Диссертация (Анализ динамики космического аппарата с упругими колеблющимися массами), страница 6

Изучается модельная задача переориентации КА.Показано, при каких предположениях упругие колебания не оказывают влиянияна плоский разворот спутника и когда он невозможен. Найдены аналитическиевыражения, позволяющие оценить отклонения КА от программного движения(дрейф угловой скорости).Теоретическиеисследованиявращательногодвижениясложныхмеханических систем являются трудной математической задачей [31, 34, 37, 50,52, 57, 68, 69]. Качественный анализ таких систем может иметь существенноезначение для фундаментальных исследований в данной области.Рассмотрены колебательные процессы, связанные с ориентацией КА,когда члены обусловленные упругими колебаниями конструкции, сопоставимы сгироскопическими членами.

Изучена модельная задача переориентации КА,показано при каких предположениях упругое колебания системы не оказываютвлияния на плоский разворот КА и когда он невозможен.40Следует отметить, что по мере увеличения размеров КА влияние упругихсвойств конструкции в переходных процессах, связанных с изменением режимаориентации, а также необходимость их учета возрастает.

Достижение высокойточности ориентации КА требует учета влияния упругих колебаний навращательное движение всей системы как целого относительно центра масс.При решении задачи ориентации КА по результатам измерений радиосигналов,поступающих с систем GPS/ГЛОНАСС, при использовании аппаратурыспутниковой навигации (АСН), работанавигационных спутников (НС)складывается как из передатчиков радиоимпульсов времени, так и данных,позволяющих определить их положение в гринвичской геоцентрической системекоординат на момент излучения (координатно-временное и навигационноеобеспечение).Имеютместоситуации,когдаугловоеположениеКАотносительно системы координат может быть неблагоприятным с точки зрениярадиовидимости НС антеннами АСН. На практике возникают длительныеинтервалы времени, когда общие НС для всех пар антенн отсутствуют. В такихслучаях для формирования необходимых данных предполагается в дополнение кнавигационному процессору АСН использовать текущую поправку времениdUTl (dUTl - рассогласование шкал времени UTC и UT1) и ее производную,которые являются фундаментальной составляющей параметров вращения Земли(ПВЗ).

Повышение точности требует знания ПВЗ [7, 65]. Это позволит строитьнадежные алгоритмы формирования оценок ориентации как в штатном режиме,так и в экстремальных случаях.41Рис.1. Система из двух двухстепенных гиростабилизаторов и углы отклонения1 и  2 кинетических моментов Γ1 и Γ 2 от вектора кинетического момента Gспутника422.1. Уравнения движения деформируемого КА относительно центра масспри наличии гиростабилизаторовДляописаниядвижениядеформируемойсистемыкакцелогоотносительно центра масс с учетом органов управления, исполненных в видедвух двухстепенных гиростабилизаторов (рис. 1), воспользуемся динамическимиуравнениями Эйлера [51].

Тогда получаем следующую систему уравнений:( A  J11)1  J12 2  J111  J122  J 2322  J1312  M  I 2 dG 11  11  2 (1   2 )  ( u , e1),dt( A  J 22 ) 2  J121  J222  J1312  J 2312  J121   I 1 (2.1)dG u2 2  22  1 (1   2 )  (, e ),dt 2I 1   I  2  11  ( Ix2  Ix3 )112  m1,I 2   I1   22  ( Ix2  Ix3 ) 222  m2 ,mi  hi  k i (i  1,2), Gu   (r  u ) dx, M  m0 cos t,гдеm0 , положительные постоянные величины.В уравнениях (2.1) предполагается, что реактивные органы управленияподдерживают проекцию угловой скорости КА на ось симметрии вблизи нуля,т.е. выполняется сервосвязь 3  0 .

Далее, J ij [u]  компоненты тензора инерциидеформированного спутника в системе координат Cx1x2 x3 с началом в егоцентре масс и осями, параллельными главным центральным осям инерциинедеформированной системы; Gu  поправка к кинетическому моменту,43возникающая вследствие деформируемости системы; u  вектор упругогосмещения при деформациях; Γ j  вектор собственного кинетического моментаj  тогогиростабилизатора, j  Γ j  соответствующийемумодуль;i (i 1,2,3)  проекции угловой скорости КА на оси Cxi ; ei  орт оси Cxi ; j ( j  1,2)  малый угол поворота вектора Γ j ; A  экваториальный моментинерции недеформированной системы; I , I x , I x  моменты инерции гироузлов23стабилизаторов относительно осей подвеса; m1 и m2  моменты регулированияотносительноосейподвесагиродинов,отсчитываемыевнаправленииувеличения углов 1 и 2 и пропорциональные угловым скоростям h1,2 иугловым перемещениям k1,2 , где h  0, k  0  постоянные, m0 ,  амплитуда ичастота внешнего осциллирующего момента M , приложенного вдоль осиCxi ;   1 2  область, занимаемая твердой 1 и упругой 2 частямиспутника.2.2.

Уравнения для нормальный координатУравнения движения системы (2.1) должны быть дополнены уравнениямидеформаций для определения вектора u. Динамика собственных формколебаний упругой части при наличии вращательных и центробежных силинерцииописываетсясчетномернойсистемойобыкновенныхдифференциальных уравнений в нормальных координатах (модальный подход)[52, 66, 70].

В случае осесимметричной упругой части с осесимметричнымиграничными условиями вектор u представляется в виде ряда.Ограничивая число рассматриваемых форм, предположим, что каждому kсоответствует одна из главных форм колебаний (одно значение m ).44Подставляя разложение (1.2) в уравнения, соответствующие принципуДаламбера-Лагранжа,длярассматриваемойсистемыпосленекоторыхвычислений получаем уравнения для нормальных координат [51]:  r  Vk  ω×ω×r  Vk qk   bvk2qk  vk2qk  ωω×u×V ω×ω×u×Vk k2ω×u×Vk (2.2) c +ω×ω×u  2ω×u c   u )dx  0, (uc +ω×u2 ql  1,0,llkk,, pl  0.Уравнение для pk получается из (2.3) заменой Vk на Wk . Заметим, что придеформациях центр масс C системы смещается в точку C ' на вектор uc ,который вычисляется следующим образом:u c  m 1  2u dx,m2  udx,1   1,,rr .222Как отмечалось, 1 и 2  области, занимаемые твердой и упругой частямиспутникасоответственно.Коэффициентыразложенияинерционныхвращательных и центробежных сил по ортонормированным собственнымформам представляются следующим образом, к примеру [67]:3(ω×(ω×u),Vk )    n ij (ql Alkij  pl Blkij ),l 0 i , j 13(ω×(ω×u),Wk )    nij (ql Clkij  pl Dlkij ),l  0 i, j 145где введены обозначения для коэффициентовn1  (22  32 ),n12  n21  12 ,n2  (12  32 ),n13  n31  13,n33  n31  (12  22 ),n23  n32  23,Alkij  VliVkj dx,Blkij 2Clkij  WliWkj dx,2 VliWkj dx,2Dlkij  WliWkj dx.2Далее, уравнения для нормальных координат, записанные в безразмерном виде,с отбрасыванием в левой части квадратичных по компонентам угловой скоростислагаемых будут иметь вид:q0   02 q0   02 q0  2 A1031(  p1   q1 )  A1031(  p1   q1)  0,(1 a3 ) p0   02 p0   02 p0  2a5 (  p1   q1 ) a5 (  p1   q1)  a4 ( 2   2 ),(1 a1)q1  12q1  12q1  2 A1031 q0  2a5  p0) 2 A (  p2   q2 )  A1031 q0  a5  p0  A2 (  p2   q2 )  a ,(1 a1) p1  12 p1  12 p1  2 A1031 q0  2a5  p0 ) 2 A (  p2   q2 )  A1031 q0  a5  p0  A2 (  p2   q2 )  a ,qk   k2qk   k2 qk  2 Ak1(  pk 1   qk 1)  Ak (  pk 1   qk 1)  2 Ak1(  pk 1   qk 1) 2 Ak (  pk 1   qk 1 )  f qk ,46pk    k2 pk    k2 pk  Ak1(  pk 1   qk 1)  Ak ( qk 1    pk 1)  2 Ak1(  pk 1   qk 1 ) (2.3)2 Ak ( qk 1    pk 1 )  f pk ,(k  2),f q2  2  b212 ,f p2  ( 2   2 )b212 ,f qk  f pk  0  k  3.Коэффициенты a3 , a4 , a5 , b212 , Ak , A1031 определяютсяобластями1 и 2;конкретные выражения приведены в [51].Преобразуем уравнения (1.25) следующим образом.

При малых угловыхдвижениях КА относительно инерциального пространства ориентация его осисимметрии Сх 3 создается двумя малыми углами поворота  вокруг Cx1 и вокруг Cx2 , причем 1   ,2   . Введем безразмерное время   vt , v наинизшая собственная частота свободных упругих колебаний. Далее, пусть  m0 A1v2  величина, характеризующая амплитуду угловых колебанийтвердого КА при вибрациях.

Тогда система уравнений (2.1) перепишется так:   ( J12    J11   J12   J 23 2  J13  ) A1   I 2  11  11   ( 1  2 )  aA1 q1  (1 J11A1),  cos   ( J12   J12   J 22   J 23  ) A1   I1   2 2  2 2   ( 1  2 )  aA1 p1  (1 J 22 A1),1     ˆ 1   ( Iˆx  Iˆx )1 2  I 1(hv 11  k1v2 ),23 2    ˆ 2    ( Iˆx  Iˆx ) 2 2  I 1(hv 1 2  k 2v2 ).2347(2.4)В (2.4) приняты обозначенияIˆ  I ,  i  i , ˆ i  i ,IvAAvIˆx j Ixj~1,    ~1.vIВ дальнейшем ограничимся случаем сильного демпфирования на осяхподвеса гироузлов, т.е. будем считать что коэффициент h достаточно велик исравним по порядку величины с собственным кинетическим моментомгиродинов.

Тогда инерционными членами, содержащими  i , можно пренебречьпо сравнению с членами, содержащими  i. Модули  i  Γ i будем считатьпостоянными и равными 1   2   , ˆ i  . Пусть также величина  порядка 2 , а Iˆ ~  3.2.3. Исследование устойчивости режима ориентации КААнализ системы (2.3) показывает, что в данной задаче все обобщенныекоординаты, кромеq1,имеют порядок малости  2 ~ p2 ~ p0 и выше, и ихможно не рассматривать при дальнейшем анализе системы.С точностью до порядка 2 системууравнений (2.4) восьмого порядказаменим на следующую:  a0 q   1  2  ,    cos1  h1(   kv11 ),   a7 q1      2  2  , 2  h1(   kv 1 2 ),(1  a1)q1   12q1  12 q1  a .48(2.5)Здесь введены обозначенияa0   aA1,1 где m массаv1,vКА,аa7   a7 A1,a  b123  b132 ,2,a1    m 1d12коэффициентыx  bv,a7  b123  b132 ,b12 , b123 , b132 находятсяаналогичновышеуказанному; конкретные выражения приведены в [6].Из анализа системы (2.5) следует, что в первом приближении функции,удовлетворяющие уравнениям  a0q1,    cos(1 a1)q1  12q1  12q1  a ,будут иметь вид:  E2 cos ),   1( E1 sin  F2 sin ).q1   ( F1 cosЗдесь введены обозначенияF1  am01[12  (1 a1) 2 ],F2  am0112 ,m0   2 14 2  [ 12  (1  a1) 2 ]2  0,E1  a0 F2 ,E2  (1 a0 2 F1) 1,(2.6)a1  a1  aa0.Выражения для функций 1,2 в первом приближении в дальнейшем непонадобятся, поэтому не приведены.

Перейдем к исследованию устойчивоститривиального решения системы (2.5), в которой периодические по переменной49 выражения усреднены. Поясним это, рассмотрев следующее упрощенноеy уравнение для  :   a7 q1    0,G0  F1E1  F2 E2 ,q1   1  2[G0  G1 cos2 y  G2 sin 2 y ],2G1  F1E1  F2 E2 ,G2  F1E2  F2 E1.Его решение имеет видGG   C exp[ 1  2 a7 (G0  1 sin 2 y  2 cos2 y)],222C   (0)exp[ 1  2a7G2 ]  const.4Отсюда видно, что для устойчивости переменной   необходимо и достаточно,чтобы выражение G0a7 было положительно. Периодические члены можно неучитывать, так как G0 на порядок превышает величину периодических членов.Далее рассматриваются уравненияp  13 p  21q  151,q  21 p  (13  7 )q  15 2 ,1  3 p  11, 2  3q  5 2 ,p   , q   , 1   , 3   / h, 5  k / hv,7  1 a7 2G0,250(2.7)причем 1 ~ 7 ~  2 , 3 ~ 5 ~1.Используя (2.6), выражение 7 можно преобразовать к виду7   2 H ,1  b1 ) / m.H  1  A1 12 (b1231322Характеристическое уравнение для системы (2.7) таково:b0 4  b1 3  b2 2  b3  b4  0,b0  1, b1  213  25  7 , b4  41252 ,(2.8)b2  412  (13  5 )2  7 (13  25 ),b3  8125  57 (13  5 ).Проведеманализкорнейхарактеристическогоуравнения(2.8)сиспользованием метода малого параметра.