Диссертация (Быстрые и точные алгоритмы расчета сигналов оптико-электронной системы дистанционного зондирования из космоса), страница 10

1 в полярныхкоординатах.Рисунок 1 – нормированное угловое распределение яркости внутри слоя.Для вычисления первой итерации подставим полученное решение (2.44) вуравнение Пайерлса (2.27), что приведет к выражению для яркости рассеяннойкомпоненты:   ( t ) ex(ˆl , ˆl) La (t , ˆl)  Lr (t , ˆl) dˆldt ,   0, 4 0L(1) ( , ˆl )  0  e ( t )  x(ˆl , ˆl) L (t , ˆl)  L (t , ˆl) dˆldt ,   0.ar 4 (2.47)Полное поле есть сумма анизотропной регулярной частей:L( ,  , )  La ( ,  , )  Lr ( ,  , ) M2k  1Z k ( ) Pk ( )   (2   0 m )C m ( ,  )cos( m ),k 0 4m 0K(2.48)где   (ˆl , ˆl0 ) .На основе теоремы сложения для полиномов Лежандра [Виленкин, 1965],принимая во внимание (2.48), интеграл рассеяния может быть записан в форме[Budak et al., 2014; Будак и др., 2014; Budak et al., 2015]:54K x(ˆl, ˆl) L(t , ˆl)dˆl  Sa ( , ˆl )  Sr ( , ˆl )   (2k  1) xk Z k (t ) Pk (ˆl  ˆl0 ) k 02M (2  m  M1K0m)cos(m ) (2k  1) xk Q (  )  C m (t ,  )Q km (  ) d  .mkk 0(2.49)1Первая итерация от анизотропной части [Budak et al., 2014; Будак и др.,2014; Budak et al., 2015]: 0 ( 0 t ) L ( 0 ) e4 0a x(ˆl, ˆl) L (t, ˆl)dˆldt a0 K (2k  1) xk dk 0e4 k 0 0   d k 0 t L (0)  e4 0a0 e 0 P (ˆl  ˆl ),(2.50) P (ˆl  ˆl ).(2.51)k0 x(ˆl, ˆl) L (t, ˆl)dˆldt a0 K (2k  1) xk1  e(1  dk4 k 0 0   d k0 ) 0k0Интеграл от регулярной части в (2.49) вычисляется на основе гауссовыхквадратур и имеет видSm ( ) C ( ) S ( )   m   M 1AW     M 1AWC( ),S ( ) C ( ) mгде Sr ( ) M (2  m  M0m(2.52))cos( m )Sm ( ) .С учетом (2.44) выражение (2.52) можно переписать в виде e ( 0  )S ( )  X    0m0 1G()F() , X  M AWU,0 e (2.53)откуда можно перейти для яркости первой итерации от гладкой части решения: L (0)  M     (2   0 m )cos(m )diag  1, e  0 L ( )  m0  0 55i0  diag  e S0t im(t ) dt.(2.54)Откуда после некоторых преобразований можно получить [Budak et al.,2015]: L (0)  MK    (2   0 m )cos(m )  Pm(1) ( 0 )   Pk(2) ( 0 ) , L ( )  m0k m  0 (2.55) (1     ) e 0 i  e j  0e i j 0 1  11ijijPm(1) ( 0 )   X  G( 0 ), (1 i  j ) 0  j  0  0 i1ee e 1  1 i   j  ij(2.56)где( 0 i 1) 0 / 0d k e( 0 i dk ) 0 / 0  1e1(d)(d)(1)(1)j 0k0ikj 00iPk(2) ( 0 )  0  X   f k .

(2.57) d k 0 0 0 i 0 0 0 ideeeek (   d )(    d )  (   1)(    1)  k0ikj 00i j 0Достоинством полученного решения является возможность перехода кпроизвольной сетке углов визирования, не связанной с дискретнымиординатами.Программа MVDOM является, по сути, реализацией точного решенияУПИ: МСГ практически точно описывает излучение в нижнюю полусферу, аувеличение количества ординат в МДО позволяет достичь любой точности вописании регулярной части. При этом для вычисления с точностью в 1%программе требуется около 30 минут.

Однако, как показано на рис. 2, безвычисления тонкой структуры (при использовании существенно меньшегоколичества ординат), программа проводит расчеты за доли секунды. Также изрис. 2 видно, что даже одна итерация позволяет использовать существенноменьшее количество ординат.56а)б)Рисунок 2 – сравнение реализаций MDOM и итерации от MDOM для разных Mи N для полного диапазона углов (а) и в области глории (б).Это подтверждает, что алгоритм хорошо сходится в средней метрике, чтонеудивительно – МСГ выделяет анизотропную часть так, что регулярнаястановится практически изотропной.

Что навело на мысль: есть линеобходимостьиспользоватьдлярегулярнойчастирешениястольресурсоемкий метод, такой как МДО, и нельзя ли заменить его простейшим ибыстрейшимметодомрешенияУПИ,распределение итерацией?57послечегоуточнитьугловое2.3. Влияние аппаратно-программных средств на эффективностьалгоритмовПосле выделения анизотропной части и дискретизации УПИ имеетединственное решение в матричной форме. Однако время счета различныхпрограмм при одинаковой точности разнится на несколько порядков [Будак идр., 2011].

Проанализируем факторы, приводящие к такому существенномуразбросу по скорости вычислений.Алгоритм реализации решения (2.18) на компьютере включает в себяследующие основные операции:- определение нулей и весов квадратурной формулой дискретизацииУПИ;- вычисление функции источников;- решение задачи на собственные векторы и собственные значения;- вычисление матричных произведений.В настоящее время все матричные операции оптимальным образомреализованы в виде соответствующих пакетов линейной алгебры: LAPACK,IMSL, NAG и других, эквивалентных им. Поэтому существует не толькоединственное решение УПИ, но и единственный возможный алгоритм,основанныйнауказанныхбиблиотеках.Основнаяпричинатакогосущественного различия во времени счета при точнейшем совпадениирезультатов – различные методы выделения анизотропной части, используемыев сравниваемых алгоритмах [Будак и др., 2011].В программе DISORT используется метод delta-M, который заключается впредставлении матрицы рассеяния в виде суммы дельта-функции и гладкойфункции по углу рассеяния.

Такой подход искажает исходную краевую задачу,что приводит иногда к неправильному выбору параметра, отвечающего за долюанизотропного рассеяния, что влечет за собой сильные осцилляции в решении ивсегда приводит к искажению распределения в области малых угловвизирования, что эквивалентно пренебрежению грубой фракцией аэрозоля.58В программе Pstar используется метод TMS, при котором анизотропнаячасть выделяется на основе приближенного аналитического представленияуглового распределения яркости для первых двух кратностей рассеяния. Притаком подходе в уравнении для второй кратности рассеяния появляетсятрехкратный интеграл, время счета которого существенно превышает расчетрешения (2.18), полученное с использованием масштабного преобразования.Программы для решения скалярного УПИ MDOM и векторного –MVDOM используют для выделения анизотропной части МСГ.

Это приводит ктому, что регулярная часть решения в этом случае является почти изотропнойпо углу функцией, что существенно уменьшает M, N, и они почти не зависят отK [Будак и др., 2011].Сравнение программ по времени счета является непростой задачей,поскольку одновременно требуется равная точность. Однако на точностьрасчетов влияет множество факторов, многие из которых лишь опосредованносвязанысрешениемУПИ,как,например,вычислениеобобщенныхсферических функций. При сравнении MDOM и DISORT максимальноеотличие было около 10-4, но при увеличении M разница в результатах такжеувеличивалось, что, вероятно, связано с увеличением ошибки в вычислениисферических функций.

Поэтому очень важно найти оптимальное соотношениемежду числами M, N и K. К сожалению, очень трудно сформулировать здеськакое-то общее правило.Программа DISORT 2.0 использует оба метода выделения анизотропнойчасти – delta-M и TMS. Это существенно улучшает расчет для сильноанизотропных сред. В сравнении MDOM и DISORT для индикатрисы ХеньиГринстейна с параметром g = 0.99 MDOM дает гладкое решение с N = 401, M =8 менее чем за 10 с, в то время как в результатах расчета DISORT с N = 300 длявремени счета 700 с еще сохраняются осцилляции.Необходимо отметить, что некоторыми изменениями время счетаDISORT можно уменьшить до 100 с.

В этом случае для гладких индикатрис59рассеяния g < 0.9 обе программы приблизительно одинаковы по всемпараметрам.Очень похожие результаты имеем для ВУПИ при сравнении Pstar иMVDOM, которое проводилось для двух случаев:1) относительногладкаяматрицарассеяниядлялогнормальногораспределения с параметрами r0 = 5, s = 0.4; θ0 = 85o, τ0 = 1.0 (рис.

3);2) сильно анизотропная матрица рассеяния Water Cloud С1, θ0 = 85o, τ0 = 10.0(рис. 4).Рисунок 3 – сравнение программ MVDOM и Pstar: логнормальноераспределение с параметрами r0 = 5, s = 0.4; θ0 = 85o, τ0 = 1.0. a – восходящееизлучение, б – нисходящее излучение.60Рисунок 4 – сравнение программ MVDOM и Pstar: модель среды – Water CloudC1; θ0 = 85o, τ0 = 10.0. a – восходящее излучение, б – нисходящее излучение.Впервомслучаеобеимпрограммамтребуетсяприблизительноодинаковое время (около 15с). Во втором случае с увеличением анизотропиирассеяния и толщи среды разница в решениях становится заметной. При этомдля MVDOM время счета около 50 с для N = 121, M = 32 и K = 120; программеPstar требуется 150 с при 30 дискретных потоках.

С учетом проведенногоанализа можно утверждать, что точность МСГ существенно выше точностиTMS для сильной анизотропии и больших толщ.Поскольку МСГ показало себя наиболее эффективным методомвыделения анизотропной части решения, а программа MVDOM являетсяразработкой научной группы кафедры светотехники МЭИ, на которойпроводилась работа над настоящей диссертацией, исследование влиянияаппаратно-программныхсредствпроизводилосьнаосновепрограммыMVDOM.Прежде всего необходимо отметить, что независимо от метода выделенияанизотропной части решения, при реализации дискретизованного УПИ,61необходимо решать три основные проблемы линейной алгебры: умножениематриц, решение задачи на собственные векторы и значения, вычислениеобратной матрицы.

Такие операции наиболее оптимально сегодня реализованыв пакетах линейной алгебры: LAPACK, IMSL, NAG и некоторых других. Этибиблиотеки существуют для любой платформы. При этом существуютспециализированныебиблиотеки,оптимизированныедляопределенногопроцессора. Например, библиотека MKL (Math Kernel Library) – это LAPACK,оптимизированная компанией Intel для процессоров Intel. ВажнейшимидостоинствамиMKLявляютсяподдержкамногоядерностиимногопроцессорности и автоматическое распараллеливание всех операций, чтосущественно увеличивает скорость выполнения программы.