Диссертация (Разработка оптимальных методов статистического оценивания характеристик усталостных свойств материалов и элементов авиационных конструкций), страница 5

Оценки максимального правдоподобия (ММП-оценки) определяются в точках экстремума функции максимального правдоподобия: (1. 19) где - число наблюдений (число объектов достигших критического состояния); и - число баз испытания, при достижении которых наблюдаются объекты, не достигшие критического состояния; у; - количество объектов, снятых с испытаний на данной базе; И и = А-+ ',»; - общее число испытанных объектов испытания; величины Х в ранжированной (расположенной в порядке возрастания значений) выборке объема п из произвольного непрерывного распределения.

Значение ~' определяется из следующего уравнения: зо х„., - значения баз испытания, при которых наблюдаются не достигшие критического состояния объекты. Оценки А-, параметров д„я,,...,я, функции распределения 1„'(х) определяются решением следующей системы уравнений размерности /~, относительно ММП-оценок я„я„...,я, параметров распределения; А 1 Нх,) "' г, ДГ„(х,-„) =у = йх ) Ф = ~ Ях ) Ф (1.20) где производные плотности распределения и функции распределения по параметрам определяют конкретный вид системы уравнений (1.20) для того или иного закона распределения. Точечные оценки характеристик распределения ХМС.

Метод наименьших квадратов В работе (391 рассматривается линейная модель: (1.21) где у - вектор-столбец наблюдений размерности л, Х - матрица размерности ихй, известных коэффициентов (л>~,), Ь- вектор столбец параметров размерности й, и я - вектор-столбец случайных «ошибок» размерности и с нулевым математическим ожиданием и матрицей рассеяния размерности и х и (1.22) Вектор МНК-оценок имеет вид: (1.23) Матрица рассеяния оценок Ь (391 определяется из следующего уравнения: зг где несмещенная оценка для остаточной дисперсии гг.г определяется формулой: б.г =к =- — (у — Х Ь)~ 1' '.(у — Х Ь). гг — Ус 1 Интервальные оценки характеристик распределения ХМС Особое значение для обоснования нормативных характеристик по критериям сопротивления усталости имеют, как следует из раздела 1.1 интервальные оценки ХМС.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е, приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже). Надежностью (доверительной вероятностью) оценки О по Ог называют вероятность 7, с которой осуществляется неравенство ~0- О*' < д (38,391. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве 0 берут число, близкое к единице, то есть вероятность того, что интервал (О'г д, О' д) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр О, равна Р.

Доверительным называют интервал (О* 4 О г д), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью у . При этом интервал (О* д, Ог д) имеет случайные концы (их называют доверительными границами). Обычно уровень доверительной вероятности принимают равным 0,9 или 0,95. Наибольший интерес в рамках толерантного оценивания показателей ресурса представляют доверительные интервалы для квантилей распределения. непараметрических доверительных границ в случае многократного цензурирования можно выделить работы (33,34,42-481. 1.3. Статистическая проверка гипотез при обработке результатов механических испытаний Анализ литературных данных показывает, что наиболее часто для проверки статистических гипотез при механических испытаниях применяют следующие критерии, отвечающие отмеченным во введении требованиям ~23,25,30,78-901: 1.

Критерии для отбрасывания резко выделяющихся (аномальных) результатов испытаний (критерий Смирнова). 2. Критерий равенства дисперсий двух генеральных совокупностей. (критерий Фишера, Р"-критерий). 3. Критерий равенства средних двух генеральных совокупностей (критерий Стьюдента, ~ - критерий). 4.

Критерий равенства дисперсий ряда генеральных совокупностей. (критерий Бартлета, критерий Кочрена). 5. Критерий равенства средних ряда генеральных совокупностей. (однофакторный дисперсионный анализ, Р'-критерий). 6. Критерии нормальности (критерий Шапиро-Уилка„критерий Смирнова, критерий Андерсона-Дарлинга), критерий согласия у-" 7. Непараметрические критерии (критерий знаков, критерий знаковых рангов Уилкоксона, двухвыборочный критерий Уилкоксона, двухвыборочный критерий Колмогорова-Смирнова, критерий КраскелаУоллиса).

Наибольший интерес с точки зрения сложности расчетных алгоритмов представляют критерии согласия и непараметрические ранговые критерии, вычисление функций распределения статистик которых, представляет значительные вычислительные трудности. В работах ~45-771 подвергнуты анализу большое число критериев согласия при сложных гипотезах, к которым относят гипотезы о проверки согласия выбранному типу зл распределения, параметры которого оцениваются по выборке.

Авторами установлено, что при проверке сложных гипотез, когда по той же самой выборке оценивают параметры наблюдаемого закона распределения вероятностей, неп арам етрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, в' и Х2' Мизеса теряют свойство "свободы от распределения". В этом случае предельные распределения статистик этих критериев будут зависеть от закона, которому подчинена наблюдаемая выборка. Более того, распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят и от используемого метода оценивания параметров. Следует также учитывать, что распределения статистик существенно зависят от обьема выборки. Игнорирование того, что проверяют сложную гипотезу, неучет различия в сложных гипотезах приводят к некорректному применению непараметрических критериев согласия в приложениях и как следствие к неверным статистическим выводам.

Различия в предельных распределениях тех >ке самых статистик при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим абсолютно недопустимо. В работах приведены весьма полезные обширные таблицы аппроксимаций основных непараметрических критериев согласия, полученные статистическим моделированием для ряда распределений исходной случайной величины. При проверке статистических гипотез непараметрическими методами (78~ (наибольший интерес при анализе механических испытаний представляют критерии, проверяющие отсутствие сдвига в двух и более выборках из произвольного непрерывного распределения) критические значения статистик критериев вычисляют, как правило, по приближенным соотношениям. Исключение составляет работа [79~, в которой приведены обширные таблицы точных распределений непараметрических критериев, однако не приводятся методы быстрого их расчета.

1.4. Статистическая обработка результатов испытаний на усталость В работах 123,25,301 определены основные понятия, относящиеся к испытаниям на усталость. Испытания относят к прямым, если их конечной целью является определение долговечности. В случае построения кривой усталости и дальнейшего определения на ее основании предела выносливости эти испытания относят к косвенным. Испытаниям на усталость характерен повышенный разброс результатов, что обусловлено большим числом различных факторов, влияющих на сопротивление усталостному разрушению.

Основными факторами, определяющими рассеяние результатов испытаний на усталость, являются макро- и микронеоднородность структуры конструкционных материалов, неоднородность качества поверхности образцов и элементов конструкций, колебания в условиях испытаний (среда, температура и т.п). Разброс характеристик сопротивления усталостному разрушению зависит также от состояния испытательного оборудования и квалификации обслуживающего персонала, но при соблюдении основных требований к постановке и проведению испытаний влияние последних факторов на рассеяние результатов оказывается незначительным. 1.4.1.

Определение долговечности при испытаниях на усталость Статистическая обработка по долговечности может иметь первичный характер при последующем построении кривых усталости и определении значений предела выносливости. При испытаниях на одном-двух уровнях напряжений для обоснования расчетных и нормативных характеристик по ресурсу, для оценки влияния технологических и других факторов обработка по долговечности носит окончательный характер.

Исследования закономерностей рассеяния характеристик сопротивления усталостному разрушению легких сплавов показали, что долговечность при постоянном уровне максимального напряжения цикла и предел ограниченной выносливости на заданной базе испытания имеют как нижнюю, так и зь верхнюю границы 123,241. Верхняя граница долговечности на несколько порядков превышает наблюдаемое при испытании число циклов до разрушения.

Нижняя граница долговечности существенно отличается от нуля. Поэтому считают, что долговечность У при испытаниях на усталость имеет непрерывное распределение в интервале от нижней границы Ж„до бесконечности (параметр Ф„называют порогом чувствительности по циклам). Для статистической обработки результатов испытаний на усталость используют нормальный закон распределения величины У = 1фЖ вЂ” У,) и закон распределения Вейбулла — Гнеденко. Основным затруднением при использовании нормального закона распределения величины У =1фй -У„) для оценки ресурса натурных элементов конструкции является сложность определения порога чувствительности. Оценка Л~„ по результатам натурных испытаний затруднена из-за большого потребного объема испытаний и из-за большой длительности испытаний на низких уровнях напряжений, характерных для работы натурных элементов конструкций.