Диссертация (Разработка оптимальных методов статистического оценивания характеристик усталостных свойств материалов и элементов авиационных конструкций), страница 10

72 В работах 11,241 установлено, что наиболее обоснованной формой зависимости выборочного среднего квадратического отклонения логарифма долговечности от выборочного среднего значения логарифма долговечности в области многоцикловой усталости является степенная зависимость; ('„„.—.В (1вЛ)', (3.1) где В, 2 - параметры, оцениваемые по результатам усталостных испытаний на ряде уровней (обычно трех-четырех) амплитуд напряжений циклов.

Значения указанных параметров для легких сплавов колеблются в следующих пределах: В --: (,6 (О" 2 2 (О, у: — („2 + 4,2. (3.2) где и2 - число образцов, испытанных на (' - ом уровне амплитуды напряжений; и- число таких уровней, ('-- (..и. Тогда на основании метода наименьших квадратов имеем: (3.3) где у= ' ', у, = ля,„,, П7, ~> х, х = ' ', х, =1ц(!цЛ!,). Если ввести следующее преобразование логарифма долговечности д(1аЛ) =®Л)' ', (3.4) В уравнение (3.1) при обработке усталостных испытаний подставляют обычные непараметрические оценки для выборочного среднего значения 1в!у и выборочного среднего квадратического отклонения .я!„, логарифма долговечности, вычисляемых для каждого уровня (' переменных амплитуд напряжений: то на основании теоремы о дисперсии функции случайной величины приближенно получим: 2 У2 ~ Ф 52 1 ) ~(1~) х~ ~ ~~1цф (3.5) После подстановки (3.1) в (3.5) имеем: (З.б) Указанные теоретические предпосылки положены в данной работе в основу дальнейшего статистического анализа большого объема (порядка 200 образцов) реальных усталостных испытаний (на усталостной машине на изгиб с вращением, испытания описаны в Введении, в части методов, использованных в работе) образцов с различной степенью концентрации напряжений из титанового сплава ВТЗ-1 и алюминиевого сплава В-95 с целью проверки разработанной модели стабилизации дисперсии логарифма долговечности (см.

Приложение П2). Вид образцов изображен на рис. 3.2.1. Рис. 3.2.1 Вид испытываемых образцов. Таким образом, можно предположить, что преобразование долговечности в соответствии с уравнением (3.4) при предварительной оценке параметров корреляционного уравнения (3.1) по результатам усталостных испытаний, приведет к приближенной независимости дисперсии функции долговечности ~(1вж) от среднего значения логарифма долговечности. 3.2. Статистическая апробация модели и методика функционального преобразования долговечности 74 и =1,00 Х =- 2,483 Х„„- 7,81473 Х~„„5,7168 В=0,0061 ВТЗ-1 у=(181~)' ' ст,, МПя 5' 550 4,94722 0,2573378 0,0938316 0,00691 5,82606 0,725101 500 18 0,0751806 0,01283 0,7535213 6,44956 450 18 0,0645626 0,011045 400 6,80786 0,4971188 0,058697 0,0063927 а =1,40 Х = 2,735 В=0,00387 Хь ~-' 5,7799 у=(18~)' ' Х„.„-.9,487 ВТЗ-1 о.„, МПа С этой целью была составлена программа на ЭВМ в среде Майсас/ полной статистической обработки усталостных испытаний с преобразованием долговечности (3.4) с последующей проверкой по критерию Бартлета гипотезы о равенстве ряда вычисленных выборочных дисперсий преобразованной функции долговечности.

Во всех случаях для 4 выборочных совокупностей критерий подтвердил с уровнем значимости 5% указанную гипотезу. В таблице 3.1 представлены результаты первичной статистической обработки усталостных испытаний, в которой содержатся значения оценок средних !8У и средних квадратических отклонений .~„„ логарифма долговечности для разных уровней амплитуд переменных напряжений симметричного цикла и соответствующие им оценки преобразованной функции долговечности. Как видно из таблицы наблюденное значение критерия Бартлета во всех случаях не превышает критического, что подтверждает гипотезу о стабилизации выборочной дисперсии преобразованной долговечности.

Таблица 3.1. Результаты первичной статистической обработки усталостных испытаний гладких а. =1,00 и надрезанных образцов титанового сплава ВТЗ-1 и алюминиевого сплава В-95 (п — объем испытаний, Х,„„— наблюденное значение критерия Бартлета, Х„.;, — критическое значение критерия Бартлета для уровня значимости 5%, В, х - оценки параметров уравнения (1), и. - теоретический коэффициент концентрации напряжений 4,321 0,2047926 0,07924 0,0070208 0,2744203 0,00568628 4,9875 0,06188 450 10 5,7729 400 10 0,6899471 0„04928 0,0109713 0,5452152 350 14 6,72457 0,0372 0,005834 7,09254 0,8663253 0,0081!98 0,0346 3!О 13 и =1,90 Х =4,07 8=0,0001714 Х!„,.!'-:-0,595 Х,.„,-:- 5,991 ВТЗ-1 у = (!ВЫ)'-" и„, МПа 0,0090318 0,0774577 0,000472!5 4,6362 0,00652103 0,1633963 270 5,16218 0,00061701 0,00291507 215 0,3829018 0,000498337 6,73773 и =2,36 Х =-4,036 8=0,0003908 Х!,„, !=5,4769 !! = (18 ДГ) Х,,„;-7,81473 ВТЗ-1 ", МПа 0,0128553 4„199 0,0904516 0,000805228 400 0,5706649 300 10 5,3! 27 0,00661844 0,001728022 5,55418 6„87473 0,4559256 0,665394 0,00155849 0,000904369 250 0,0057117 0,00302821 200 и =1,00 у = 3,718 В=0,0003893 Х!,„, !=1,471 Х,„„=9,4877 В95 у=(18Ж)' ~ ~", МПа 330 20 4,5284016 5,1295!55 0,1088599 0,1566086 0,01652 0,0117931 0,00!069!5 0,000995192 285 20 0,00108241 0,00931514 26 5,6039029 0,2449625 254 228 6,254768 0,3894526 0,00698222 0,001235696 7,0079183 0,00556295 0,000995699 2!О 12 0,5106482 В этом случае эмпирические дисперсии функций р(181У) долговечности, вычисленные для каждого уровня амплитуд напряжений, объединяются в общую оценку !" Я'„,,, (и, — 1) ю ="' ,2:: ! И ) и — и !--.! (3.7) 3.3.

Методика оценки параметров кривой усталости при функциональном преобразовании долговечности Преобразование (3.4), приводящее к стабилизации весовой функции, особенно полезно в дальнейшем статистическом анализе для оценки параметров уравнения кривой усталости. Рассмотрим кривую усталости следующего вида: 7Г> ДГт„) =С+В (18%) ' (3.8) Приведем уравнение (3.8) к обычному виду линии регрессии: у=а+6 (х — х), (3.9) где у =(АЖ)' х (3.10) х = ~(о„), Оценки параметров й,й регрессионного уравнения (3.9) определяются минимизацией суммы квадратов: О= ,'~ и, ~>~, — у,~ =~~~ и, 1у, — а — Ь (х, — х)1, (3.1 1) (3.12) (3.

13) (3.14) ,Гп, 1:1 (3.1б) где С и О, подлежащие оценке параметры уравнения кривой усталости, в то время как показатель степени уравнения кривой усталости 1 —,т определяется по предварительной независимой оценке (3,4). Линейность модели (3.9) проверяется после расчета всех оценок на основании Г-критерия [38,39,100,1011 вычислением дисперсионного отношения; (3.17) где (3. 18) 2 дисперсия вокруг эмпирической линии регрессии, (3.

19) внутрисистемная дисперсия,,~",'„„, - оценки условных дисперсий величины у на данном уровне х. Гипотеза о линейности модели принимается, если расчетное значение (3.17) не превышает критического, вычисленного для уровня значимости а и чисел степеней свободы т, =п-т, т", =и-г: (3.20) у ~ у Ы'Х2) где и - суммарный объем испытаний по всем уровням амплитуд напряжений циклов. В этом случае дисперсии объединяются в общую оценку: 3.4. Методика доверительного оценивания параметров при функциональном преобразовании долговечности для медианы При построении доверительных интервалов для параметров и в целом доверительной области кривой усталости оценка дисперсии а,.', играет важную роль.

В соответствии с теорией линейной регрессии [38,39) при предположительно нормальном законе распределения зависимой случайной величины 1 = (1ил')'-' на каждом уровне независимой случайной величины х, что в нашем случае подтверждается экспериментальными данными ~1,2,23), а также физической природой логарифм ически нормального закона распределения, верхние (1) и нижние (и) доверительные интервалы имеют следующий вид ~30): (3.22) (3.23) где дисперсии оценок параметров а и Б линии регрессии (3.9) определяются в соответствии с методом максимального правдоподобия обращением информационной матрицы вторых производных: д'Д (3.24) (3.25) 79 д'Д д'Д садЬ ИЙ~ Поэтому дисперсии оценок параметров а и Ь имеют следующий вид: (3.2б) (3.27) ~~~ и, (х, — х)~ 1,1 В где и =,'~ л, -общий объем испытаний, ~ -'1 „(п-~) - квантиль уровня р или 1-р распределения Стьюдента с ~'=и — '~ степенями свободы, ф, 1-ф - уровень доверительной вероятности, обычно принимаемый равным 0,9 или 0,95 ~25,30).

Тогда доверительный интервал для у имеет следующий вид: у„, =у + ~, д(л — 2,) ~В(у)Г, (3.28) или у„, =а+ 6 (х — х)+ ~, ~,(л — 2) ~13(а) ->1ф~) (х — х)'~ (3.29) или (3.30) При этом, в соответствии с методом максимального правдоподобия оценки параметров а и Ь оказываются статистически независимыми ( ~„=-~„= о) в случае записи уравнения линии регрессии в виде (3.9), так как 3.5. Методика доверительного оценивания параметров при функциональном преобразовании долговечности для квантиля При анализе больших объемов усталостных испытаний часто возникает задача статистического обоснования квантильных кривых усталости или кривых усталости равной вероятности разрушения ~1,23,24,25,27,30,321, представляющих собой с математической точки зрения кривые, отличающиеся от исходной медианной (р=0,5) кривой усталости (3.8) на величину приращения квантиля случайной величины у для заданного уровня (3.31) где у, -медианная оценкау (3.1б).

Необходимо отметить, что в условиях предлагаемой в настоящей работе модели стабилизации дисперсии д,', второе слагаемое в уравнении (3.31) будет постоянным, то есть не зависящим от уровня х, в отличие от стандартного регрессионного анализа. Таким образом, для оценки параметров квантильных кривых усталости в уравнениях (3.12)-13.14) необходимо вместо У, подставить оценку У,, вычисленную по уравнению (3.31). Однако дисперсия оценки квантиля существенно больше дисперсии оценки среднего. Приближенно эта дисперсия может быть вычислена в соответствии с теоремой о дисперсии функции случайных величин: (3.32) 1+ ---~ ---'--) (3.33) После подстановки этих двух новых оценок у, и и," нетрудно по тем же формулам получить оценки параметров а,,Ь„,С,„В, квантильных кривых усталости.