Диссертация (Анализ динамики космического аппарата с упругими колеблющимися массами), страница 9

Устойчивость стационарных движений деформируемого спутника  0.Заметим, что система допускает стационарные движения, когда ω0 0 . ТогдаПервое положение равновесия соответствует случаю, когда e  R , e  R 0  ω  R0 , а поэтому (R0 , R 0 )  0, что означает, что R 0  R0 во все времяR79движения. При этом центр масс движется по круговой орбите радиуса R сугловой скоростью ω  ω0  const. Из соотношения  (R,е)  (R , е)  (R,е )  0,Rследует, чтоF  0, F   2  2 R3 ,то есть деформированная центробежными и гравитационными силами системаравномерновращаетсяспостояннойугловойскоростьювокругоси,перпендикулярной оси симметрии (рис.6).000Второй случай, когда (е, R )  0.

В этом случае е  R , е  е и ω  е и Rлежит в плоскости, образованной е и ω и параллельно е. Не ограничивая  0, следуетобщности, положим, R 0  kе. Отсюда, при условии ω 0  ke  k[ω×e]  k[ω×e + ω×e]  [ω×R 0 ],Rи, следовательно, орбита центра масс – круговая, а F  0 (рис. 7).Таким образом, существует такое стационарное движение, при котором  0  const, , а ось симметрии принадлежит плоскости орбиты иперпендикулярна R .В этом случаеF   2   R 3  0 и деформацииотсутствуют, т.к.

центробежная и гравитационная силы уравновешивают другдруга.80Рис.6. Первое положение равновесия.81Y1φ0 φRφ0Рис.9. Углы в первом положении равновесия.84X10Существует и третье положение равновесия, когда e  ω и e  R . Вэтом случае деформации также стационарны и F  0 , они определяютсягравитацией. Но в этом случае (L, e)  H  0 и орбитальная угловая скоростьне обязательно равна угловой скорости собственного вращения (рис. 8).Второе и третье положения равновесия – неустойчивы.

Действительно,если сделать малое отклонение от равновесия в плоскости орбиты во второмслучае, то, очевидно, возникает гравитационный момент, стремящийся ещедальшеувести систему из равновесия, это – неустойчивость. То же рассуждениесправедливо и для третьего случая.Первое положение равновесия – устойчиво. Введем инерциальную системукоординат Cx1 y1z1 (рис. 9). Тогда   0   , где  – малое отклонение отравновесия.ИмеемLz1  ( A  J11)  ( A  J11 )илиLz1  ( B  J11)  ( B  J11).Мырассмотримпервыйслучай,второйполностьюСправедливо(e,R 0 )  cos  ,(e  R 0 )  k 1 sin  .Уравнение в вариациях, следующее из (3.16), примет вид:85аналогичен.(( A  J11)(0  ))  6 R3{b0 ( F   bF )  1 ( B  C )} 2(3.17)18 R 40 ( F   bF )  0.Учитывая, что орбита круговая, медленно эволюционирующая, то естьR  0, F  02  2 R3 из (3.17) выведемJ11(0 )  ( A J11) k  0k  1 ( B  C ) 18 2 R 6b0  54R 70.2гдеДалее, определимJ11  2b0 ( F   bF ),J11  12  b R3 ( B  C ) A1b00,Тогда, после некоторых преобразований, (3.17) примет видA bD   k  0,(3.18)гдеA  A  J11  0,D  12 R 3 ( B  C ) A1b002  0.Заметим, что если деформации достаточно малы, и k  0, то (3.17) –уравнение затухающих колебаний, следовательно, равновесие – устойчиво.

Всогласии с [32] в работе подтверждается «обобщенное правило большой оси», всоответствии с которым при наличии деформируемых элементов (стержневых86антенн, панелей солнечных батарей), удовлетворяющих определенным условиямна свойства деформируемости конструкций, вращение вокруг оси с наибольшиммоментом инерции остается устойчивым, как у твердого спутника.87Глава4.ДОЛГОСРОЧНАЯМОДЕЛЬПАРАМЕТРОВВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ ПВЗ В ЗАДАЧЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЯСПУТНИКОВОЙ НАВИГАЦИИМеждународной службы вращения Земли (МСВЗ) и надёжный прогнозкоординат земного полюса весьма важны для решения задач навигации и приисследованияхрядаастрометрических,геодинамическихигеофизическихпроблем [1-4, 7, 11, 55, 59, 78, 79].Параметры вращения Земли (ПВЗ) – координаты полюса x p (t ) , y p (t ) ,разность всемирного и координированного времени UT1(t )  UTC и вариацияпродолжительности суток l.o.d. – входят в матрицу преобразования отгеоцентрическойпреобразованияэкваториальнойявляютсясистемысоставнойотсчётачастьювземную.алгоритмовТакиефильтрациитраекторной информации и определения навигационных параметров, а такжепараметров движения искусственных спутников Земли (ИСЗ) [76].ПредставиммодельвычисленияпараметроввращенияЗемлинадлительных интервалах времени, использованную в обработке высокоточныхизмерений топоцентрических дальностей до ИСЗ «Эталон-1» и «Эталон-2».Рассматриваемые космические аппараты выведены на орбиту в 1989 г.Большие полуоси, эксцентриситеты и углы наклонения орбит обоих объектовприблизительно равны соответствующим параметрам спутников группировкиГЛОНАСС.

Процедура фильтрации высокоточных наблюдений спутника«Эталон» позволяет отлаживать алгоритмы обработки получаемой на основе88спутниковойнавигационнойсистемытраекторнойинформациииконтролировать её точность.4.1. Динамические модели колебаний земного полюса и неравномерностиосевого вращения ЗемлиС помощью методов небесной механики интегрированием кинематическихуравнений Эйлера и динамических уравнений Эйлера-Лиувилля удаетсяпостроитьприближеннуюмалопараметрическуюмодельвращательно-колебательных движений Земли, обусловленных воздействием гравитационноприливных сил от Солнца и Луны [1-5, 53].

Она содержит небольшое числонеизвестных параметров, подверженных малым вариациям вследствие влияниявозмущающих факторов. Оптимальные значения этих параметров находятсяметодом наименьших квадратов (МНК) [1-3,29] на основе статистическойобработки астрометрических результатов высокоточных измерений угловыхпараметров движения Земли [78]. Учет и детализация влияния факторовгеофизическоготипа(атмосферных,океанических,сейсмических,тектонических, сезонных и ряда других) на данном этапе исследований непредставляется целесообразным и оправданным вследствие недостаточнойполнотыгеофизическихизмеренийитрудностиихинтерпретации.Рассматриваемая модель с удовлетворительной точностью описывает колебаниякоординат земного полюса и вращательное движение Земли [1-5].Выражения модели координат полюса Земли принимаются согласно [5] ввиде:89xp    cx0  c1x  axc cos2 N  axs sin2 N  Ndxc cos2  dxs sin2 ,y p    c0y  c1y  acy cos2 N  ays sin2 N  Nd yc cos2  d ys sin2 ,где, c 0,1, axc,, sy , dx,y[29]поc,sx,y(4.1)–величины, подлежащие вычислению [5] с помощью МНКрезультатамизмеренийМСВЗ[78].Приопределенииэтихкоэффициентов следует иметь в виду равенства a xc, s  a sy, c , d xc , s  d ys , c ,отражающие структурным свойством модели.

Процессы x p , y p оказываютсясвязанными, что следует учитывать при статистической обработке измерений.Для записи выражений параметров вращательного движения Земли(вариаций длительности суток l.o.d. и поправки UT1-UTC ) рассматриваетсялинейная система дифференциальных уравненийDd [(C *   C )l.o.d (t )]  0 ( M rS  M rL );dtr0d (UT1  TAI )(t )  D01l.o.d.(t ),dt(4.2)D0  86400c; r0  7,292115 105 рад / с,где M rS , L – компоненты гравитационно-приливных возмущающих моментовсил, вызванных воздействием Солнца и Луны, соответственно [1-5].Проинтегрировав выражение (4.2), придём к окончательному виду моделивариаций вращения Земли.90Nl.o.d ( )  [ ai cos 2 vi  bi sin 2 vi ]  c;i 1N(4.3)[UT 1  TAI ]( )  [ Ai cos 2 vi  Bi sin 2 vi ]  C0  C1,i 1где величины ai , bi , Ai , Bi , C0,1, c  неизвестные амплитуды соответствующихколебаний, подлежащие определению на основе данных наблюдений;  i частоты лунно-солнечного возмущения (  1  1 ,  2  2 ,  3  13.25 ,  4  26.68 ит.д.);   время, измеряемое сутками.При прогнозировании на короткие интервалы времени (от одних до десятисуток) коэффициенты модели считаются медленными функциями времени ирассматриваются как квазипостоянные, для которых требуется регулярнаякорректировка на интервале интерполяции.

Применяемая настройка моделипозволяетобойтисьбезучетадополнительныхдолгопериодическихвозмущающих факторов.Численные расчёты проводились на основе использования базового набораопорных функций модели (4.3) с основными частотами лунно-солнечныхвозмущений (N=4), наблюдаемых МСВЗ [1-5,78]. Следует отметить, что наличиедополнительных слагаемых модели может привести к уменьшению точностикраткосрочногопрогнозавследствиевозросшегочисланеизвестныхкоэффициентов и наличия опорных функций с близкими частотсми, ввиду чегопотребуется увеличение длины интервала интерполяции.На рис.

10 представлена четырехлетняя интерполяция (на интервале с 2011по 2016 год) и прогноз на год колебаний координат полюса Земли x p , y p в91сравнении с данными реализовавшейся ее траектории на период 01.01.2016 –31.12.2016.На рис. 11 в сравнении с данными измерений МСВЗ представленатеоретическая кривые интерполяции (01.01.2013 – 31.12.2015) и прогноза(01.01.2016 – 30.04.2016) вариаций длительности суток l.o.d .(t ) . Красная изелёная сплошные линии – теоретическая модель на интервале интерполяции ипрогноза соответственно, а точки – данные наблюдений МСВЗ.Из теории фильтрации случайных временных последовательностей [29]известно, что оптимальная оценка измеряемых случайных процессов естьрезультаткомпромиссамеждудинамической(точностьмодели)истохастической (точность измерений) ошибками. Длительность интервалаинтерполяции, т.е.

число обрабатываемых измерений, выбирается исходя изусловия минимума суммарной ошибки при заданном наборе небольшого числаопорных функций.При моделировании вращения Земли во внутригодовых интервалахвремени согласно выражениям (4.3) (учитываются основные гармоники лунносолнечного гравитационно-приливного возмущения) можно воспользоватьсяодной из двух упрощённых процедур оценивания неизвестных коэффициентов:установление параметров модели l.o.d. на основе данных наблюдений МСВЗ спомощью МНК [29] и дальнейшее вычисление теоретической поправкиUT1  UTC или независимое применение МНК к выражениям (4.1), (4.3) дляоценивания неизвестных коэффициентов исходя из данных наблюдений иизмерений МСВЗ.92Рис. 10. Результаты моделирования колебаний координаты x p полюса Земли.Сплошная линия – четырехлетняя интерполяция (01.01.2012-31.12.2015) и прогноз на2016 год колебаний координаты полюса Земли x p ; точки – данные наблюдений иизмерений МСВЗ.93Рис.