Диссертация (Быстрые и точные алгоритмы расчета сигналов оптико-электронной системы дистанционного зондирования из космоса), страница 14

Параметры облачного слоя96 , , x(ˆl, ˆl ), r  C , (r ), (r ), x(r; ˆl, ˆl )  (3.118)0, r  C.Поскольку облако является оптически гораздо более плотной средой, чемчистаяатмосфера,дляпростотыбудемсчитатьобластьотверстиянепоглощающей и нерассеивающей.Поскольку анизотропия является локальным свойством уравнения,поэтому для ее определения мы воспользуемся предположением о независимомслое мутной среды с оптической толщей, равной оптической толщи для прямыхлучей. Исходя из этого, выражение для анизотропной части решения будетиметь такой же вид, как и в случае плоской задачи, однако, оптическая толщаξ(r) будет зависеть от пространственных координат.

Для определениявыражения оптической толщи в случае с цилиндрическим отверстиемнеобходимо найти пересечение луча с цилиндром. Уравнение луча вдольнаправления падения мононаправленного источника имеет видr  d   ˆl 0 ,(3.119)где d – вектор точки входа луча независимого плоского слоя;(r  (r, kˆ )k ) 2  R 2(3.120)есть точка на поверхности цилиндра на расстоянии R от его оси.Подставим (3.119) в (3.120): 2  2(d  (r, kˆ )k , ˆl 0 )  (d  (r, kˆ )k ) 2  R 2  0.(3.121)Мы получили квадратное уравнение, из которого может быть найденаоптическая толща ξ.

В случае, когда лучи не пересекают отверстие, ξ=Н/μ0, гдеН – высота цилиндра.В случае задачи цилиндрического отверстия в облаке представляетсяудобным перейти к сферическим координатам1   E0   2 E0 1  2 E0  2 E0 1 E0  2 E0 1  2 E0E0      z 2  2  2  2  z 2  2  297(3.122)Поскольку задача обладает осевой симметрией, зависимость от φотсутствует, и уравнение для гладкой части имеет вид:1   2 E0 ( z,  ) 1 E0 ( z,  )  2 E0 ( z,  )   E0 ( z,  )   ( z,  )a 2   2z 2(3.123)Перейдем к новым переменным  a ,   az,(3.124)что позволит переписать уравнение (3.123) в виде:  2 E0 ( ,  ) 1 E0 ( ,  )   2 E0 ( ,  ) E0 ( ,  )   ( ,  ). 2 2(3.125)Определим прямое ( ,  )   E0 ( ,  ) J 0 ( ) d ,(3.126)0и обратное преобразования ХанкеляE0 ( ,  )    ( ,  ) J 0 ( ) d.(3.127)0Подставим (3.127) в (3.125) и на основе вида уравнения для функцийБесселя получим 2  ( ,  ) (1   2 ) ( , )   0 ( , ),2(3.128)где  0 ( ,  )   ( ,  ) J 0 ( ) d .0Далее задача распадается на две: в отверстии и в облаке.

Для облака УПИсохраняется по форме и решению, в отверстии только прямое излучение.Граничные условия для облака также распадаются на два – граничные условияв форме Маршака – равенство потоков через границу:облако – для ≥R:981111E0 (0,  )  E (0,  )  0,  E0 (az0 ,  )  E(az0 ,  )   Ea ( z0 );4242(3.129)отверстие – для ≤R:111E0 ( z, R)  E ( z, R)    La ( z, ˆl ) E0 ( z, R)  3E( z, R)ˆl424()  dˆl.(3.130)где  – телесный угол, под которым видна стенка цилиндра из точки (z,R).Интеграл по  от гладкой части вычисляется аналитически, от малоугловой(анизотропной) численно. Из полученной системы определяются константыинтегрирования.Верификацию алгоритма для отверстия в облаке в квазидвухпотоковомприближении мы проводили, реализовав ту же задачу методом Монте-Карло.Метод Монте-Карло [Михайлов, 1974; Ермаков, 1975; Марчук, 1976; Ермаков иМихайлов, 1982] заключается в математическом моделировании исследуемогопроцесса, проведении достаточно большого числа численных экспериментов истатистической обработки их результатов.

При исследовании процессовпереноса излучения моделируются траектории фотонов. Процесс переносафотонов в среде можно описать [Золотухин и Ермаков, 1972] интегральнымуравнением переносаf ( x) f ( x)k ( x, x)dx  ( x) ,(1.131)(X)или в операторной формеf  K f ,где f(x) - плотность столкновений в фазовом пространстве X: (r,l), x, x'  X; (x) плотность столкновений в источнике; k(x,x) - плотность вероятности того, чточастица, испытавшая рассеяние в точке x, следующее столкновение испытает вx:k ( x, x) x(ˆl , ˆl)exp   r  r  ˆl  r  r82 (r  r) 2r  r99 .(1.132)В задачах оптики атмосферы и океана решение сводится к оценкефункционаловJ   ( f , ) f ( x)( x)dx ,(1.133)( X)где (x) – функция, характеризующая приемник излучения.Известно, что [Михайлов, 1974; Ермаков, 1975; Марчук, 1976; Ермаков иМихайлов, 1982]NJ   M,    ( xn ) ,(1.134)n 0где x0 - начальное положение частицы; {xn} - однородная марковская цепьстолкновенийчастицы;N-номерпоследнегостолкновенияпередпоглощением; M - означает усреднение по ансамблю траекторий.Поскольку для оценки точности решения требуется произвести расчетпространственной облученности в точке или малом фазовом объеме, тоиспользуется метод локальной оценки.

Метод локальной оценки основываетсяна выражении (1.131), которое можно также рассматривать как искомыйфункционал, аналогично (1.133). Тогда в соответствии с (1.134) математическоеожидание величины exp( r*  rn )  r*  rn ˆl n , *22 * r  rnn 08 r  rn  r*  r x  ˆl n , * n  r  rn (1.135)равно облученности в точке r* от потока рассеянных средой фотонов.Следовательно, практическая реализация алгоритма сводится к моделированиюпоследовательности точек столкновения частиц в среде с последующимусреднением по всем возможным траекториям.

Большим достоинством методалокальной оценки является возможность получения информации о сигнале длянескольких приемников одновременно с помощью одной и той же цепиМаркова.Применение различных алгоритмов метода Монте-Карло изложено в100[Михайлов, 1974; Ермаков, 1975; Марчук, 1976; Ермаков и Михайлов, 1982].Основываясь на методе локальных оценок и рекомендациях указанных статей,были разработаны алгоритмы, реализованные в системе MATALB.Цилиндрическое отверстие учитывалось при вычислении пересечения:если луч пересекал поверхность цилиндрическую границу отверстия, то онпролетал далее до второй его границы, где уже проходил остаток разыгранногопри рассеянии пробега. Координата точек пересечения определялась изсистемы уравнений для луча и цилиндра в проекции на границу слоя облака,что уменьшает размерность задачи.Однако в случае очень острых индикатрис метод локальных оценок имеетмедленную сходимость или возможны ошибки, если выборка недостаточновелика.

С целью ускорения сходимости использовался тот факт, что системаПМ-источника для плоского облака с цилиндрическим отверстием имеетцилиндрическую симметрию, т.е. все акты рассеяния не зависят от поворотаисточника вокруг своей оси (азимутальный угол ). Поэтому в одномиспытании разыгрывалось K траекторий, соответствующих K значениямвыбранных . Все К траекторий разыгрывались по одной и той жепоследовательности случайных чисел. Обрыв траектории происходил привылете фотона через сферу с центром в точке источника, а радиус ее выбиралсяэкспериментально.

Расчет останавливался при достижении дисперсии менее5%.Индикатриса рассеяния для простоты бралась в виде Heneye-Greenstein,но, поскольку было проведено несколько серий испытании для различных g, томожно говорить о точности решения для любой реальной индикатрисы.Формула для разыгрывания косинуса угла рассеяния в случае индикатрисыHenyey-Greenstein имеет вид 1 g2 1 21  g  2g  1  g  2 g 1012,(1.136)где  - равномерно распределенная в [0,1] случайная величина.Результаты сравнения для различных параметров представлены на рис.13-14.Рисунок 13 – сравнение алгоритмов задачи цилиндрического отверстия воблаке при Λ=0.999, g=0.99, τ0=5 (– МСГ, о Монте-Карло, -квазидиффузионное приближение).Рисунок 14 – сравнение алгоритмов задачи цилиндрического отверстия воблаке при Λ=0.98, g=0.9, τ0=4 (– МСГ, о Монте-Карло, -- квазидиффузионноеприближение).102Поскольку задача в данном случае обладает осевой симметрией,распределения построены от центра отверстия.

Занижение Монте-Карло вправой части связаны с тем, что для численных расчетов облако принципиальнозакладываетсяконечныхразмеров.Вбольшинствеостальныхточекрасхождение с квазидиффузионным приближением составляет менее процента,при этом время на расчет Монте-Карло - около часа, квазидифузионное –менее секунды.103Выводы по третьей главе1. Проведенный в работе анализ показал, что МСГ практически точноописывает излучение в переднюю полусферу, которое в основном определяетсяанизотропной частью решения.