Диссертация (Быстрые и точные алгоритмы расчета сигналов оптико-электронной системы дистанционного зондирования из космоса), страница 9

При увеличении количества ординат MDOMможно считать точным решением УПИ, однако для достижения необходимойточности данной программе необходимо около 30 минут. Это наводит намысль, что традиционные методы решения УПИ в известном представленииисчерпали себя и нуждаются в глубоком пересмотре. Также необходимопринимать во внимание неоднородность среды, которая закладывается вматематическую модель в виде совокупности однородных слоев с различнымипараметрами, что, очевидно, будет увеличивать время счета.

Этот случайвызывает отдельный интерес с точки зрения КГ – представляется, чтоподповерхностноеотражениедолжностратифицированной системе слоев.47описываться,какпереносв2.2. Многослойные средыУчет в модели 3М эффектов переноса, обусловленных горизонтальнойнеоднородностью среды на сегодняшний день имеет еще много вопросов ипроблем.

Сравнительно проще можно учесть вертикальную неоднородность,которая имеет место даже в чистой атмосфере. Для этого плоский слойразбивается на два (или более) смежных с разными параметрами среды.Рассмотрим случай двухслойной среды из двух смежных слоев1T1  C   ,R1+  C1 C1   J1   R1 1 1C   J   T1+2T2  C   ,R 2  C2 C2   J2   R 2 2    2  C   J   T2(2.22)где нижний индекс определяет принадлежность верхнему (1) или нижнему (2)слою.

Вертикальными стрелками обозначено падающее сверху или снизу наслой излучение.Выражая отраженное C1 и прошедшее C 2 излучение через падающее насистему C1 и C2 , получим:C1  J1  T1 1  R 2 R 1  R1  T1 1  R 2 R11  RC2  T2 1  R1 R 2 T21 R 2 111R 2 J1  T1 1  R 2 R 111J 2R 2 T1  C1  T1 1  R 2 R 1J1  T2 1  R1 R 211(2.23)2T2 C ,R1 J 2  J 2T1 C1   R 2  T2 1  R1 R 21R 1 T2  C2 .(2.24)Введем следующие обозначения1   1  R 2 R1  ,  2   1  R1 R 2  .11Это приведет (2.23) и (2.24) к матричному виду112C1   J  T1 1 R 2 J  J  2  122C  T2  2 J  R1 J  J48(2.25)R  T  R T  1 1 1 2 1T2  2 T1 C1 T1 1 T2  .R 2  T2  2 R1 T2  C2 (2.26)Таким образом, мы получили выражение для системы, эквивалентноевыражениям для каждого из слоев, но с эффективными параметрами, которыевыражаются через параметры каждого из слоев.

Это получило названиематрично-операторного метода [Plass et al., 1973].Очевидно, что при переходе к системе, где один слой бесконечно тонкий,а второй – полубесконечный, мы должны прийти к уравнению В.А.Амбарцумяна. Рассмотрим интегральное уравнение Пайерлса, для чегозапишем формальное решение УПИ, считая интеграл рассеяния известнойфункцией. Для случая ПМ-источника: ˆ     ( t ) ex(ˆl, ˆl) L(t , ˆl) dˆldt ,   0, L (l )e 40L( , ˆl )  0 L (ˆl )e ( 0  )    e ( t )  x(ˆl, ˆl) L(t , ˆl) dˆldt ,   0. 4 (2.27)Яркость поля в однократном приближении: L(0, ˆl )  L (ˆl )e 0   0 t( 0 t )   ˆt   ˆˆˆˆˆˆˆex(l,l)L(l)elx(l,l)L(l)el dt ,0  0 04(2.28) 0 ˆˆ L( 0 , l )  L (l )e 0 ( 0 t )  ˆl , ˆl) L (ˆl)e t   ˆl  x(ˆl, ˆl) L (ˆl)e ( 0 t )   ˆl dt ,ex(4 0  0 0где верхнее уравнение соответствует нисходящей, а нижнее – восходящей.После интегрирования вдоль трассы визирования (2.28) примет вид49d  L(0, ˆl )  L (ˆl ) 1   0     x(ˆl, ˆl) L (ˆl)ˆl   x(ˆl, ˆl) L (ˆl)ˆl ,   0,4   0 0ˆl )  L (ˆl ) 1      d  x(ˆl, ˆl) L (ˆl)ˆl  x(ˆl, ˆl) L (ˆl)ˆl ,   0.L(,0 0004(2.29)Переходя к азимутальным гармоникам, получимCm (  )  Cm (  ) 1   0  01 md Nmmmm(2k1)xQ()Q()C()dQ()C()d,kkkk2k m10(2.30) mmC()C()1 0  01 md Nmm(2k  1) xk Q k (  )   Q k (  )C (  ) d     Q mk (  )Cm (  ) d   .2  k m10После дискретизации с использованием обозначений для матриц истолбцов C   m x w d C  (1  m d )  x w d(1  m d )  m x w d  C   R    x w d C   T+T  C    , (2.31)R +  C где «±» у индикатрисы обозначают интегрирование по полусферам вперед илиназад.Из МОМ при объединении двух смежных слоев в одинC1   R1  T1 1 R 2 T1 2 T2  2 T1C   C1 T1 1 T2  ,R 2  T2  2 R1 T2  C2 (2.32)Если слой 2 – полубесконечный, то для негоT2  T2  0, C2  0 : C1  R1  T1 1 R 2 T1 C1 , 1  1  R 2 R11.

(2.33)Поскольку первый слой – бесконечно тонкий, то его добавление ковторому не изменяет отражения [Амбарцумян, 1960], т.е.C1  R 2 C1 ,что приводит (2.33) к выражению50(2.34)R 2  R1  T1 1 R 2 T1 .(2.35)В выражения для пропускания и отражения слоя 1 входит бесконечномалая толщина слоя. Ограничиваясь малыми первого порядка, представимоператор многократных отражений в виде1   1  R 2 R1   1  R 2 R1  1  R  x w d , R 2  R  ,1(2.36)где R  – коэффициент яркости по отражению полубесконечного слоя.Подставляя соответствующие определения матриц пропускания иотражения слоя 1 получим в соответствии с (2.35)R    m x w d  1  m(1  x w)d  1  R  x w d R  1  (m x w)d  .

(2.37)Раскроем скобки, приведем подобные члены и отбросим все члены болеевысокого порядка малости. Тогда получимR    m x w d  R   mR  d  m x w R  d  R  x w R  d  R  m d  R  x w d .Приведем подобные члены и поделим на d:mR   R  m  m x w  m x w R   R  x w  R  x w R  ,(2.38)что действительно соответствует выражению В.А. Амбарцумяна в дискретнойформе [Будак и Шагалов, 2014а; Будак и Шагалов, 2014б; Будак и др., 2014а;Будак и др., 2014б; Шагалов и Будак, 2014].Отсюда видно, что описание переноса возможно двумя эквивалентными,но разными по формам, способами: пропагатором, связанным с одноточечнойкраевой задачей, и рассеивателями (коэффициентами яркости), основанными нарешении двухточечной краевой задачи. В случае стратифицированной средыдля матричных дифференциальных уравнений, где существенен порядокпроизведениясомножителей,специфическийпропагаторназываетсяматрицант.

Главная его особенность в том, что в общем случае нарушаетсямультипликативность. Однако для стратифицированных плоских слоев оносохраняется и пропагатор всего слоя имеет вид51NNi 1i 1P (0, 0 )   Pi ( i 1, i )   e Bi ( i  i 1 ) N exp   Bi ( i   i 1 )  , i 1(2.39)где пропагатор каждого слоя среды Pi ( i 1 , i )  e Bi ( i  i 1 ) ,  i 0  0,  i  N   0 .Соответственно решение для слоя будет иметь вид аналогичный (2.10)0 L(0)  P (0, 0 )L( 0 )   P1 (0, )M 1 ( , 0 ) d .1(2.40)0Использование последнего выражения позволяет избавиться от потериточности на вычислении обратных матриц в МОМ, а также сократить времявычисления в количество слоев раз.Модернизацию традиционных методов, в результате которой будутудовлетворены все требования гиперспектральных систем, представляетсяудачным провести с помощью метода синтетических итераций, предложенномв ядерной физике [Adams and Larsen, 2002].

В этом случае итерация разбиваетсяна два этапа. На первом необходимо приближенным методом точно учестьэнергетику, а на втором этапе уточнить угловое распределение обычнойитерацией. Программа MDOM имеет хорошую сходимость в средней метрике,что после взятия итерации позволяет рассчитывать на хорошую сходимость и вравномерной метрике.Полученноерешениевформерассеивателейопределяетсвязьвыходящего из слоя излучения с падающим на слой. Для взятия итерациинеобходимо знать поле внутри среды. Однако после решения мы имеем полноетело яркости на верхней и нижней границах слоя, и можем переформулироватьзадачу в виде двух эквивалентных одноточечных краевых задач, что позволяетполучить поле внутри среды [Budak et al., 2014; Будак и др., 2014а; Budak et al.,2015]:- через поле на верхней границеU C( )  e11U C(0)  ee052tU 1M 1 (t , 0 ) dt ,(2.41)- через поле на нижней границеU C( )  e1 ( 0  )U C( 0 )  e10 etU 1M 1 (t, 0 ) dt.(2.42)Поскольку в выражениях (2.41) и (2.42) равны левые части, то равны иправые.

Комбинируя их по полусферам, получим [Budak et al., 2014; Будак идр., 2014а; Budak et al., 2015]:e ( 0  ) u11 C ( 0 )  e ( 0  ) u12 C ( 0 ) U C( )  e u 21 C (0)   0 t 1 1 eUM(t,)dt   0  e .  et U 1M 1 (t ,  )dt   0 0 1(2.43)Полученное выражение содержит только отрицательные экспоненты иявляется устойчивым для любых толщ. Подставляя выражения для функцииисточников, полученные ранее, и выполняя интегрирование вдоль трассывизирования, получим [Budak et al., 2014; Будак и др., 2014а; Budak et al., 2015]e ( 0  )U C( )   010  G( 0 )  F( ),e (2.44)где d k e  d k  02k  1e 0  11mF( )  qk diag  U 1  0 M Q k k  m 4  i 0  d k  i 0  1 K d k e  d k  0e 0   diag  fk ,d1k mki 0 i 0K(2.45) u11 C ( 0 )  u12 C ( 0 )   F( 0 )  .G( 0 )  u 21 C (0)F(0)  53(2.46)Угловое распределение яркости, необходимое для взятия итерации, длянекоторых точек слоя мутной среды представлено на рис.