âíåøíåãî ïðîèçâåäåíèÿ âìåñòî ñèììåòðè÷åñêîãî è çàìåíàáàçèñà â àëãåáðå Ôðîáåíèóñà. ãëàâàõ 4, 5 è 6 èñïîëüçîâàëèñü òàêæå ñòàíäàðòíûå ìåòîäû, èñïîëüçóåìûå â òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà: ìåòîä ñîêðàùåíèÿ äëÿ êîìïëåêñîâ, ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî äåðåâà Òèñòëòóýéòà (Âåðëè-Êîìàíà×àìïàíåðêàðà) òåîðèè äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ àâòîðîì ïðåäëîæåí ìåòîä äëèííûõ ãðóïïîèäîâ; ñ ïîìîùüþ ýòîãî ìåòîäà ðåøåíà ïðîáëåìà íåêîììóòèðóåìîñòè âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Òàêæå â äèññåðòàöèè èñïîëüçîâàëèñü êëàññè÷åñêèå ìåòîäû è èõ îáîáùåíèÿ.

Òàê, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà àëãîðèòìè÷åñêîé ðàñïîçíàâàåìîñòè âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, à òàêæå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåòðèâèàëüíîñòè ñâÿçíîéñóììû âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé áûëè èñïîëüçîâàíû ìåòîäû òðåõìåðíîéòîïîëîãèè òåîðèÿ Õàêåíà-Õåìèîíà-Ìàòâååâà â ñî÷åòàíèè ñî ñòðóêòóðíîé òåîðåìîé Êóïåðáåðãà î åäèíñòâåííîñòè ìèíèìàëüíîãî ïðåäñòàâèòåëÿçàäàííîãî êëàññà âèðóòàëüíûõ çàöåïëåíèé.Ïðè ïîñòðîåíèè ðàçëè÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ èíâàðèàíòîâ âèðòóàëüíûõóçëîâ àâòîðîì ïðåäëîæåíî ðàññìàòðèâàòü äîïîëíèòåëüíóþ àëãåáðàè÷åñêóþñòðóêòóðó â âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ.Îòìåòèì, ÷òî â äèññåðòàöèè, ïîìèìî ïðåäëîæåííûõ àâòîðîì íîâûõ ìåòîäîâ, ïðèìåíÿþòñÿ òàêæå ïðàêòè÷åñêè âñå îñíîâíûå íàïðàâëåíèÿ, èñïîëüçîâàâøèåñÿ äðóãèìè àâòîðàìè ïðè èññëåäîâàíèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ:ìåòîäû òðåõìåðíîé òîïîëîãèè, àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû, ñâÿçàííûå ñ äèñòðèáóòèâíûì ãðóïïîèäîì è åãî îáîáùåíèÿìè, ðàçëè÷íûå ïîëèíîìèàëüíûåèíâàðèàíòû, â òîì ÷èñëå ìàòðè÷íûå, îðìàëüíî êîìáèíàòîðíûå, ìåòîäûòåîðèè âèðòóàëüíûõ êîñ è äð.ß ãëóáîêî ïðèçíàòåëåí Ëóèñó Õèðøó Êàóìàíó, Âèêòîðó Àíàòîëüåâè÷ó Âàñèëüåâó, Àíàòîëèþ Òèìîååâè÷ó Ôîìåíêî è Ìèõàèëó Õîâàíîâó çàïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå è ìíîãî÷èñëåííûå ïëîäîòâîðíûå êîíñóëüòàöèè.1.5.