Диссертация (Быстрые и точные алгоритмы расчета сигналов оптико-электронной системы дистанционного зондирования из космоса), страница 12

(3.38) E (0)  0 Введем обозначениеu uU 1   11 12 u21 u22 (3.39)и преобразуем левую часть отдельно:e1 0 0 u11 e1 0 2 0u21 e0   u11 u12   E ( 0 )   u11 u12   0 e 2 0  u21 u22   0  u21 u22   E (0) u12 e1 0   E ( 0 )   u12 E (0)   u11 e1 0 E ( 0 )  u12 E (0) .u22 e 2 0   0  u22 E (0)  u21 e 2 0 E ( 0 )  u22 E (0) С учетом этого u11 e1 0 2 0u21 eu12   E ( 0 ) 11B  / 1  0 U (1  B 0 ) 1  e e 0  M F.u22   E (0) (3.40)Откуда E ( 0 )  u11 e1 0  0  2 0E(0)u21 e  1u12 11B  / 0 M 1 F.

(3.41) U (1  B 0 ) 1  e eu22 Для взятия итерации необходимо знать поле в каждой точке среды. Найдянеизвестные константы (выражение (3.41)), мы можем переформулироватьисходную краевую задачу в задачу с известными начальными условиями ивычислить поле в среде двумя способами – «сверху» и «снизу». При численнойреализацииэтопозволиткомбинироватьрешения,сохраняятолькоотрицательные экспоненты, что положительно сказывается на устойчивостиалгоритма.Итак, при вариации произвольной постоянной можно получить дварешенияE o ( )  E o (0)    e( 0 B 1)t / 0 d M 1 F0и73(3.42)0E o ( )  E o ( 0 )    e( 0 B 1)t / 0 d M 1 F.(3.43)Умножая каждое уравнение на решение однородного уравнения, получимE( )  e BE(0)   e Be( 0 B 1) t / 0d M 1 F,(3.44)0E( )  e BE o ( 0 )   e B0 e( 0 B 1) t / 0d M 1 F.(3.45)d M 1 F.(3.46)Рассмотрим (3.45) при τ= τ0:E o ( 0 )  e B 0 E( 0 ) .ОткудаE( )  eB( 0  )E( 0 )   e B0 e( 0 B 1) t / 0Вычислив интегралы, получимE( )  e  B E(0)  0 e  B (1  0 B) 1 1  e  / 0 e B M 1 F,(3.47)E( )  e B( 0  ) E( 0 )  0 e  B (1  0 B) 1 e  / 0 e B  e  0 / 0 e B 0 M 1 F.

(3.48)Перед взятием итерации проведем энергетическую проверку. Для этогоснова обратимся к системе уравнений (3.28). Примем1 2011  dˆl  1  d    2 ,   211  dˆl  0  d   2 .(3.49)Данное допущение связано с тем, что регулярная часть решения близка ксферической, и вопрос выбора μ↑и μ↓ неочевиден. Однако, с учетомследующих соображений, наш выбор кажется вполне удачным:- поскольку регулярная часть имеет близкую к сферической форму, усреднениепо полусферам как раз должно дать значение по модулю около 0.5,- после реализации в случае неудовлетворительного результата мы имеемвозможность вручную поварьировать значения коэффициентов рассеяния дляего уточнения,74- итерация существенно уточняет решение, поэтому вполне вероятно, чтонебольшая ошибка на этапе выбора коэффициентов рассеяния вообще не будетиметь влияния на результат в рамках заданной погрешности.Принимая во внимание (3.49) сложим первое уравнение со вторым1 dE ( ) 1 dE ( ) (c  1) E ( )  o E ( )  c 0e / 0 2 d2 d(c  1) E ( )  o E ( )  o 0e / 0 1 dH ( ) eE0 ( )   0 ( ),2 d(3.50)и вычтем из второго первое1 dE ( ) 1 dE ( ) (c  1) E ( )  o E ( )  o 0e / 0 2 d2 dc  1) E ( )  o E ( )   c 0e / 0 1 dE0 ( ) hH ( )   ( ).2 d(3.51)ЗдесьH ( )  E ( )  E ( ), E0 ( )  E ( )  E ( ),h  (c  o )  1, e    1, 0 ( )   e / 0 , ( )  e / 0 ( c 0  o 0 ).Выразим H(τ) из уравнения (3.51)H ( ) 1 dE0 ( ) 1  ( )2h dh(3.52)и подставим в (3.50):d 2 E0 ( ) 4heE0 ( )  4h 0 ( )  2 ( ) d 2d 2 E0 ( ) 4a 2 E0 ( )  f ( ),2d(3.53)f ( )  4h0 ( )  2 ( ),(3.54)гдеa2  he.75Однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.53), имеет видd 2 y ( ) 4a 2 y ( )  02d(3.55)y( )  c1 e2a  c2 e2a .(3.56)и решениеРешение неоднородного уравнения (3.53) будем искать методом вариациипроизвольной постоянной.

Имеем систему уравнений2 a2 ac1( )e  c2 ( )e  0,2 a2 a2ac1( )e  2ac2 ( )e  f ( ).(3.57)Решая ее, получимc1( )e2 a  c2 ( )e 2 a  0,f ( ) 2 a2 ac()ec()e,2 12a1f()1 2 a2 ac2 ( )  c2 f (t )e 2 at dt ,2c()e,c()f()e,224a 02a4a2c( )e 2 a   f ( ) , c( )   1 f ( )e 2 a , c ( )  c  1 f (t )e 2 at dt ,11112a4a4a 0что приводит к решению 2 a  2 a112 at2 aty ( )   c1   f (t )e dt  e   c2 f(t)edte 4a4a00y ( )  c1 e2 a c2 e2 a1f (t )  e 2 a ( t )  e 2 a ( t )  dt.4a 0(3.58)С учетом этого, получимEo ( )  e1 e2 a e2 e2 a1f (t )  e2 a ( t )  e2 a ( t )  dt.4a 076(3.59)Из (3.54) нетрудно видеть, что единственный множитель, зависящий отпеременной, по которой ведется интегрирование – это экспонента.

С учетомэтого вычислим определяющий интеграл из выражения (3.59) отдельно:e t / 0(e2 a ( t )e2 a ( t )0)dt   (e t (1/ 0 2 a ) 2 a  et (1/ 0 2 a )2 a )dt 0 et (1/ 0 2 a )2 a et (1/ 0 2 a )2 a  1/2a1/2a000e / 011e2 ae2 a I ( ).1/2a1/2a1/2a1/2a0000(3.60)Тогда решение будет иметь видE0 ( )  c1 e2 a  c2 e 2 a где K 201KI ( ),4a(3.61) 2 h 0  (  c 0   o 0 )  .Для поиска констант подставим полученное решение для E0(τ) вуравнение (3.52):H ( ) 1 d2h d1 2 a 12 aKI ( )    ( )  c1 e  c2 e 4a hH ( )  nac1 e2 a  nac2 e 2 a nKI ( )  n ( ),8a(3.62)где n=1/h,d   / 0 11e2 ae2 aI ( ) ed  1 /  0  2a 1 /  0  2 a  1 /  0  2 a 1 /  0  2 a e / 0 112a e 2 a2a e 2 a.0  1 / 0  2a 1 / 0  2a  1 / 0  2a 1 / 0  2 a(3.63)Складывая уравнения (3.61) и (3.62), и вычитая (3.62) из (3.61), получим77Kn2 a2 a2 E ( )  c1 (1  na)e  c2 (1  na)e  4a  I ( )  2 I ( )   n ( ),(3.64)Kn2a2a2 E ( )  c (1  na)e  c (1  na)e 12 I ( )  I ( )   n ( ). 4a 2Для поиска неизвестных констант снова воспользуемся граничнымиусловиями (3.35) и получимKn0c(1na)c(1na)I(0)I (0)   n (0),124a 20  c (1  na)e 2 a 0  c (1  na)e 2 a 0  K  I ( )  n I ( )   n ( ).120 0 04a 2(3.65)Выразим с1 из первого уравненияc1  c21  na k0 ,1  naи подставив во второе, получимKnc2   k0 (1  na)e2 a 0   I ( 0 )  I ( 0 )   n ( 0 )  4a 21 e2 a 0 (1  na) 2  e 2 a 0 (1  na) 2  ,1  naгде k0 (3.66)1 Knn (0)   I (0)  I (0)   .1  na 4a 2На рис.

5-7 представлены компьютерные реализации выражений (3.47) и(3.48) (решение А) в сравнении с (3.64) (решение В), из которых видна полнаяэквивалентность обоих подходов.78Рисунок 5 - Сравнение решений А и В при Λ=0.9, g=0.9, τ0=5.79Рисунок 6 - Сравнение решений А и В при Λ=0.7, g=0.8, τ0=2.Рисунок 7 - Сравнение решений А и В при Λ=0.99, g=0.9, τ0=7.Зная распределение поля в среде, мы можем оценить интеграл рассеянияв уравнении (3.7), и, взяв итерацию, получить выражения для яркостивыходящего из слоя излучения. Введем обозначение  E ( )   c E ( ) W ( ) W( )        o .W()E()E()c    o (3.67)С учетом этого уравнение (3.7) будет иметь вид L( ,  ) ˆ ˆ  L( ,  )  W( ) x(l 0 , l )e40,(3.68)где L( ,  ) L( 0 ,  )   0  L(0,  ) (3.69)есть значения яркости на нижней и верхней границах слоя соответственно.80Для решения уравнения (3.68) также воспользуемся методом вариациипроизвольной постоянной, и, учитывая граничные условияL(0,  )  0  0, L( 0 ,  )  0  0(3.70)получим яркость первой итерации от гладкой части решения:L( 0 ,  ) 0L(0,  ) 0 0e 0 ˆ ˆ   eW()x(l0 , l )e 040 ˆ ˆ   eW()x(l0 , l )e  04100 d , d .(3.71)(3.72)При выделении анизотропной части решения по МСГ в решении длягладкой части и ГУE ( ) 0 0, E ( )  0   La ( 0 ,  , ) dˆl   Ea ( 0 )(3.73)и вид свободного члена.

При этом уравнение (3.29) примет видd E( )  BE( )  M 1 ( ),d(3.74)где  2k  1 d k  0 0deeP()kkk0   ( ) 2k 0,( )    o ()2k1 d k  0 0  deeP()kk k0  k 0 2а 0 1(1  x1 )e(1x1 )20 (1  )e (1 )0(3.75).Решение системы (3.74) имеет видE( )  e BE(0)   e  B( t ) M 1 (t ) dt ,00(3.76)E( )  e B(  0 ) E( 0 )   e  B( t ) M 1 (t )dt ,где первое решение выражается через ГУ на верхней границе, а второе – нанижней.81Выразим из решений (3.76) связь решений на границах:eB 00E( 0 )  E(0)   eB t M 1 (t )dt.(3.77)0Подставим в (3.77) ГУ (3.73) и получим уравнениеeB 0  Ea ( 0 )   E (0)   0 B t 1   e M (t )dt. E ( )   0  0   0(3.78)Снова проведем сингулярное разложение матричной экспоненты, чтоприведет последнее выражение к видуe 00  Ea ( 0 ) 1  E (0) U U   et U 1M 1 (t )dt. E ( 0 )  0  01(3.79)или через элементы матрицы U : u11 e1 0 u12   E (0)   0 t 1 1 e1 0 u11    e U M (t )dt    2 0  Ea . 2 0E()ueu0 0 2122   e u21 (3.80)Аналогично синтетическим итерациям в параграфе 2.1 получим для полявнутри среды E (0) E( )  U  e U 1     e S(0, ) . 0 (3.81)Выражение для яркости в произвольной точке поля среды можнозаписать в виде [Budak et al., 2015]1,   0,11L( , ˆl )  La ( , ˆl0 , ˆl ) E ( ) (  ) E ( ) (   ),  (  )  (3.82)0,0.22Теперь можно взять первую итерацию от решения, как описано впараграфе 2.1.

Интегральное УПИ для случая ПМ-источника имеет вид e 0 L( 0 ,  ) 40 0t t   E ( )  E ( ) e dt  l (  )  E ( )  E ( ) e dt  , (3.83) 000 0t t L(0,  )    E ( )  E ( ) e dt  l (  )  E ( )  E ( ) e dt  , (3.84)4  0082где l (  ) ( K 1)/2j 1(4 j  1) x2 j 1 P2 j 1 (  ) j .На рис. 8-9 показано сравнение реализации квазидвухпотоковогоприближения с выделением анизотропной части по МСГ с программой MDOM(яркость от угла визирования).83а)б)Рисунок 8 - Сравнение реализаций MDOM и предлагаемого решения приθ0=45о, Λ=0.9, g=0.99, τ0=2 в переднюю (а) и заднюю (б) полусферы.84а)б)Рисунок 9 - Сравнение реализаций MDOM и предлагаемого решения приθ0=30о, Λ=0.999, g=0.9, τ0=5 в переднюю (а) и заднюю (б) полусферы.85Как видно из графиков, расхождение не превышает несколькихпроцентов, при этом скорость вычислений возросла на несколько порядков исоставила сотые доли секунды.863.2.