Диссертация (Быстрые и точные алгоритмы расчета сигналов оптико-электронной системы дистанционного зондирования из космоса), страница 13

Квазидиффузионное приближениеОдной из задач прямого моделирования, которая требует обязательногообращения к трехмерной теории переноса излучения, является учет в алгоритмеэффектов разорванной облачности. Квазидвухпотоковое приближение даетхорошие результаты в случае плоской задачи. Однако в силу спецификидвухпотокового метода, зависящего от горизонтальной симметрии среды, вслучаепроизвольнойгеометрииудобнееобратитьсякспектральномупредставлению яркости не только в решении для анизотропной части, но и длярегулярной.

С точки зрения идеи и простоты аналогом двухпотоковогоприближения в частотной области является диффузионное приближение. Этотметод представляет собой метод сферических гармоник при ограниченииминимальным количеством членов – одним (P1-приближение). Выбор данногометода (как и двухпотокового) обусловлен теми же причинами:- один из простейших, а значит и быстрейших с точки зрения реализации;- после выделения анизотропной части решения по МСГ, регулярнаячасть близка к изотропной;- неточности данного этапа будут исправлены последующей итерацией.Впервые идея решения УПИ методом синтетических итераций сопределением решения на первом шаге в диффузионном приближении быласформулирована в работе [Гольдин, 1964] и получила название квазидиффузионного приближения. Этот метод был развит в [Аристова и Гольдин,1998] на случай сильной анизотропии тела яркости, для чего в решениивыделялось прямое нерассеянное излучение.

Анализ решения УПИ для сред ссильно анизотропным рассеянием, проведенный в работах [Будак и др., 2012;Budak et al., 2014], показывает, что существенно более эффективно выделятьанизотропию на основе МСГ. Поэтому для анизотропной части мы сноваиспользуем МСГ, а регулярную решаем на основе синтетических итераций сдиффузионным приближением в качестве первого шага.87Снова для начала обратимся к плоской задаче. Уравнение для гладкойчасти в этом случае будет иметь вид:(ˆl , ) L(r, ˆl )   L(r, ˆl ) 4 L(r, ˆl) x(ˆl, ˆl)dˆl  S (r, ˆl) ,(3.85)где S (r, ˆl ) - функция источников от анизотропной части.Представим все функции в УПИ в виде разложения по сферическимфункциям для случая P1:L(r, ˆl )  C00 (r ) Y00 (ˆl ) 1C1mm 113(r ) Y1m (ˆl ) E0 (r) E (r)ˆl 44(3.86)1E0 (r )  3E (r )ˆl ,4S (r, ˆl )  s00 (r ) Y00 (ˆl ) 1sm 11m1(r ) Y1m (ˆl ) s0 (r)  3s(r)ˆl ,42l 1x(ˆl  ˆl )  xl Pl (ˆl  ˆl ) ,l 0 4(3.87)(3.88)где E0 (r)   L(r, ˆl )dˆl, E(r)   L(r, ˆl )ˆldˆl и аналогично для источников.Подставим (3.86)-(3.88) в (3.85) и получим (ˆl , ) E0 (r )  3E (r )ˆl   E0 (r )  3E (r )ˆl 4  E (r)  3E (r)ˆl x(ˆl, ˆl )dˆl  s (r)  3s(r)ˆl .0(3.89)0Раскроем скобкиˆ(l , )    4 x(ˆl, ˆl )dˆl E (r)  3 (ˆl, )ˆl   ˆl  4  ˆlx(ˆl, ˆl)dˆl E(r) 0 s0 (r )  3s(r )ˆl .(3.90)Отметим, что14 x(ˆl, ˆl )dˆl  1,88(3.91)14 ˆlx(ˆl, ˆl )dˆl  4   ˆl11 ˆ1   2 cos   ˆl x(ˆl, ˆl )dˆl l   x(ˆl, ˆl )dˆl  ˆl ,4(3.92)гдеˆl  ˆl 1   2 cos    ˆl ,   14x1 (ˆl, ˆl ) x(ˆl, ˆl )dˆl  3–среднийкосинус(ˆl , )      E0 (r )  3 (ˆl, )      ˆlE (r )  s0 (r )  3s(r )ˆl .(3.93)рассеяния.Соответственно получимПроинтегрируем полученное выражение по телесному углу.

При этомучтем1. ˆldˆl  0 ,2. ˆlE(r)dˆl  E(r)  ˆldˆl  0 ,3.ˆl , )ˆlE (r )dˆl   ˆl (ˆlE (r ))dˆl   E (r ) ,(3что приведет к соотношению (1  ) E0 (r)  E (r)  s0 (r) .(3.94)Далее, умножим (3.93) на l̂ и снова проинтегрируем по телесному углу.Учтем соотношения:1.ˆl ( A  ˆl )dˆl  4 A ,32. ˆl(A  ˆl)(B  ˆl)dˆl  0 ,что приведет к уравнению1E0 (r )   (1   )E (r )  s(r ) .3(3.95)Возьмем дивергенцию от выражения (3.95)1E0 (r )   (1   )E (r )  s(r ) ,3где для простоты допущено, что    (r) – среда однородная.89(3.96)Выразим E(r) из (3.94)E (r)  s0 (r)   (1  ) E0 (r) ,(3.97)1E0 (r )   2 (1   )(1  ) E0 (r)   (1   ) s0 (r)  s(r) .3(3.98)и подставим его в (3.96)Разделим обе части уравнения (3.98) на a 2   2 (1   )(1  ) , чтоприведет к уравнению диффузии:111E0 (r )  E0 (r )  s0 (r )  2s(r ) .2a3 (1  )3 (1   )(1  )(3.99)Рассмотрим функцию источников от невязки МСГ в предположенииоднородного бесконечного слоя.

В этом случае функция источников имеет вид[Budak et. al, 2015]:  K 2k  1 m ( ,  )  1    e 0  k m 4где Zk ( )  e dk 0 e00xk  d k Z k ( ) Qkm ( 0 )Q km (  ) ,, dk  1  xk .Для простоты анализа алгоритма ограничимся аналитически простымслучаем нормального облучения среды0  1, Qmk (0 )  1, m  0, Q0k (  )  Pk (  ) ,что приводит функцию источников к выражению2k  11  (1  xk )e xk Pk (  ) .k 0 4S ( ,  )  1    e  (3.100)Поскольку(1   ) Pk (  )  Pk (  ) k 1kPk 1 (  ) Pk 1 (  ) ,2k  12k  1(3.101)тоs0 ( ) 2 S ( ,  )dˆl  3 e1 (1  )e  (1 )  (1  x1 )e  (1x1 ) ,390(3.102)1s1 ( )   S ( ,  )  dˆl  2  S ( ,  )  d 122  e  (1  )e  (1 )  (1  x1 )e  (1x1 )  (1  x2 )e  (1x2 ) .55(3.103)Рассмотрим дивергенцию s1:22s(r )    e   (1   ) 2 e  (1 )  (1  x1 ) 2 e  (1x1 )  (1  x2 ) 2 e  (1x2 )  ,55(3.104)где  перед скобкой связана с тем, что дифференцируем при дивергенции по z.Отсюда функция источников имеет вид: ( )  11s0 (r )  2s(r ) 3 (1  )3 (1   )(1  ) 2(2  5x1 ) 1(1  x1 )  (1 )e  (1  )e3 (1  )  15(1  x1 )1  x122 (1  x2 ) 2  (1x2 )  (1x1 ) (1  x1 )ee.35 (1  x1 )(3.105)Случай плоской среды УПИ в диффузионном приближении имеет вид: 2 E0 ( ) E0 ( )   ( ) , 2(3.106),   x1 - обозначения изменены,где   az,    z   a3(1  x1 )(1  )чтобы избежать путаницы с  в функции источников (3.105).Распишем функцию источников в новых переменных ( ) 2(5x1  2)(1  x1 )  (1 )e  a e45 (1  )(1  x1 )3 (1  x1 )a2(1  x1 )  (1x1 ) a2(1  x2 ) 2ee (1x2 ) a .9 (1  )15 (1  )(1  x1 )Общее решение уравнения (3.106) имеет вид91(3.107)E0 ( )  C1 e  C2 e  E ps ( ) ,(3.108)где частное неоднородное решение E ps ( ) , исходя из вида функции источников(3.107) должно иметь видE ps ( )  c0 e a  c1 e(1 ) a  c2 e(1x1 ) a  c3 e(1x2 ) a ,(3.109)C1, C2 – константы, определяемые из граничных условий.Подставим (3.109) в (3.106) и получим1  a 2  a(1  )2  a 2  (1 ) a(1  x1 )2  a 2  (1x1 )c0 2 e  c1e c2eaa2a2a(1  x2 )2  a 2  (1x2 ) ac3e  ( ) .a2(3.110)Откуда получим уравнения для определения констант:1  a22(5x1  2)2(5x1  2)a2c0 2  c0 ,a45 (1  )(1  x1 )45 (1  )(1  x1 ) 1  a 2(1  ) 2  a 2(1  x1 )(1  x1 )a2c1 c1 ,a23 (1  x1 )3 (1  x1 ) (1  ) 2  a 2(1  x1 ) 2  a 2 2(1  x1 )2(1  x1 )a2c2 c2 ,a29 (1  )9 (1  ) (1  x1 ) 2  a 2c3(1  x2 ) 2  a 22(1  x2 )2a215 (1  )(1  x1 )2(1  x2 ) 2a2c3  .15 (1  )(1  x1 ) (1  x2 ) 2  a 2(3.111)Граничные условия возьмем в форме Маршака: равенство потоков черезграницу среды.

Яркость в диффузионном приближении по (3.86)1L(r, ˆl ) E0 (r )  3E (r )ˆl ,4(3.112)причем по (3.95)E (r ) 11s(r )  E0 (r)  . (1  x1 ) 392(3.113)Облученность вниз1111E   L(r, ˆl )(ˆl, zˆ )dˆl    E0 (r)  3E(r)   d   E0 (r)  E(r) .2042 0(3.114)Нетрудно видеть, что0111E    L(r, ˆl )(ˆl, zˆ )dˆl     E0 (r)  3E (r)   d    E0 (r)  E(r) . (3.115)2 142 0Соответственно граничные условия в плоской задаче примут вид1111E0 (0)  E (0)  0,  E0 (az0 )  E (az0 )   Ea ( z0 ) ,4242(3.116)откуда определяются константы C1, C0.Анизотропная часть в квазидиффузионном и квазидвухпотоковомметодах мы вычисляем с помощью одного и того же инструмента – МСГ,которая практически полностью определяет излучение в нижнюю полусферу.Поэтому с точки зрения сравнения в этом случае представляет интерес толькообратнаяполусфера,чтосоответствуетсигналуспутниковойоптико-электронной системы.

На рис. 10-11 показаны сравнения реализаций сигнала отугла визирования квазидвухпотоковым и квазидиффузионным методом.93Рисунок 10 - Сравнение квазидиффузионного и квазидвухпотоковогометодов при θ0=0о, Λ=0.9, g=0.9, τ0=2.Рисунок 11 - Сравнение квазидиффузионного и квазидвухпотоковогометодов при θ0=0о, Λ=0.999, g=0.99, τ0=5.94Результаты сравнения с квазидвухпотоковым приближением показываютхорошее совпадение по точности (погрешность не более 0.9%) при одинаковомвремени счета. При этом достоинством последнего подхода являетсянезависимость от симметрии среды, что позволяет его легко обобщить напроизвольную геометрию.953.3.

Разорванная облачностьВ качестве случая разорванной облачности рассмотрим цилиндрическоеотверстие в плоскопараллельном облаке (разрыв), облучаемом плоскиммононаправленным источником под углом θ0 (геометрия представлена на рис.12). Очевидно, что на определенном расстоянии от облака (в случае, когда мыимеем дело с его краем) и при определенном размере отверстия (в случаеразорванной облачности), влияние этих эффектов становится несущественным.Поэтому важным вопросом представляется оценка значений этих величин.Поэтому задача цилиндрического отверстия представляется актуальной.Рисунок 12 - Геометрия задачи с разорванной облачностью.Краевая задача УПИ для этого случая имеет видˆˆl )   (r ) L(r, ˆl )  (r ) (r ) L(r, ˆl) x(r; ˆl, ˆl ) dˆl,(l,)L(r,4 L(r, ˆl )  (ˆl  ˆl 0 ), L(r, ˆl ) ˆ  0,rT ,ˆlrB ,l(3.117)где ε(r) – коэффициент ослабления, который в данном случае зависит откоординаты, С – область отверстия, Т и В – верхняя и нижняя границы слоясоответственно.