Диссертация (Разработка оптимальных методов статистического оценивания характеристик усталостных свойств материалов и элементов авиационных конструкций), страница 12

В технических задачах, особенно при анализе результатов механических испытаний, подобная ситуация возникает вследствие малых объемов испытаний, значительного рассеяния свойств вследствие структурной неоднородности конструкционных материалов и большой вариативности внешних факторов при проведении испытаний. Таким образом, возникает парадоксальная ситуация, когда для успешного применения аппроксимаций распределений статистик непараметрических критериев необходимы довольно большие объемы данных, а сами эти критерии имеют особую эффективность по вышеуказанным причинам лишь в малых выборках.

Увеличение выборочных совокупностей во многих случаях просто невозможно при испытаниях дорогостоящих материалов, конструктивных элементов и натурных объектов. Кроме того, если этого удается достичь, то наиболее целесообразным является традиционный параметрический яо статистический анализ, обладающий к тому же, всегда большей эффективностью по сравнению с непараметрическими методами.

Поэтому актуальной является задача точного расчета распределений статистик непараметрических критериев, Существуют точные таблицы ~791 процентных точек распределений непараметрических критериев, известные рекуррентные формулы и производящие функции частот и моментов 139,781, однако методики и алгоритмы быстрого расчета отсутствуют. Рассмотрим некоторые из вышеуказанных критериев. 4.1.

Непараметрические критерии проверки статистических гипотез 4.1 1. Критерий знаков При использовании критерия знаков [30,39,78,100,1011 рассматривают последовательность, состоящую из и независимых испытаний, в каждом из которых могут осуществиться лишь два исхода: положительный и отрицательный. Критерий знаков для медианы предназначен для проверки гипотезы равной вероятности положительного и отрицательного исходов. Пусть проведены испытания первой (Х) и второй (У) совокупностей и получены значения ХМС, расположенные в порядке испытаний: У~ У~ " 'У„.

Далее определяют знаки разностей пар результатов испытаний образцов с одинаковым индексом. Нулевые разности не учитывают. Пусть в и пар испытаний получены Й положительных разностей, и — отрицательных и 1 нулевых; л~ и -1. Нулевую гипотезу о равенстве медиан ХМС двух совокупностей не отвергают, если число к попадает в область допустимых значений й, й „с уровнем значимости и. Границы допустимых значений рассчитывают по формулам; 91 Для проверки нулевой гипотезы Н„: Н=0,5 при альтернативной гипотезе Н,: 1'-0,5 должно выполняться неравенство» >»., При альтернативной гипотезе Н,;- 1'>0,5 должно выполняться неравенство » «»;„ =л, -» .

При двусторонней альтернативной гипотезе выполняется неравенство Н,,: Р ~ 0,5, »„«А «»., с уровнем значимости 2а. Критерий знаков не предполагает принадлежность пар результатов испытаний ХМС общей генеральной совокупности. 4.1.2. Критерий знаковых рангов Уилкоксона В отличие от критерия знаков критерий знаковых рангов Уилкоксона учитывает расстояние наблюдений относительно нуля посредством рангов 130,39,78,100,101). Пусть пары случайных величин,'Х 1'1 представляют собой результаты механических испытаний двух совокупностей с совместной функцией распределения 1'1ХУ). Одну из выборок подвергают некоторой обработке.

Результаты механических испытаний другой выборки используют для контроля влияния обработки. Обработку и контроль назначают независимо и случайно. Критерий проверяет нулевую гипотезу об отсутствии различия между обработкой и контролем. Это означает, что при выполнении нулевой гипотезы случайная величина 7=-Х 1' распределена симметрично относительно нуля.

Критерий также используют для проверки гипотезы о симметрии непрерывного распределения 1'(х) относительно центра О . Для этого вместо второй выборки задают п значений, равных д . Результаты испытаний образцов первой Х и второй У совокупностей располагают в порядке испытаний: 92 х,,х,,...„х„, УпУг " Уи у1,~г =- х~ у~."",х„= х„у„.

Абсолютные значения разностей ~х, ~ располагают в порядке возрастания (ранжируют) и подсчитывают сумму рангов 7' (порядковых номеров) положительных значений х, в этом ряду. Нулевые разности не учитывают, то есть и, =-. и-/. Для проверки нулевой гипотезы: Н,: 0 = О где д медиана генеральной совокупности разностей, из которой извлекают выборку, при альтернативной гипотезе Н,: д «О должно выполняться неравенство Р > 1;„. При альтернативной гипотезе Н„: О > О должно выполняться следующее неравенство: п,.(п, +1) — ОЗ 2 а! ' (4.2) При двусторонней альтернативной гипотезе Н, 9 ~ О должно выполняться неравенство !'„.

«т « ~' с уровнем значимости 2а. Точные критические значения вычисляются с помощью производящей функции частот, которая при выполнении нулевой гипотезы имеет следующий вид 1391: в Д (1+ х') М(х)= '' (4.3) Р(г,/с) = Р(1 — 1,Ус)+Р(,1 — 1„А — г), Р(п,х) = '; I =1..п„3с = О..х, — Р(п,х) (4.4) Степень полинома (5.3) определяет все возможные наблюденные значения статистики т в выборке объема и, а коэффициенты полинома определяют распределение вероятностей этих значений. Другим способом точного вычисления распределения статистики знаковых рангов Уилкоксона является использование следующей рекурентной формулы 1781: при следующих начальных условиях: (4.5) Методика расчета точного распределения статистики критерия знаковых рангов Уилкоксона в соответствии с моделью (4.4), (4.5) реализован в компьютерной программе в данной диссертационной работе.

4.1.3. Двухвыборочный критерий Уилкоксона Двухвыборочный критерий Уилкоксона предназначен для проверки гипотезы об отсутствии сдвига двух независимых выборок, то есть об отсутствии различия между медианами двух совокупностей при одинаковом, но произвольном распределении ?30,39,78,100,10Ц Пусть х,, т,,...,х„, случайная выборка из ~'(х-о,), у,,у,,...,у„- случайная выборка из 1'(у-~,,) ( и<и). Функцию распределения 1" не предполагают симметричной, но форма распределения должна быть одинаковой для двух совокупностей.

Для проверки нулевой гипотезы о том, что обе выборки извлечены из одной и той же совокупности Н„; Л=О,,-О„=О против альтернативы Н,,:А~О строят вариационный ряд из ~ = и+и наблюдений и присваивают им ранги, равные порядковому номеру наблюдения в общем вариационном ряду. Далее рассчитывают сумму рангов меньшей выборки в общем вариационном ряду: (4.6) Для проверки нулевой гипотезы: Н„: Л = О при альтернативной гипотезе и,,: л < О должно выполняться неравенство и' > и: . При альтернативной гипотезе Н.,: Л > О должно выполняться следующее неравенство и' < и;„„. При двусторонней альтернативной гипотезе и,,: л ~О должно выполняться неравенство и;, < и' <и', с уровнем значимости 2а .

Точные критические значения статистики г~, считающей сколько раз 91 элемент первой выборки превосходит элемент второй выборки 1г'=И'-О5 т(иг+1) ВЫЧИСЛявтСя С ПОМОЩЬЮ ПрОИЗВОдящЕй фуНКцИИ ЧаСтОт, которая при выполнении нулевой гипотезы имеет следующий вид (391: (4.7) сИ(х)— Ю Н (и+т)!П(х' — 1) П(х' — !) Методика расчет точных критических значений суммы рангов такая же, как и описанная выше методика для критерия знаковых рангов. Другим способом точного вычисления распределения статистики Уилкоксона является использование следующей рекурентной формулы ~781: Р(г'„1',1г) = — ' Р(г, 1' — 1,/г — г)+ — Р(г' — 1, 1',1с) г' =1..т,' г' =1..гг;lг = О х, 1',...

г г. г+/ г+ / (4.8) при следующих начальных условиях: (4.9) Р(г, 1',1г) =Опрп1г <О Р(гО,*х1=1 п1ги)г = ОР(гой) = О при 1с ~ О . 4.1.4. Критерий Краскела-Уоллиса Для проверки нулевой гипотезы строят общий вариационный ряд из и = ,'г и, наблюдений и рассчитывают статистику: 12 ' Л,' О = . ~~> — ' — 3. (гг+ 1), (и+1),, гг, (4.10) Критерий Краскела-Уоллиса обобщает задачу о двух выборках на СЛуЧай гг ВЫбОрОК: х„, г=1,,г;7=1,п, С фуНКцИяМИ раСПрЕдЕЛЕНИя Р'(х-д,), где и, - число наблюдений в г-ой выборке. Нулевая гипотеза утверждает, что 1г выборок из произвольных совокупностей можно рассматривать как одну (объединенную) выборку из общей совокупности, то есть утверждается равенство параметров сдвига о„когда не задано значение общего параметра масштаба н„;в, =о, =...

=в, против альтернативы иг;в,,...,в, не все равны. где л, - сумма рангов ~ ой выборки в общем вариационном ряду. Далее рассчитывают величину Н,: (4.11) которую сравнивают с критическим значение н„: Н„=0,5 [Ф вЂ” 1) 1', „+Х,,„1; (4.12) В настоящей диссертации разработаны несколько методов расчета точного распределения статистик ранговых критериев. 4.2.1. Методика, основанная на умножении и делении полиномов Первая методика основана на формуле (4.7) и предполагает построение алгоритма автоматизированного умножения и деления полиномов, который реализован в стандартном пакете научных программ ЮР1.1В, написанном на Фортране ~94-96).

Автором разработаны где ~; . - квантиль уровня 1 -а Р- распределения с числами степеней свободы т, =1- ~, т, = У-~; ,т,'„ - квантиль уровня ! -а распределения у- 'с числом степеней свободы у = ~ — 1. Нулевую гипотезу принимают, если и, < н„с уровнем значимости а. В противном случае принимают альтернативную гипотезу. Другим весьма эффективным способом проверки й- выборочной гипотезы является попарное сравнение выборок по критерию Уилкоксона с вычислением точных критических значений). 4.2. Разработка методики расчета точного распределения статистик ранговых критериев 96 компьютерные программы умножения и деления полиномов, заданных своими коэффициентами, переведенные с фортрана на более современный оАЯГ, Также разработана программа расчета точного распределения статистики Г двухвыборочного критерия Уилкоксона, основанная на формуле (4.7) циклического умножения и последуюшего деления полиномов ~М и программа расчета суммы рангов н' =-,'>" Я, меньшей выборки объема т или ~.,1 числа превышений элементами меньшей выборки элементов второй выборки ~У=И' — 0,5 т(иг+1).

4.2.2. Методика реккурентного преобразования вероятностей Вторая методика основана на модели (4.8), (4.9) и реализована в среде МайсагХ Результатом работы программы являются точные значения вероятностей распределения статистики критерия, соответствующих значениям сумм рангов меньшей выборки, При этом автор не утверждает, что в представленной программе реализован рациональный алгоритм, но его работоспособность и быстродействие проверены на практике. 4.2.3. Методика попарного сравнения в к-выборочной задаче Вычислительная модель для задачи проверки гипотезы об отсутствии сдвигов в А-выборках реализована в программе в среде Ма11тсад, для случая попарного сравнения выборок по критерию Уилкоксона.