Диссертация (Разработка оптимальных методов статистического оценивания характеристик усталостных свойств материалов и элементов авиационных конструкций), страница 13

Программа основана на формуле (4.8) и соответствующей программе для двухвыборочного критерия, то есть попарном сравнении всех й — выборок друг с другом. Данный подход к задаче представляется более предпочтительном, чем, например, применение критерия Краскелла-Уоллиса, еше и потому, что позволяет выделить отличающиеся выборки из обшей совокупности, в то время как, критерий Краскелла-Уоллиса этой возможности не представляет.

4.2.4. Методика прямого перебора в к-выборочной задаче О наличии моделей аналогичных (4.7) или (4.8) для распределения 97 статистики критерия Краскелла-Уоллиса автору неизвестно. Точное распределение статистики (4.10) критерия Краскелла-Уоллиса можно получить перебором всех возможных вариантов расстановок рангов в /свыборочной совокупности результатов наблюдений (как, впрочем, и для всех других ранговых критериев1. С этой целью разработана программа, суть которой поясним на примере.

Пусть имеется ~3 ранжированные в порядке возрастания выборки (Х,У,Х) из произвольных непрерывных совокупностей с объемами наблюдений 1, 1 и 2. Число возможных вариантов расстановок рангов равно; л! и= ' =12, и,!.гг,! ггг! где гг=',г гг,.- общий объем испытаний; гг - число выборок; л, - объем испытаний в г- ой выборке. Эти варианты таковы: ЛХ1;7,,г,; 2. Х7,,1;Л,; З. Хг,7,,1; 4, 1;Х7,,7,; 5. 1;7,,ХЛ,; Гг. 1;7ьг,,Х ~гг,ХУК,; ККг,Х7,,1; 97,,г,,Х1", ИГ,,~,ХХ; П.гг,1;Х7,;П.7,Х7,,Х В каждом из вариантов подсчитывается статистика (4.10'1, и соответствующая ей частота — 1ги. Затем одинаковые значения статистик объединяются с суммированием частот и ранжируются в порядке возрастания. В рассмотренном примере эти значения равны: Таким образом, задача состоит в разработке методики перебора всех вариантов для любого количества наблюдений, количества выборок и вариантов распределения объектов в каждой выборке.

Такая модель реализована в авторской программе путем организации вложенных циклов (количество циклов равно суммарному объему наблюдений, в каждом из которых составляется вектор рангов а, проверяется ряд условий (не превышения числа выборок к, не превышения общего объема и, соблюдения распределения объектов по выборкам иь и вычисления для каждого варианта статистики Н, в которой также определяется наличие одинаковых значений и уменьшается в этом случае число вариантов.

На последнем этапе выполнения программы после выхода из всех циклов вычисляются значения статистики критерия и соответствующие накопленные вероятности как в вы шеприведенной таблице. Выводы по главе 4 1. Применительно к техническим задачам, возникающим при обработке результатов механических испытаний, для которых характерным являются малые объемы наблюдений и большие разбросы данных, обоснована необходимость применения точных распределений ранговых непараметрических критериев с целью повышения достоверности заключений о независимости различающихся выборочных совокупностей.

2. Рассмотрены математические модели, основанные на производящих функциях частот и рекурентных уравнениях для критериев знаковых рангов Уилкоксона и двухвыборочного критерия Уилкоксона, разработаны компьютерные программы в программных средах Майся~ и Ваяс. 3. Для к-выборочных критериев предложена модификация двухвыборочного критерия Уилкоксона путем попарного сравнения каждой выборки друг с другом, разработана методика и программы расчета. Для й-выборочного критерия Краскелла-Уоллиса разработана методика прямого перебора перестановок рангов и компьютерные программы, пригодные для последующей рекурсивной оптимизации циклических процедур. Глава 5.

Методика оптимального планирования усталостных испытаний Повышение ресурса, долговечности и надежности ответственных элементов конструкций является приоритетной задачей на всех этапах проектирования, производства и эксплуатации изделий авиационной техники. Значительная часть в общей структуре затрат, связанных с обеспечением ресурса, приходится на статические и особенно циклические испытания, как материалов и полуфабрикатов, так и натурных элементов конструкций.

Высокая стоимость подобных испытаний связана со стоимостью современных материалов, физико-механических, термомеханических, химико-технологических и иных воздействий на объекты испытаний, которые являются обязательными этапами при отработке технологии производства конструкций, стоимостью изготовления моделей, прототипов и, наконец, натурных объектов, значительными временными затратами при проведении усталостных испытаний, В этих условиях оптимизация испытаний позволяет существенно снизить затраты за счет грамотной формулировки целевых функций, критериев обеспечения надежности, вероятностно-статистического обоснования факторов планирования эксперимента и точности оценивания расчетных характеристик выносливости и долговечности силовых элементов конструкций.

Среди всего многообразия технологий испытаний авиационной техники особая роль отводится усталостным испытаниям материалов и элементов конструкций в связи с их большой трудоемкостью, длительностью, весьма значительным рассеянием характеристик сопротивления усталостному разрушению, связанным с неоднородностью структуры конструкционных материалов и особенностями эксплуатационной нагруженности летательных аппаратов.

н)0 В связи с вышеизложенным в настоягцей работе рассматривается задача оптимального планирования прямых усталостных испытаний, к которым относят испытания по определению долговечности до разрушения или до образования усталостной трещины, а также более трудоемкая задача планирования косвенных усталостных испытаний, к которым относят испытания по определению справочной характеристики — предела выносливости [30, 1051. Последняя задача рассматривается в постановке, связанной с построением кривой усталости, как наиболее надежном методе определения предела выносливости в широком диапазоне долговечностей, соответствующем реальному спектру эксплуатационной нагруженности элементов конструкций авиационной техники. При планировании усталостных испытаний, то есть при определении минимального необходимого объема выборки, следует исходить из целей испытаний. Рассмотрим задачу, связанную с планированием испытаний по оценке квантильных значений характеристик усталостных свойств.

В этом случае объем выборки определяется исходя из нормативной величины ширины доверительного интервала для квантиля исследуемой характеристики. При прямых испытаниях (то есть при испытаниях до достижения критического состояния на одном уровне амплитуд напряжений цикла) такой характеристикой является логарифм долговечности х -lдЛ~, распределение которой предполагается нормальным.

Верхние и нижние доверительные границы для квантиля х~ уровня р логарифма долговечности х„„х„ рассчитывают на основе гипотетического нормального распределения по оценкам его параметров по формулам (2.54), (2.55). На рисунке 5.1 в схематическом виде показаны доверительные границы для квантиля распределения логарифма долговечности. Для примера на рисунке указаны симметричные относительно медианы (Р=0,5) уровни квантиля 0,01 и 0,99, то есть: Однако после проведения полного объема испытаний, необходимо уточнить относительную ошибку в долях оценки квантиля с учетом, полученных по результатам испытаний, оценок распределения логарифма долговечности: х,— х,, Л,,= Х вЂ” Х Л ~7 И ~Р Хр или Очевидно, что Л,,= г„+!/у ' где 7 = ~~а - оценка коэффициента вариации логарифма долговечности. Эта ошибка уже зависит от оценок параметров распределения логарифма долговечности.

Если ошибка (5.4) не удовлетворяет требованиям точности, то объем испытаний должен быть увеличен и испытания продолжены до достижения требуемой точности. Таким образом, для решения задачи планирования усталостных испытаний с целью оценки квантиля распределения логарифма долговечности, прежде всего, необходимо разработать методику расчета объема испытаний и по уравнениям (5.1), (5.2) при заданных значениях относительной ошибки ф, уровня квантиля распределения логарифма долговечностир, доверительной вероятности р". При этом наибольшие затруднения представляет необходимость многократного вычисления обратной функции нецентрального распределения Стьюдента в точности соответствующей заданному уровню доверительной вероятности, значение которого равно интегралу вероятностей нецентрального распределения при том, что п и р являются аргументами функции распределения. Чтобы избежать связанных с этим итерационных процедур, в настоящей работе предлагается следующая методика численного расчета (см, рисунок 5.2).

шз Методика предполагает задание в качестве исходных данных величин относительной ошибки квантиля ф, минимального объема выборки равного 3, уровней доверительной вероятности и квантиля. Затем, исходя из соотношений ~5.1) или (5.2), вычисляется значение квантиля и интеграла вероятностей нецентрального распределения Стьюдента. Значение объема выборки циклически увеличивается на единицу до тех пор, пока расчетное значение интеграла вероятностей не превысит значения заданной доверительной вероятности,И В Приложения ПЗ представлены рассчитанные таким образом минимальные объемы выборок.

В связи с особенностью расчетов эти объемы соответствуют доверительным вероятностям большим или равным заданным значениям 0,8; 0,9; 0,95; 0,99. Аналогично может быть решена задача определения квантилей нецентрального распределения Стьюдента (см. рисунок 5.3), но при этом на входе задается значение относительной ошибки ф от нуля с шагом 0,0005 достаточным, как показывают расчеты, для точного вычисления квантиля. Вычисления продолжаются до тех пор, пока расчетное значение интеграла вероятностей не превысит значения заданной доверительной вероятности Р'.

В Приложении П4 представлены значения относительной ошибки для объемов выборки от 3 до 50 при тех же значениях доверительной вероятности, что и в предыдущем алгоритме. Необходимо отметить, что разработанные автором компьютерные программы расчета позволяют производить весьма быстрые вычисления без итерационных процедур во всех реальных диапазонах вероятностей и уровней доверительной вероятности. Рис.