Диссертация (Разработка оптимальных методов статистического оценивания характеристик усталостных свойств материалов и элементов авиационных конструкций), страница 11

В этом случае с учетом разработанной модели стабилизация дисперсии в весовой функции можно определить точное распределение квантиля случайной величины у, то есть построить доверительные интервалы для квантиля: О.5 у„,(р)=а+Ь (х — х)+~, ~ и — 2, ~у)~„,~ сг„— + ~ и,. (х,— х) (3.34) где ~„, Я~',Л) - квантиль уровня ~з или 1-,В нецентрального распределения Стьюдента с ~ = и — 2 степенями свободы и параметром нецентральности л, (3.35) 0.5 1+------------- (х — х) — (х, — х~ х, - квантиль нормированного нормального распределения уровня р. Поэтому в уравнениях (3,12)-(3.16) вместо величины п, следует подставлять некоторый эквивалентный объем испытаний, меньший реального объема испытаний реализованного при оценке медианной кривой усталости: 77,5 1+ (х — х) Х-'- (',— )2 и 725 1+ (х — х) М(у)~-г, и М(у) ,'~, --'-.(х, — х)2 ,, и О,5 1+ (х — х) ~ --'- 1х, — х) и р'~2О ! ' 7- ъIи (3.3б) и дисперсией: 1+ (х — х) '2 !4р) = !ф)+— и !'7(~„), (3.37) ~> -'- (х, — х) где у, =М(у)+х, с, - квантиль распределения; !7(т„)- дисперсия условного среднего квадратического отклонения: -2 -2 !3(й„) = (3.38) (3.39) Для приближенной оценки квантиля нецентрального распределения Стьюдента, а также для доказательства справедливости уравнения (3,34) рассмотрим случайную величину у=у„,(!7)-у-! 10(у)~', как имеющую приближенное нормальное распределение с математическим ожиданием: Вероятность,б' того, что Р(р < О~ приводит к следующему приближенному уравнению: Я5 1+ (х-х) -'- (х, — х) Н м(р) ЪК~~ (3.40) '2 2 (и — 2) 0,5 (х — х) ~~> ' (х, — х)" ,, и и доверительной вероятности,О: (3.41) В формуле (3.41) учтены поправки на смещение оценок, имеющие место при прямых наблюдениях.

Доверительные границы (3.28)-(3.30) для медианной кривой усталости получают из (3.34), как частный случай при р = о,5, л = о. из которого, во-первых, в точности следует модель нецентрального распределения Стьюдента (3.34), во-вторых, после преобразований можно определить приближенное значение 1, соответствующее числу степеней свободы у =55 †, параметру нецентральности 3.6. Преобразование функции амплитуды напряжений цикла Остановимся на преобразовании функции амплитуды напряжения цикла ~'(~„). 1см. уравнение кривой усталости (3.8)). Наилучшим преобразованием, по — видимому, для этой функции является следующее: (3.42) так как приближенная дисперсия такой функции в соответствии с (3.5) равна: (3.43) (3.44) о„=(.'+О (АХ)' (3.45) В вышеприведенных уравнениях в качестве независимой случайной величины следует подставлять х =1Ь1 „) или х =г„.

Таким образом, в уравнениях кривых усталости (3.44), (3.45) подлежат оценке в соответствии с разработанной выше методикой лишь два параметра С и О, в то время как оценка показателя степени у производится независимо где г„- коэффициент вариации предела выносливости.

Коэффициент вариации предела выносливости может быть в первом приближении принят независимым от величины долговечности и даже, при отсутствии опытных данных, заменен оценкой коэффициента вариации временного сопротивления. Для легких сплавов это подтверждается на основании анализа результатов массовых усталостных испытаний 1"241.

Однако нет никаких существенных причин отвергать и другие варианты преобразования Дс „). Например уф;) = о;,. В этом случае уравнения кривых усталости будут иметь следующий вид: по уравнению (3.1). Это позволяет, прежде всего, повысить точность определения расчетных характеристик долговечности и предела выносливости по кривой усталости, а также существенно сократить объем потребных для достижения заданной точности длительных и дорогостоящих усталостных испытаний.

В соответствии с описанной методикой точечной и доверительной оценки характеристик сопротивления усталостному разрушению, в таблице 3.2 представлены результаты статистической обработки усталостных испытаний титановых и алюминиевых сплавов (первичная обработка представлена в таблице 3.1). В таблице 3.2 приняты следующие обозначения: м„- заданные (базовые) долговечности; ~,- пределы выносливости, определенные по кривым усталости (см. уравнение (3.44)); С о- оценки параметров кривых усталости (см.

уравнения (3.12), (3.14)); ~„- оценка среднего квадратического отклонения (3.21); 1ВЛ',(О,5)- нижняя 95'Ъ доверительная граница для медианы логарифма базовой долговечности (30); 1вл'(о,о~)- квантиль уровня р=0,01 логарифма базовой долговечности (3.31); !вл,(о,о~)-нижняя 95;4 доверительная граница для квантиля уровня р=0,01 медианы логарифма базовой долговечности (3.34); !вы~„(о,о1)-верхняя 95',4 доверительная граница для квантиля уровня р=0,01 медианы логарифма базовой долговечности (3.34). Как видно из таблицы 3.2, достаточно стабильным оказывается значение параметра С (в пределах 2,2 -2,39), что связано с незначительной вариацией логарифма амплитуды напряжения цикла, а также показателя степени ~ =--(~-,т) кривой усталости (в пределах 1,48-3,07). В то же время наблюдается достаточно широкий диапазон доверительных оценок для яв долговечности (иногда на два порядка по долговечности), что связано, прежде всего, с высоким рассеяниям усталостных свойств исследуемых материалов, тем большим, чем ниже уровень амплитуд переменных напряжений.

В качестве иллюстрации этого на рисунке 3.2 приведены кривые усталости образцов сплава ВТЗ-1 и нижняя 95','0 доверительная граница квантиля уровня р=0,01 для нее. Там же отмечены экспериментальные данные долговечностей до разрушения. Необходимо отметить, что при обосновании расчетных характеристик долговечности и пределов выносливости, в расчет необходимо закладывать именно эти нижние толерантные границы для обеспечения гарантированного ресурса элементов конструкций авиационной и ракетной техники.

При этом методика расчета указанных характеристик для образцов, конструктивных элементов или натурных деталей не изменится, меняется, как правило, в силу особенностей отработки элементов конструкций авиационной техники, лишь объем испытанных объектов. Очевидно, что от объема испытаний также существенно зависит точность определения и ширина доверительных интервалов расчетных характеристик долговечности и пределов выносливости. 87 Таблица 3.2. Статистическая обработка результатов усталостных испытаний при построении кривых усталости ВТЗ-1 1О 4,81376 4,23162 4,05313 4,38495 !о 5,8525 4,85749 5„00922 10 6,62501 5,41753 5,! 12 5„68457 5.10 7,09015 5,77336 5,36455 6,16! 35 ВТЗ-1 !о 4,88!99 4,28828 4,1484 ! 4,40007 106 4,7203 5,04818 4,90426 5,85676 5,6612 10 5.10 6„06336 ВТЗ-1 лт, 10' 106 5,75055 6,71644 6,23291 6,02138 10 5.10 7,2419 6,37224 6,66701 ВТЗ-1 4,38657 4,25521 4,4848 10 4,89743 5,06045 10 5,78178 4,90062 4,69745 10 5,531 5.10 5,79688 В95 10 10 10 6,85979 5,97833 5,85492 6,08838 5.10 6,34242 6„4927 7,47202 и =1,00 сг,, МПа 567,7623 465,65492 408,68226 382,23973 и„= 1,40 и,, МПа 452,66546 367,59183 322,36459 302,02565 и =1,90 о,, МПа 274,1382 230,88552 211„79534 204,279 и =2,36 и,, МПа 292,81866 227,73451 200,5602 190,12526 и =1,00 с,, МПа 287,1866 233,67123 209,32262 199,47394 (.' =2,39066 18 Ю, !0,5) С' =2„32245 !8 Ю,!0,5) 6,71165 7,26036 С =2,26397 18 Лт,!0,5) 4,94234 5,88558 С =2,20978 !8 Лт,<0,5) 6,50422 6,93435 с=2,гг9о! 1Ы Лт~(0,5) 4,96725 5,9426 в=3,95223 18 Лт(О,О!) 1) =5,44379 !8 Л <О,О !) 5,44281 5„77751 В =24,32677 1ВЛ !О,О!) 4,69995 5,42016 В =34,01751 18Л !0,01) 5,2791 5„47869 В =18,20882 1аЛ !О,О!) 4,65496 5,36965 1- у =-1,48265 !ВЛ,!0,01) 4,66297 1 — т =-1,73546 !ил", !0,01) 5,18041 5,45024 1- т =-3,06958 !ВЛт, !О,О !) 4,60486 5,2556 6,02036 1-~=-3,036 1ил,(0,01) 4,98853 5,13174 1- т =-2,7185 18Лт,(0,01) 4,60944 5,29539 6,17934 ст„=0,0111 18Л„!0,01) ст„=0,00803731 18Л„!0,01) ст„=0,0006432 !ВЛ„!0,01) 4,76423 5,53477 ст„=0,0015834 18Л ЛО,О1) ст„=0,00116074 !ил"„(0,01) 4,69326 5,4325 5ОО,ОО 450,00 400,00 З5О,ОО а,,мпа зоо,оо 250,00 200,00 Г5О,ОО з.оо 4.00 5,00 6„00 7,00 3.00 9.00 ~.до~ Рис, 3.2.

Кривая усталости (1) образцов сплава ВТЗ-1 с а. =2,зб и 95% нижняя доверительная граница уровня р=0,01 Выводы по главе 3 1. Разработана методика функционального преобразования долговечности до разрушения при статистическом анализе усталостных испытаний, в результате которой стабилизируются характеристики рассеяния усталостных свойств в связи с вариацией долговечности, что особенно актуально при экстраполяции в область больших долговечностей и обосновании доверительных областей для долговечности и пределов выносливости. 2. Разработанная методика статистического анализа инвариантна к типу испытываемых объектов, позволяет повысить точность определения расчетных характеристик долговечности и предела выносливости, существенно сократить объем потребных для достижения заданной точности усталостных испытаний, а, следовательно, снизить их длительность и стоимость.

Глава 4. Методика расчета точных распределений непараметрических критериев проверки статистических гипотез Одной из важных задач статистического анализа является задача расчета процентных точек критериев проверки гипотез. Особенностью этой задачи для непараметрических ранговых критериев является необходимость точного расчета процентных точек распределения вследствие большой неточности приближенных аппроксимаций при малых объемах наблюдений, в то время как непараметрические критерии особенно эффективны именно при работе с малыми выборками. Нецелесообразность применения обычных в практике статистического анализа нормальных или иных аппроксимаций ~78-88~ для этих целей объясняется тем, что известные ранговые критерии (критерий знаков, критерий знаковых рангов Уилкоксона, двухвыборочный критерий Уилкоксона, критерий Краскелла-Уоллиса и др.) относятся к области непараметрической статистики, когда по тем или иным причинам не делается никаких предположений о виде гипотетической функции распределения исследуемой случайной величины.