Диссертация (Анализ динамики космического аппарата с упругими колеблющимися массами), страница 5

Подставим (1.34) ианалогичное ему выражение для p22 в (1.33). Для выделения медленноменяющейся составляющей в  22 усредним правую часть (1.33) по переменной на отрезке [0,2 ]. Имеемy   22  ,   22   ,  1 2 *1[(  1  a0 Ф cos )(a4 E2  b212 H 2 ) a0 Ф sin  (a4 E4  b212 H 4 )],32(1.35)где H i получается из Ei спомощью замены (1.31). Подставляя выражение(1.34) в (32), найдем E2  F6 02   F5[  2 (1  a3 )   02 ] / m02 ,m0  [  2 (1  a3 )   02 ]2   2 0421/2,(1.36)E2[ 02   2 (1  a3 )]  F5E4 . 02 Из (1.28) и (1.35), (1.36) следует, что отклонение фактической угловой скоростиупругого спутника от программной (для твердого спутника) происходит всреднем линейно по времени.

Скорость нарастания этого отклонения является2 3 25 2величиной порядка  * 1 или, учитывая соотношения (1.26), порядка  1 и завремя    *составитвеличинупорядка 412 . Относительная ошибка(2  20 ) / 20 постоянна во все время движения и является величиной порядка 412 . Заметим, что при резонансах вида  (1  a1 )  12 ,  (1  a3 )   02 и    22величина отклонения фактического движения от расчетного увеличивается в 1, т. е. в 11 раз по сравнению с безрезонансным случаем.1.4. Плоские движения деформируемого спутника в гравитационном полесилНе учитывая внешних моментов, которыми в задачах управления частоможно пренебречь, спутник представляется колебательной системой безвнешнихвосстанавливающихмоментов(моментов,пропорциональныхотклонениям угловой координаты от равновесного положения), без внешнихдемпфирующих моментов (моментов, пропорциональных угловой скорости) и33без естественного положения равновесия.

В данном случае единственнымимоментами,действующиминаКА,являютсяуправляющиемоменты,создаваемые исполнительными органами системы ориентации [56].При решении задачи стабилизации оси симметрии спутника Cx3 взаданном направлении X воспользуемся управляющим моментом вида :M  k1  k2 , где   угол между направлениями оси X и x ; k1 и k2 коэффициенты обратной связи по углу и скорости поворота соответственно.Дифференциальные уравнения движения системы как целого вокругцентра масс имеют вид:( A  J 22 ) 2  J121  J121  J 233  J222  J233  J1223 (1.37)dG22u J 2312  ( A  C  J11  J 33 )13  J13 (3  1 )  M 2  (e2 ,),dtJ11  2 (a4 p0  b212 p2 ), J 22  2 (a4 p0  b212 p2 ), J33  4C011 p0 ,J12  2b212q2 , J13   a7 p1, J 23   a7q1,Gu   [r, u ]dx   (aq1, ap1,2b021q0 ),dG u  [a(q   p )  2 q b , a( p1  2q1)  21q0b021,13 12 0 021dta(1 p1  2q1)  2q0b021],Двадругихперестановкойуравненияиндексовмогутбытьполучены1  2, 2  3,3  1.изЗдесь(1.37)циклическойM  ( M1 , M 2 , M 3 )иω  (1, 2 , 3 )  проекции управляющего момента и угловой скорости спутникана оси Cxi (i  1,2,3), связанные с твёрдой частью; J ij [ pk , qk ]  компоненты тензора34инерции деформированной системы в осях Cxi , A и C  экваториальный иосевой моменты инерции недеформированнойсистемы соответственно;  область, занимаемая упругой частью конструкции с плотностью   const, ei орт по оси Cxi .ДляреализацииплоскогодвижениясистемывокругосиCx2(предполагается, что центр масс недеформированной системы C принадлежиттвёрдой части) необходимо в начальный момент времени t  0 выполнениеравенств:1(0)  3(0)  qk (0)  0,(k  0,1,2,..., )Можно убедиться, что эти нулевые значения будут сохраняться во всё времядвижения.

Тогда исходная система уравнений принимает вид:1,( A  J 22 ) 2  J222  M 2   ap(1 a3 ) p0   b 02 p 0  2a52 p1  a52 p1  a422 (1  a1) p1   b12 p1  12 p1  A2 (22 p 2  2 p2 )  a5 (22 p 0   2 p0 )  a 2 ,(1.38)где M 2   Ak 2 , 2   , [k 2 ]  c 2 , а коэффициенты a, a1, Ak11, b212 зависят отгеометрии упругой части [35].Далее рассматривается физически обоснованный случай позволяющийперейтикквазистатическойпостановкезадачи.Предполагается,чтовыполняются условия: k   , где   min{i} наинизшая собственная частотасвободных колебаний упругой части спутника относительно его твёрдой части,35и вводится малый параметр  k 1. Тогда систему уравнений (1.38) можнопереписать следующим образом:    (1  J 22 A1)  A1J 2 2    aA1 paA1 p1,(1 a1) 2 p1 12 p1  12 p1   2 A21(2  p2    p2 )   2a ,(1.39) 2 p2   22 p2   22 p2   2 A2 (2  p1    p1)   2b212 ,i i,()  d ,d  kt.Угол  в процессе управления КА может изменяться в широких пределахтак что  ~1.

Отметим, что в уравнениях (1.39) опущены функции pk синдексами k  3, имеющие более высокий порядок малости, чем p1 и p2 а такжефункции p0 , влияние которых на процесс стабилизации аналогично влияниюp2 .Решение второго и третьего уравнений в (1.39) при условии, что    1 (  b , b  0), описывающее квазистатические деформации системы,может быть найдено в видеp1   2 a12 (   ), p2   2b212 22 (112  2 a ),(1.40)функции p1 и p2 имеют вид (1.40) в асимптотическом приближении, начиная снекоторого момента времени t  T1, T1 ~ ( )1  характерное время затуханияколебании КА с собственными высокими частотами и малой амплитудойпорядка  2 около некоторого текущего значения .

Подставляя (1.40) в первоеуравнение в (1.39), преобразуем его к виду:36      2 a ( )  b (312  4 )  2b 13  ,2 A1 2  0.a   Aa212  0, b  2b2122(1.41)Решение уравнения (1.41) представим как   x cos y , причем функции x и yудовлетворяют следующим уравнениям:x   2Ф1 ( x, y ), Ф1  Ф sin y,y  1   2 x 1Ф2 ( x, y ), Ф2  Ф cos y,(1.42) (cos y   sin y)  bx3 cos y(3sin 2 y  2 sin 2 y )  2b x3 sin 3 y.Ф  axУсредняя правые части уравнений (1.42) по переменной y на периоде 2 ,получим: 2  ,x   1  2x  a  1 bx22Отсюдаследует,чтоеслиy  1 1  2  a  3 bx2 .2  4вMyотсутствуетдемпфирующаясоставляющая, то эту роль могут выполнять вязкоупругие свойства материала.Однако время затухания колебаний может быть велико: O[( 3 ) 1 ].1.5.

Анализ динамической системы упругое-твердое тело в режимепереориентацииДля определения положения оси симметрии спутника в орбитальнойсистеме координат введем в рассмотрение угол      2 , где 2  угол2поворота аппарата вокруг оси Cx2 , орбитальной плоскости орбиты центра масс.37При этом направляющие косинусы будут: 1  sin,  3  cos . Уравнение для (t ) запишется в виде:   31 3  1  0  0,(1.43)здесь 0  3 2 A12{2 1 3[(02  2 )(1   )2  (1  3 32  6  1 3 )(01  2 ) 22 ]  3( 32   12 )[ 1 3    ( 32   12 )]11} 12 2 A1 2[ 1 3  ( 32   12 )] [ 12  (1   )(02  2 )],1  12 2 A12 (1  )2 ( 32  12 )(03  2 ) 6 2 A121 3{[6 1 3  (1 3 32 )](02  2 )  (1  )2 (03  2 )  22} 3 2 A12[ 1 3   ( 32  12 )][3( 32   12 )12  4 1213 ],где введены обозначения01    0m2 (c0m11  c0m33 )2 , 02 m 003   0m2 (c0m11  c0m33 )2 , 11 m 012   1m2 (b12m32  b12m23 ),m 0 0m2 (c02m11  c02m33 ),m 0 1m2 (b1m23  b1m32 )2 ,m 013    1m2 (b1m 23  b1m32 )2 ,m 02  2m2 b22m12.m 0Из (1.43) следует, что существуют две серии положений равновесияспутника в орбитальной системе координат:381)    nn,n2)  2n   n.n Уравнения в вариациях для первой серии положений равновесия будут:   a1   a2  0,(    O(1))a1  3 2A12{311   [4(03  2 )  312 ]},(1.44)a2  3{   2 A12[2(02  2  201)  311   [312  2(202  03  2 )]]}.Из (1.44) следует, что это положение равновесия асимптотически устойчиво.

Втаком положении ось симметрии Cx3 коллинеарна радиусу-вектору R центрамасс КА, а сам спутник деформирован по формам с номерами k  2 поддействием центробежных сил инерции и по формам с номером k  0(продольно-поперечныедеформацииподдействиемцентробежныхигравитационных сил). Вторая серия положений равновесия, при которой осьсимметрии спутника ортогональна R, неустойчива.39Глава 2. ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА (КА) СУПРУГИМИ И ДИССИПАТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ВРЕЖИМЕ ОРИЕНТАЦИИВ данной главе исследуются вращательные движения космическогоаппарата с упругими и диссипативными элементами как целого относительноцентра масс с учетом органов системы управления, выполненных в видедвухстепенных гиростабилизаторов,колебательныеобусловленныепроцессы,упругимив режимесвязанныесколебаниямиориентации.ориентациейКА,конструкции,Рассмотреныкогдачлены,сопоставимысгироскопическими членами.