Диссертация (Анализ динамики космического аппарата с упругими колеблющимися массами), страница 8

– связано, прежде всего, с проблемой достижениявысоких точностей координатно-временного обеспечения, которые зависят отмногих факторов, например, сложная форма Международной космическойстаниции, наличие крупногабаритных элементов конструкции приводят ксущественному увеличению ошибок измерения псевдодальностей [7]. Такойтонкий эффект, как учёт фундаментальных составляющих ПВЗ в орбитальновращательном движении КА может сыграть основополагающую роль дляулучшения точностных характеристик КА.62В крупногабаритных конструкциях имеет место деформируемость ихэлементов.

Повышенные требованияк точности ориентации спутниковобуславливают учёт влияния упругих колебаний на движение всей конструкциикак целого относительно центра масс.В данной главе диссертационной работы получены приближённыедифференциальныеуравнения,описывающиепоступательно-вращательноедвижение КА с учётом его деформируемости в центральном гравитационномполе сил, и показано, что взаимосвязь между поступательным и вращательнымдвижением КА происходит посредством деформируемости.Пусть спутник представляет собой систему, состоящую из упругой 1(однородной и изотропной) и твёрдой 2 частей (рис.

5). Ось динамическойсимметрии твердой части является также осью симметрии упругой части внедеформированномсостоянии,граничныеусловияосесимметричны,перемещения частиц упругой среды на границе с твёрдой частью равны нулю,другая часть границы - свободна. Деформированное состояние описываетсялинейной теорией вязкоупругости.Предполагается, что центр масс спутника обращается по заданной орбите асам спутник вращается относительно центра масс. Движение КА будемописывать с помощью переменных R, ω, u. Здесь R - радиус-вектор,проведённый из притягивающего центра в центр масс системы, ω - еёабсолютная угловая скорость, u =u(r,t) - перемещение точки упругой среды,определяемой радиус-вектором r частицы тела, проведённым из центра масссистемы в недеформированном состоянии.63Рис.

5. Спутник, несущий продольные штанги для пассивнойгравитационной стабилизации.643.2. Уравнения поступательно-вращательного движения спутника, приналичии упругих и диссипативных элементовУравнения движения получим из вариационного принципа ДаламбераЛагранжа в форме [12,66,54]: MR[u+ε  (r +u)  ω  (ω (r +u))  2ω×u ] dx U  0;(3.1)[R u +ε  (r +u)  ω  (ω  (r +u))  2ω×u ] udx (3.2)(E[u], u)  ( D[u ], u)  (U , u)  0; (r +u) [R +u +ε  (r + u)  ω  (ω  (r +u))  2ω×u ] dx] (3.3)((r +u) U (R +r +u)  0;где гравитационный потенциал U имеет вид dx  dxU [R*]     dx ,222**)2 ]1/2  [(R  r  u  2Rr  2Ru  2ru) 2 ]1/2R[(RR *  R + r + u.Уравнения (3.1) соответствуют классической теореме о движении центрамасс механической системы, а уравнения (3.3) – теореме об изменениикинетического момента относительно центра масс.

Из уравнения (3.2)определяются упругие перемещения. Здесь обозначены: М – масса спутника,E[u]  функционалэнергии упругих деформаций,функционал;   плотность,D[u ]  диссипативныйпричём   1  const для твердой части и  2  const для упругой части;   область, занимаемая телом,   2  1 ,652 область,Деформированноезанимаемаясостояниетвёрдойчастью,1 упругойчастью.упругой части опишем линейной теориейвязкоупругости малых деформаций, причем в основе лежит модальный подход.Согласноэтомувектор u представляетсяметодуввидерядапоортонормированным собственным формам Vkm и Wkm задачи о свободныхупругих колебаниях.В нашем случае будем считать, что тело испытывает только продольныедеформации, т.е.

вектор перемещений может быть представлен в виде:u   pi (t )Wi , Wi  (0,0, wi ),i 0причем функция wi зависит только от одной координаты x3 . Материал телаподчиняется модели Кельвина-Фойгта [39, 63], т.е. D[u ]  bE[u ].Для дальнейшего преобразования системы воспользуемся наличием в неймалых параметров k  bv и    / v, где   коэффициент вязкого трения вматериале, b  0  постоянная, v  наинизшая собственная частота упругихколебаний тела, отражающих факты медленной диссипации энергии в системе ималостиугловой скорости по сравнению с наинизшей частотой свободныхупругих колебаний в системе. Это позволяет считать свободные упругиеколебания в системе затухшими и учитывать только вынужденные деформации,то есть перейти к квазистатике в уравнении деформаций (3.2).

При этом мы , u , и считаем ε  0 . Тогда уравнениеотбрасываем инерционные члены с R(3.2) приобретет упрощенный вид:66 [ω  (ω  (r + u ))  2ω ×u ] u dx  ( E [u ],  u )  ( D[u ],  u )  ( U ,  u )  0.(3.4)Поскольку справедливы оценкиu  r; r  R,то мы предполагаем, что можно ввести малый параметр ε, такой чтоuru, r ,  2 ,   1.RRТогда запишем градиент гравитационного потенциала в виде рядаdx U [R*]  RU*   (R  r  u)2 1/2[(R  r  u) ][R  r  u](1 r 2  u 2  2Rr  2Ru  2ru )3/2  dx R3R2 R2 R2R2R2[R  r  u](1 3  r 2  u 2  2Rr  2Ru  2ru   ...)  dx,2  R 2 R 2 R 2R3R2R 2 Оставим в этом ряде только члены не выше первого порядка по ε, то есть0U [R*]   mR2RR 0 (R 0r) dx.R3r dx3R3Подставим теперь это выражение в уравнение (3.4), приняв  u  Wi .

Получим67[ω  (ω r) +ω  (ω   p W ))  2ω×  p W ]W  dx mmmmi(3.5)(E[u], Wi )  (D[u ], Wi )  (U , Wi )  0.Преобразуем уравнение (3.5), используя соотношения ортонормированностисобственных форм22 WiWjdx   wiw jdx  0,  Wi dx   wi dx 1,а также равенства1 ( E , W )  v 2 p ,ii i1 ( D, W )   bv 2 p ,ii iWi  eWi ,r  ( x, y, z),где vi  частота собственных колебаний, соответствующая форме Wi .Первое слагаемое в (3.5) запишется в виде ω  (ω  r)eWi dx   ω(ωr)  rω eWi dx 2   (ωe )(ωr )  (re )ω 2 Wi dx  (ωe)  (ω x x  ω y y  ω z z )Wi dx   2  zWi dx  (ωe)2  zWi dx   2  zWi dx bi ((ωe) 2   2 ),68bi   zWidx.Второе вычисляется следущим образом: ω  (ω  ( pт Wт ))Widx   ω(ω  e)  eω22peWdx ii (ωe)2  ω2  pi .Преобразуем третье слагаемое 2ω×  p m Wm ]Wi  dx  (2ω×e)ep m Wi  dx  0 .2Наконец, рассмотрим последнее слагаемое(U , Wi )  R 0Wi (R 0r ) dx.3RrWi  dx3R3ИмеемrWi  dx  R3  R3  (re)Wi  dx  R3  Wi z  dx  R3 bi ,илиR 0Wi (R 0r) dx 3 03   3 (R e)  ( Rx0 x  Ry0 y  Rz0 z)Wi  dx RR3  33 (R 0e) Rz0 zWi  dx   33 (R0e) Rz0 zWi  dx,RRR0  ( Rx0 , Ry0 , Rz0 ).ПосколькуRz0  (R0 , k)  (R0 , e),то69R 0 Wi (R 0r )  dx 3 0 23   3 ( R e) bi .3RRВ итоге, уравнение (3.5) перепишется в виде v 2  (ω,e)2  ω 2  p   bv 2 pi i i i bi ((ω,e)2  ω2 ) 023 bi (1  3(R e) )  0,Rили v 2  (ω,e)2  ω 2  p   bv 2 pi i i i bi (ω 2  (ω,e)2 ) bi 3 (1  3(R 0 ,e)2 )  Fi.R(3.6)Здесь для краткости введено обозначение правой части уравнения (3.6) какFi :Fi  bi (ω2  (ω,e)2 )   R 3 (1  3(R 0 ,e)2 )  bi F .Обозначая v 2  (ω,e)2  ω 2   v 2 ,i iЗапишем (3.6) кратко в видеv i2 pi   bvi2 p i  Fi ,(3.7)Решение уравнения (3.6) можно представить в виде [18]: n pi 0pi   (   b)n ,tn 0nгде pi 0  является решением уравнения(3.7) при   0:70(3.8)pi 0  i2 Fi .Оставляя в ряде (3.8) только первые два слагаемых, найдемpi  vi2bi (F   bF ).(3.9)Приближенное решение уравнения, определяющего деформации, позволяетполучить уравнения, описывающие эволюцию поступательно-вращательногодвижения спутника.Подставимрешениеуравнениядеформацийвуравнение(3.1),представляющее собой теорему о движении центра масс системы, а вразложении градиента гравитационного потенциала учтем вектор перемещений.Для этого получим разложение градиента гравитационного потенциала болеевысокого порядка, чем ранее, а именно, с точностью до 6,что позволитсохранить в разложении члены, содержащие вектор перемещений в первойстепени.

Будем иметь 22U [R*]   [R  3r  u](1 3  r 2  u 2  2Rr 2Ru 2ru222 2 RRRRRR2 3   5   222 2 r  ...)  dx  u 2  2Rr 2Ru 2ru2222!  R RRRR 2 3  mR 2 R 0   R 4  R 0 r 2  2R 0 (ru )  dx 2 15  R 5  R 0 (R 0r)2  2R 0 (R 0r )(R 0u)  dx 23 R 4  r(R 0r)  r(R 0u)  u(R 0r )  dx.Вычислим слагаемые в (3.3):71(3.10) 3  R4  R0 r 2  dx   3  R0 R4 ( A  B  C ),243 R4  R0 (ru)  dx  3 R0 R4  bi pi ,15  R4 R0 R0r 2  dx 15  R4R0  A  B  C  e R0 2 A x   222,15 R 4 R 0R 0r22e yR 0 B  eR0 C,R 0u dx 15 R 4R 0  R 0e 2 bi pi ,(3.11)3 R 4304  0 r  R r   dx   2  R  R e   B  C  A e x x(R 0e y )  A  C  B   R 0e  A  B  C  e  ,3 R40u  dx   3 R4 b p  R0e  e,rR i i 3 R 4040 u  R r   dx   3 R e  R e   bi pi ,где A, B, C – осевые моменты инерции недеформированного спутника, причемпредполагается, что A>B>C , e x , e y , e  единичные орты осей.С учетом (3.11) уравнение (3.10) движения центра масс преобразуется квиду:72   MR 2R 0  3 R 4[b ( F   bF ){R 0[1  5(R 0 , e)2 ] MR02(R 0, e)e}  R 0 ( A  B  C )  1 ( B  C  A)(R 0, ex )ex 2 1 ( A  C  B)(R0 , e y )e y  1 ( A  B  C )(R 0, e)e 22 5 R0[ A(R0 , ex )2  B(R 0 , e y )2  C (R 0 , ex )2 ]]  0,2(3.12)В уравнении (3.12) введено обозначениеb0   i vi2bi2  0.Преобразуем уравнение (3.3) способом, аналогичным проведенному вышедля уравнения (3.1).В начале найдем, что((r  u) U )  3 3  [r  R 0 ](R 0 , r  u)  [u  R 0 ](R 0 , r) R R 1[(r  R 0 )(r, u)  5(r  R 0 )(R 0 , r )(R 0, u)  1 [(r  u)  R0 ] r 2  5(R 0 , r)   dx.2Отбрасывая инерционные члены и члены выше первого порядкаотносительно u получим из (3.3)L   r  (ε  u)  ω  (ω  u)  dx   u  (ε  r)  ω  (ω  r )  dx 003  (r  R )(3 R ,r)  dx  3  (u  r)  dx RR3 3  (u  R 0 )(R 0 , r)  dx  0.R73(3.13)В формуле (3.13) через L обозначен кинетический момент относительно центрамасс спутника.

Вычислим интегралij k00000 (r  R )(R ,r)  dx   x0 y0 z0 Rx x  Ry y  Rz z  dx Rx Ry Rz yR0  zR 0 zy  zRx0  xRz0 ( Rx0 x  Ry0 y  Rz0 z)  dx 00 xRy  yRx  y  Rz0 Rx0  zR y0 Rx0  Rz0 R 0y y 2  ( R 0y )2 zy  yz ( Rz0 )2  z 2 R 0y Rz0 02200000020002  z  ( Rx )  x Rz Rx  zyRx R y  xyRz R y  z Rx Rz  xz ( Rz )  dx  x 2 Rx0 R y0  xy ( Rx0 )2  xy ( R 0y )2  y 2 Rx0 R 0y  xzR 0y Rz0  yzRx0 R 0y  Rz0 R 0y ( y 2  z 2 ) 0 0 22  Rz Rx ( z  x )  dx. Rx0 R 0y ( x 2  y 2 ) (3.14)Поскольку справедливы формулы0ij k   Ry e  R 0  0 0 1   Rx0  ,Rx0 Ry0 Rz0  0 A   ( y 2  z 2 ) dx,B   ( z 2  x 2 )  dx,С   ( x 2  y 2 )  dx,74то можно получить соотношение2 x 2 ) dx  A  C , ( x2 y 2 )  dx  B  A, ( y2 z 2 )  dx  C  B, ( zиз которых следует, что формулу (3.14) можно переписать в виде (r  R0)(R 0 ,r )  dx  (e, R 0 )(e  R 0 )( A  C )  ( B  A)(e y  R 0 )(e y , R 0 ),или в более симметричной форме0000 (r  R )(R ,r)  dx  C (e, R )(e  R )  B(ey R 0 )(e y , R 0 )  A(e x  R0 )(e x , R0 ).Отсюда3 (r  R 0 )( R 0 , r) dx  3 R 3  C (e, R 0 )(e  R 0 ) 3R(3.15) B (e y  R 0 )(e y , R 0 )  A(e x  R 0 )(e x , R 0 )  .Далее (u  R0)(R 0 , r ) dx   ( Rx0 x  R 0y y  Rz0 z )  p W  R  dx 0ii  ( Rx0 x  R y0 y  Rz0 z ) pi Wi (e  R 0 )  dx   (e  R 0 )(R 0e ) pi  zWi  dx   bi pi (e  R 0 )(R 0e ),75тогда3(u  R0 )(R0 ,r)  dx  3 R3  (R 0  u)(R 0, r)  dx 3R 3 R3 (R0 , e)(R0  e)bi pi .Распишем следующее выражениеij k (u  r) dx   bi pi (e,r) dx   pi  Wi x0 y0 z0  dx Rx Ry Rzypi  x Wi  dx  0, 0 следовательно(u  r) dx  0.R3 Вычислим еще одно слагаемое r  (ω  (ω  u))  dx   r  (ω(ω, u)  u(ω2 ))  dx  (r  ω)(ω, u) dx i j k y z  z y   x y z (ω,е) pi Wi  dx   (ω,е) pi   zx  x y   Wi  dx  x  y z  x  y yx  z y(ω, е) pi  zx Wi  dx   0 76  y (ω,е) pi  x Wi z  dx  0   y(ω,е) pi  x  Wi z  dx (ω,е)(е  ω) 0 bi pi .Используя вышеприведенные формулы, получим развернутое выражение длякинетического момента:L  6 R3b0 (F   bF )(e, R0 )[e  R0 ]  3 R3[ A(e, R0 )[e  R 0]  B(ey , R0 )[ey  R 0 ]  C (e, R0 )[e  R0 ]] (3.16) 9  R 4[e  R0 ]0 (F   bF ){1 5(R0 ,e0 )}  0.2где введены обозначения0   i ivi2bi , i  ai33  ai11, ai33   z 2wi  dx,ai11  ai22   y 2wi  dx   x2wi  dx.Далее, найдемF  ω2  (ω, e)2  3 (1  3(R 0 , e)2 ) R 2ωω  2(ω, e) (ω , e)  (ω, e )   34 R (1  3(R 0 , e) 2 ) R6( R 0 , e ) R 0e  R 0e  .3RЗаметим, что в линейном приближении для кинетического момента Lсправедливо77  J [u]ω  J[u]ω  ω J[u]ω,Lгде тензор инерции представляется в видеJ [u]  J 0  J1[u]  diag ( A  J11, B  J 22 ,C ),J1[u]  J  J ij , J ij  0,i  j, J 33  0.Найдем2J11   ( у  ( z  uz ))  dx  A   (2 zuz  uz2 ) dx  2  z wi pi  dx  b0 ( F   bF ).iАналогично2J 22   ( x  ( z  uz ))  dx  B   (2 zuz  uz2 ) dx  2  z wi pi  dx  b0( F   bF )  J11.iЕсли будет u  0, то есть деформации отсутствуют, то невозмущённое уравнениедля кинетического момента примет вид:  3 R 3  C (e, R 0 )(e  R 0 )  B(e y  R 0 )(e y , R 0 )  A(e x  R 0 )(e x , R 0 )   0 ,Lпри этом78L   r  (ω  r)  dx,откуда следует, что.L  J 0ω получимТогда для ω  J 01 3 R3  A(e x , R 0 )(e x  R 0 )  B(e y , R 0 )(e y  R 0 )  C(e, R 0 )(e  R 0 )  .ωИспользуя соотношениеe  ω  eнайдемFi  bi (6  R 3 (1  A1C ))ω(e  R 0 )(e, R 0 )  0 , e)  ( R 0 , e )].3 R 4 R (1  3(R 0 , e) 2 )  6  R 3 ( R 0 , e)[( RУравнение для F будетFF  i  6 R 3 (1  A1C )ω(R 0 , e)(e  R 0 )  3 R 4 R (1  3( R 0 , e )2 ) bi 0 , e)(R 0 , e )].6 R 3 (R 0 , e)[(R3.3.