Диссертация (Разработка оптимальных методов статистического оценивания характеристик усталостных свойств материалов и элементов авиационных конструкций), страница 4

Минимальное рассеяние Яс. ю о.1 реализуется при средней долговечности С" =1о~А 4.5. 1ояи-ь1 Рис.1.4. Теоретическая зависимость рассеяния логарифма усталостной долговечности от его среднего значения Гиперболическая зависимость (1.2) среднего квадратического 21 ОтКЛОНЕНИя ЛОГарИфча дОЛГОВЕЧНОСтИ Б,„,н От ЕГО СрЕдНЕГО ЗНаЧЕНИя 1оя1Ч (рис,1.4) имеет минимум д при некотором значении 1оя 1Ч, равном Ь, Описание характеристик рассеяния усталостной долговечности опирается на определение р';в-ных квантилей на каждом из уровней регулярного циклического нагружения ~22-321.

Помимо обычной средней кривой сопротивления усталости, представляющей собой линию, проходящую через точки, соответствующие 50'Ъ-ным квантилям на каждом уровне нагружения, аналогично могут быть получены и кривые, соответствующие любым р'.4-ным квантилям (рис.1,5). Заведомо более физичным представляется подход ~151, при котором рассматриваются не формальные р-квантильные кривые, а используется понятие индивидуальной кривой сопротивления усталости, характеризующей каждый отдельный экземпляр испытываемого объекта (образца, элемента конструкции и т,п.).

На этой основе становится возможным определение характеристик рассеяния долговечности и при действии сложных нерегулярных и даже случайных нагрузок, что является характерным для нагружения большинства реальных конструкций. 3\.УЦ 1 Ч Рис. 1.5. Описание рассеяния логарифма усталостной долговечности. Естественным допущением при построении индивидуальных кривых сопротивления усталости является использование в качестве базовой модели средней кривой, соответствующей при традиционном подходе 50',4-ному квантилю. При этом индивидуальная кривая образуется из средней путем случайной вариации факторов (параметров), характеризующих поведение этих кривых. Наиболее просто такой подход реализуется в диапазоне долговечностей порядка 10' - 10' циклов, где средняя кривая (везде в дальнейшем средние величины обозначаются чертой сверху), как это широко признано, может быть представлена в степенной форме.

К основным причинам нестабильности параметров технологических процессов 11,2~, создающим "естественное" распределение случайных свойств материалов и конструкций, по-видимому, следует отнести: - наличие «доэксплуатационной» неоднородности свойств и параметров изделия из-за физических и технологических причин (стохастическая природа «обрабатываемой среды») и возникающие от этого «колебания» результатов технологического процесса; - наличие неизбежно присущих погрешностей технологического процесса и несовершенств оборудования, обуславливающих отклонения реальных значений параметров от номинальных.

1. Параметры технологического процесса — факторы, описываемые в «технологических» терминах и определяющие внешние по отношению к материалу или детали действия, от которых, в конечном счете, зависит долговечность, Это, например: - пропорции руды и других исходных продуктов, температурные и другие режимы выплавки металла и т.д. ("металлургический" этап); режимы прокатки, ковки, штамповки и др. (этап изготовления полуфабриката); - режимы резания, сверления, клепки, правки, сварки и т.д. (этап изготовления детали и сборки изделия).

Примерами параметров технологического процесса могут являться также режимы термообработки (старения), усилие запрессовки крепежа, режимы обработки при наклепе и т.д. Эти параметры определяют способ производства через "технологическую" терминологию. Их связь с усталостной долговечностью, как правило, не может быть определена непосредственно на основе каких- либо физических соображений, а если и устанавливается, то эмпирически, на основе идеологии "черного ящика " (вход/выход).

Параметры технологического процесса принципиально и практически измеримы или, по крайней мере, контролируемы. 2. Параметрами технологии будем называть класс параметров, представляющих собой "отклик" материала или детали на те или иные параметры технологического процесса в виде некоторых физических факторов. Следует при этом иметь в виду, что усталостная долговечность (даже учитывая рост трещины до достижения ею критического размера) весьма локальное физическое явление, и поэтому под параметрами технологии следует скорее понимать параметры, относящиеся к определенным локальным критическим местам конструкции.

3. Параметры материала и конструкции - количественно выражаемые и измеримые (хотя бы косвенно) свойства материала или конструкции, которые могут считаться непосредственно влияющими на характеристики долговечности. 4. Наконец, параметры долговечности - константы структурно определенных соотношений, с помощью которых могут быть однозначно определены собственно характеристики долговечности и длительности роста трещин. Примерами параметров долговечности могут являться: константы кривой выносливости общего или степенного вида, предел выносливости, константы степенной зависимости Париса или других аналогичных зависимостей, приращения остаточных напряжений к эквивалентным напряжениям от внешних сил и т.п.

Формирование модели рассеяния усталостной долговечности позволил автору ~Ц предложить нормативный подход в рамках применения критерия допустимого уровня вероятности разрушения. С этой целью устанавливается чрезвычайно малая, например, р;,,, = 0,001, допустимая вероятность разрушения каждого отдельного экземпляра самолетов парка, эквивалентная весьма высокому уровню надежности эксплуатации и определяется по результатам натурных испытаний величину М~„.„, т,е. наработка, когда вероятность разрушения при Х ": У~,., равна 0,001.

При этом вероятность ошибки при установлении безопасной наработки У;„,, не должна превышать р„„, = 0,1, т.е. уровень доверительной вероятности должен быть равным р,>„, = 0,9. Важным в рамках данной диссертационной работы является установление в нормативных документах того факта, что в качестве Жг,,, принимается нижняя толерантная граница, что наряду с отмеченными особенностями рассеяния усталостной долговечности подтверждает актуальность исследования данных вопросов в аспекте разработки статистических методов и алгоритмов их оценивания. 1.2. Статистическое оценивание характеристик усталостных свойств В работах ~23,25,301 вводятся понятия прямых и косвенных механических испытаний.

Под прямыми понимают механические испытания, в результате которых непосредственно измеряются характеристики механических свойств (ХМС). К прямым испытаниям относят, например, испытания по определению временного сопротивления или времени до разрушения при заданной амплитуде напряжения. Испытания по определению предела выносливости, длительной статической прочности и другие испытания, предусматривающие расчетное или графическое определение ХМС по результатам прямых измерений, относят к косвенным. Задачи планирования и статистической обработки результатов прямых механических испытаний состоят в точечном и доверительном оценивании значений параметров распределения ХМС в генеральной совокупности с заданной точностью.

Для оценивания параметров и числовых характеристик распределения ХМС используют стандартные параметрические и непараметрические статистические процедуры. При использовании непараметрических процедур не делают никаких предположений о виде функции распределения ХМС. Непараметрические процедуры позволяют получить достоверные оценки для ограниченного набора характеристик: математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации. Выборку считают полной, если все запланированные для испытания объекты доведены до критического состояния. При усталостных испытаниях могут образовываться цензурированные справа выборки 1 и П типа ~25,33,34,3б,37,391. Цензурированные выборки 1 типа образуются, если испытания ведутся на ограниченной базе.

Объекты, не достигшие критического 26 состояния после достижения базовой долговечности, далее не испытывают. Число баз испытаний в одной выборке, а также число групп объектов, снятых с испытаний на каждой базе, могут отличаться от единицы. В этом случае выборку называют многократно (прогрессивно) цензурированной ~25,30,33,341. Цензур прова нные справа выборки Н типа образуются, когда испытания при необходимости их форсирования останавливаются в случайный момент времени при получении первых к достигших критического состояния объектов из и.

(и':Ц объектов, испытываемых одновременно. В этом случае фиксированной при испытаниях является доля При анализе результатов механических испытаний используются в основном следующие функции распределения ХМС. Гипотетическое распределение задается в виде функции распределения с рядом неизвестных постоянных - параметров распределения: (1.3) где я, - параметры распределения; Ф - число параметров распределения. Отмечается, что из гипотетических распределений, имеющих удовлетворительное согласие с результатами измерений, следует отдавать предпочтение распределениям, отвечающим некоторой математической модели, отражающей физическую природу рассеяния ХМС.

Нормальное распределение Плотность вероятностей: (1.4) где а, т > о- параметры распределения. 27 Функция нормального закона распределения имеет следующий вид: л ~1- Э Ег(х а ст) = ~е '" сИ ~/2х сх (1.5) где х может принимать все действительные значения. Функция распределения удовлетворяет равенству Е" (х„а, о ) = Е '((х — а) Е о; О, 1), поэтому для вычисления ее значений достаточно иметь значения функции Е'(г; О, 1) (1,б) Квантиль уровня Е" х, определяется соотношением: (1,7) где г, - квантиль стандартного нормального распределения уровня Р, определяемый соотношением: (1.8) Ф(х„) =- Р, Логарифмически нормальное распределение Функции плотности вероятностей и распределения имеют следующий [ь(, -л;ь,1' /'(х; а„о.„х„) = е 1 2 пл ~/2юо, (х — х„) (1.9) (1. 10) Е"(х;а„ст„х,) = Ф(.), где х = (1п(х — х,) — а,]Есх, - нормированная случайная величина, а„с, > О, х, «х - параметры распределения.

где Ф(=) - функция Лапласа, г = (х — а) Ео. - нормированная случайная величина. Квантиль распределения уровня Р определяется соотношением: 1п(х„— х,) =а, + х а,, (1. 11) где г„- квантиль нормированного нормального распределения уровня Р. Распределение Вейбулла-Гнеденко (1.12) Е(х;Ь,с,х!!) =1 — е (1.13) где Ь > о,с >о,х, <х - параметры распределения. Квантиль уровня Р случайной величины Хопределяется по уравнению; ! х =х,+с.

1п— (1. 14) Квантиль уровня ~' =- о,бз~, х„„, =-с+ х„, медиана распределения определяется выражением: (1.15) Непараметрические оценки характеристик распределения ХМС Для полной выборки непараметрическую оценку квантиля уровня 1' случайной величины Х вычисляют по следующей формуле (30,371: (1.1б) х„=(1 — а ).х, +а х„,, где 1 — порядковый номер измеренного значения х, случайной Трехпараметрическое распределение Вейбулла-Гнеденко для случайной величины Х имеет следующие выражения для функции плотности распределения и функции распределения: гя 1 = 1п1~Р (и+ 1)1, (1,17) где /и~(х) - целая часть числах, (1.18) и„== Р.

(и + 1) — г Точечные оценки характеристик распределения ХМС. Метод максимального правдоподобия В соответствии с методом максимального правдоподобия (ММП) (25,30-34,38,391 оценки параметров непрерывной не менее двух раз дифференцируемой функции распределения случайной величины в общем случае прогрессивно цензурированной выборки определяются решением системы уравнений максимального правдоподобия.