Диссертация (Разработка оптимальных методов статистического оценивания характеристик усталостных свойств материалов и элементов авиационных конструкций), страница 14

5.2. Алгоритм планирования испытаний при оценке квантиля Рис. 5.3. Алгоритм расчета квантиля нецентрального распределения Стьюдента При построении кривой усталости объем серии из а образцов или элементов конструкций разделяют в зависимости от планируемой протяженности кривой на 3-5 групп, каждую из которых испытывают при постоянном уровне переменных напряжений. С увеличением числа уровней амплитуд напряжений погрешность в определении предела выносливости возрастает. Значение ошибки определения предела выносливости зависит от характера распределения объема серии объектов усталостных испытаний п на отдельные группы по числу принятых уровней напряжений при испытаниях и.

Наименьшая ошибка достигается в том случае, когда преобладающую часть объема серии испытывают на самом нижнем уровне переменных напряжений, но этот вариант распределения не является целесообразным из-за резкого увеличения времени испытаний. Если себестоимость объекта испытаний сравнительно не велика, то наиболее оптимальным с точки зрения минимума ошибки в определении предела выносливости и без резкого возрастания машинного времени является максимально возможный неравномерный вариант распределения образцов по уровням напряжений, симметричный относительно середины диапазона амплитуд цикла напряжений ~30, 1051. Например, при и: — 4 на двух крайних уровнях напряжения испытывают до 40% от п, при двух средних - по 10% от л.

При т=З на среднем уровне испытывают 10% от п образцов, а на крайних- по 45% от и. Большей асимметрии при л<10 добиться практически невозможно. Рис. 5.4. Определение предела выносливости и доверительного интервала по кривой усталости Как показывает практика, минимально необходимый набор факторов планирования усталостных испытаний, проводимых с целью обоснования медианы предела выносливости на данной базе с заданной погрешностью, является следующим: общий объем испытаний и характер распределения объектов испытаний по уровням амплитуд напряжений циклов, число и значения этих уровней, коэффициент вариации предела выносливости. Перечисленные факторы определяют в первом приближении среднюю н)7 квадратичную ошибку медианы предела выносливости, величина которой определяется по следующей приближенной формуле (30): (5.5) где ~, = — ' - относительный объем испытаний на ~ - ом уровне; ~, - объем испытаний на ~ - ом уровне; ЯН » =,'>, - общий объем испытаний, ..

- оценка среднего квадратичного отклонения предела выносливости, л~ Х=~~) 1, Х,. г-1 По аналогии с уравнениями (2,54), (2.55) для прямых испытаний, приближенные доверительные границы для медианы предела ограниченной выносливости „„имеют следующий вид: (5.6) что приводит к следующей величине относительной ошибки в определении медианы предела выносливости: (5.7) ~~аО 4,~= 1/Л На рисунке 5.4 в схематическом виде представлена методика определения доверительных границ для предела выносливости при построении кривой усталости.

Пунктиром на рисунке показана верхняя обеспечения нормативной относительной ошибки в определении медианы предела выносливости на заданной базе Уо, соответствующей значению доверительная граница для кривой усталости. На основании уравнения (5.7) определяется потребный объем испытаний для Преобразование х, = р(о-,,) линеаризует уравнение кривой усталости и поэтому зависит от выбранного уравнения кривой усталости.

Так, например, для уравнений кривых усталости ст„=~т,+а (М)" (5,9) или ~т„=о.,+а (1цУ)" (5.10) х = р(о;., ) = !я!о'„. - ст 0, для уравнения кривой усталости (5.11) с= <с.;+с, т>, где С, - стоимость одного объекта испытаний; с."., =с, дбо т! - стоимость одного цикла испытаний данного объекта; с, - стоимость одного часа испытаний; т - частота испытаний (об/мин). Общая долговечность испытаний (в циклах): (5. 12) (5,13) У, - средняя долговечность, соответствующая !-му уровню амплитуды напряжения цикла. ~=!! .,)=!а(;,).

Выбор факторов при оптимизации планирования усталостных испытаний должен учитывать себестоимость усталостных испытаний [30, 1051, которая определяется стоимостью объектов и стоимостью времени проведения испытаний: Таким образом, задача оптимального планирования усталостных испытаний заключается в определении минимального объема испытаний и и необходимого характера распределения объектов испытаний по уровням амплитуд напряжений с целью обеспечения нормативной относительной ошибки (5.7) при минимальной себестоимости (5.12) для данного варианта плана испытаний.

Может быть минимизировано время испытаний 7' (5.13), которое для данного варианта уровней напряжений зависит только от характера распределения объектов по уровням. Такой способ планирования актуален для испытаний, проводимых на дорогостоящих испытательных стендах. При усталостных испытаниях натурных крупногабаритных деталей, минимизировать следует объем испытаний п за счет увеличения продолжительности испытаний при прочих равных условиях.

Необходимо отметить, что результаты оптимизации существенно варьируются в зависимости от предполагаемой базовой долговечности, для которой оценивается предел выносливости, то есть от степени экстраполяции по кривой усталости, а также от надежности обоснования априорных медианных кривых усталости. В таблице 5.1 представлен фрагмент оптимального планирования усталостных испытаний с учетом их стоимости для четырех вариантов распределения объектов по уровням амплитуд напряжений циклов, соответствующих средним долговечностям в диапазоне от 10' до 10 циклов.

В рассматриваемом примере заданы единичные стоимости объекта и часа испытаний и поэтому оптимальным по стоимости получился вариант со смещением объектов испытаний в сторону высоких амплитуд напряжений. В то же время, оптимальным по объему является неравномерный симметричный вариант распределения объектов (2 вариант), особенно при экстраполяции в область высоких базовых долговечностей, характерных для эксплуатационной нагруженности летательных аппаратов.

Вариант М~ 4 представляется несколько экзотическим, так как требует значительного увеличения времени испытаний, что обычно не приветствуется Ио испытателями. При изменении величин С„с., и с„а также других факторов эксперимента, выводы по оптимизации могут измениться. Таблица 5.1. Планирование усталостных испытаний при построении кривых усталости св = !.645 (ЕЕ = 0,95) Е'-.-. Е О ООобу .иин 4~з .- 0,3 (.'и Е (. з=' Е Сз" О,ОООО!67 5*!О' !О' !О' 1,4*К)' = 62)~Лото ()3)-т аг 150,15 192.20 229.50 174.71 х, =-!80 „,— т,) 2,2095 2,0959 1„9173 2.0303 хх=~ ), х, ~~»;(5 - в) г овснь ! у вонь 3 овснь 4 у овснь 1 ва иант 0,25 0,25 0,25 0.25 3,0013+06 2,0632 0,01 12 2 ва иант 0.1 0,4 0,4 4,238406 0,0173 2,0633 0,5 0,1 3 ва иант 0,2 1,4807ь06 2,3313 0,0593 4 ва иант 0.2 0,1 5,53Е~-О6 2,2078 0,0542 Базовые лолговсиности Ет'с 10 10 5" 10 10" ж Π— — 675ь4050 (и ) 135,83 229.50 150,15 130,78 180.00 2,0512 х„= 186т, -о,) 1,9173 2.2095 1,8013 1,8346 ( „— х) тз(х, — х)" 1-1 Объсм испытаний 1 ва вант 30,46 87,44 170,21 87,19 214,03 2 ва иант 3 ва иант 67,15 67,22 30,32 69,85 37,58 116,97 4 ва иант 30,07 43,69 76,92 107,37 121,79 Стоимость испытаний С с и ((.; -'; (.; Е" ) 1 ва иант 2 ва иант 964,68 3 ва иант 3002,20 1792,84 3981,83 4426,88 4 ва иант 4070,33 10003,35 2801„38 7166,27 11346,43 Относитсльнос распрслслснис образцов по уровням яжсний 4459,68 4805,98 1553,33 2168,19 4446,50 4801,18 121,00 155,14 8680,72 8651,85 149,42 172,48 10915 38 10683,83 Выводы по главе 5 1.

Разработана оптимальная методика и программный продукт для определения минимального объема выборки с целью оценки квантиля распределения логарифма долговечности при усталостных испытаниях, необходимые для решения задач обоснования нижнего гарантированного ресурса ответственных элементов авиационных конструкций. Предложенные оптимальные методы расчета по сравнению с предлагаемыми ранее позволяют производить максимально быстрые вычисления без итерационных процедур во всех реальных диапазонах квантилей распределения и доверительных вероятностей, могут быть легко запрограммированы и использованы в общедоступном офисном пакете Ехсе1, что и было сделано авторами. Приведены схемы разработанных алгоритмов и примеры расчетов в виде таблиц. 2. Разработана оптимальная методика и программа планирования усталостных испытаний, проводимых с целью построения кривой усталости, определен минимально необходимый набор факторов планирования: общий объем испытаний и характер распределения объектов испытаний по уровням амплитуд напряжений циклов, число и значения этих уровней, степень экстраполяции по кривой усталости, надежность обоснования априорных характеристик выносливости, стоимость объектов и времени испытаний.

3. Рассмотренный пример планирования определяет пути минимизации затрат при обеспечении требуемой точности определения предела выносливости по кривой усталости, что весьма актуально для минимизации затрат дорогостоящих усталостных испытаний элементов конструкций. Общие выводы 1. На основании анализа литературных данных установлено, что разработка оптимальных методов численного сложных решения задач статистического анализа, связанных с оценкой и обеспечением усталостной долговечности авиационных конструкций, представляет актуальную научную проблему, решение которой направлено на повышение эффективности расчетно-экспериментальной отработки авиационных конструкций, снижение длительности и стоимости усталостных испытаний.

2. Разработана оптимальная методика и компьютерные программы для решения систем нелинейных уравнений максимального правдоподобия с целью оценки параметров распределений характеристик усталостных свойств при прямых наблюдениях в условиях многократного цензурирования и при косвенных испытаниях для оценки параметров квантильных кривых усталости и функций распределения пределов выносливости. 3. Разработана методика оценки параметров вероятностного распределения характеристик усталостных свойств и параметров кривых усталости на базе единой системы матри чных уравнений метода наименьших квадратов в линейной постановке. 4. С целью вероятностного обоснования гарантированного ресурса, показателей надежности и долговечности элементов конструкций, разработана методика расчета доверительных границы для функции распределения.

5. Разработана методика оптимального выбора функциональных преобразований случайных величин при статистическом анализе усталостных испытаний, позволяющая стабилизировать характеристики рассеяния усталостных свойств, существенно сократить объем испытаний, повысить точность определения расчетных характеристик выносливости, что особенно актуально при экстраполяции в область больших долговечностей и малых вероятностей разрушения.