Диссертация (Анализ динамики космического аппарата с упругими колеблющимися массами), страница 4

Пустьk  1, 2,...; l  k . Тогда для l  k 1 отличными от нуля будут выражения:Alk13  Dlk13  Clk 23   Blk 23  2Alk 31  Dlk 31  Clk 32   Blk 32  2Далее, для l  k  2 отличными от нуля будут22** Wk (Ul Vl )dx ,2(1.12)** Wl (Uk Vk )dx .2Alk 22   Alk11  Blk12  Blk 21  4Dlk11   Dlk 22  Clk12  Clk 21  4** (Ul Vl )(Vk U k )dx ,2(1.13)** (U l Vl )(Vk Uk )dx  Alk 22.2При l  k  2Alkij  Blkij  Dlkij  Clkij  0, k  0,1,2,...Случай k  0 общей формулой не описывается, поэтому приведем значениякоэффициентов отдельно:при l  1 A1031  B1032  *V0W1dx ,2*C1023  D1013  *W0 (U1 V1)dx ,(1.14)2*C1032  D1031  *U 0W1dx ,2*при l  2A2022   A2011  B2012  B2021    V0 (U 2  V2 )dx*,22*C2012  C2021  D2011   D2022    U 0 (U 2 V2 )dx*,2(1.15)2*Выписанных формул (1.15) – (1.18) достаточно для учета влияния всехсобственных форм с различными l и k друг на друга, так как имеют местоследующие соотношения:23Alkij  Aklji , Dlkij  Dklji , Blkij  Cklji ,(1.16)Clkij  Blkji (k , l  0,1,2,...).Динамикасобственныхформколебанийсистемыприналичиивращательных и центробежных сил инерции описывается бесконечномернойсистемой обыкновенных дифференциальных уравнений [20-21].

Подставляявыражения (1.4) – (1.15) в (1.3) и используя соотношения (1.16), посленекоторых дополнительных преобразований выпишем эту систему уравнений:q0   bv02q0  v02q0  B0 (23 p 0  3 p0 )  A1031[2(1 p1  2q1)1 p1  2 q1  3 (1q1  2 p1)]  (12  22  232 ) A01q0  A2[(12  22 )q2  212 p2 ]  2b0123 ,(1 a3 ) p0   bv02 p 0  v02 p0  B0 (23q0  3q0 )  a5[2(2 p1  1q1)2 p1  1q1]  [(12  22  232 ) D0011  (12  22 )( D0033  a3 )] p0 a83 (1 p1  2q1)  [(12  22 ) p2  212q2 ]D2  a4 (12  22 )  2c01132 ,(1 a1)q1   bv12q1  v12q1  A1031(22q0  2q0  13q0 ) a5 (21 p 0  1 p0 )  a6 (23 p1  3 p1)  A2[2(1 p 2  2q2 ) 1 p2  2q2 ]  a823 p0  a912 p1 [(22  32 ) A11  (12  32 )( A12  a1)  (12  22 ) A13 ]q1  A23 (1q2  2 p2 )  A3[(12  22 )q3  212 p3 ]  a1  a723 ,(1 a1) p1   bv12 p1  v12 p1  A1031(21q0  1q0  23q0 ) a5 (22 p 0   2 p0 )  a6 (23q1  3q1)  A2[2(2 p 2  1q2 ) 2 p2  1q2 ]  a813 p0  a912q1  [(12  32 ) A11 (22  32 )( A12  a1)  (12  22 ) A13 ] p1  A23 (1 p2  2 q2 )  A3[(12  22 ) p3  212q3 ]  a2  a713,24(1.17)qk   bvk2qk  vk2qk  Bk (23 p k  3 pk )  Ak1[2(1 p k 1  2qk 1) 1 pk 1  2qk 1  Ak[2(1 p k 1  2qk 1)  1 pk 1 2 qk 1]  Ak (12  22 )qk 2  2Dk12 pk 2  Ak3 (1qk 1  2 pk 1)  [(12  22  232 ) Ak1 (12  22 ) Ak 3 ]qk  Ak 13(1qk 1  2 pk 1) [(12  22 )qk 2  212 pk 2 ]Ak 2  f qk(k  2,3,...),pk   bvk2 p k  vk2 pk  Bk (23qk  3qk )  Ak1[2(2 p k 1  1qk 1)  2 pk 1  1qk 1]  Ak[2(1qk 1  2 p k 1)  1qk 1 2 pk 1]  Dk (12  22 ) pk 2  2 Ak12qk 2  Ak  3 (1 pk 1  2qk 1) [(12  22  232 ) Ak1  (12  22 ) Ak 3 ] pk  Ak13 (1 pk 1  2qk 1) [(12  22 ) pk 2  212 qk  2 ]Ak 2  f pk(k  2,3,...),гдеf q2  212b212 , f p2  (22  12 )b212 ,f qk  f pk  0  k  3,2a  b123  b132 , a1   2m1d12, a2   2m1 f 03d12 , a3   2m 1 f 032 ,a4  c011  c033 , a5  a2  C1023  C1032 , a6  a1  B1112  B1121,a7  b123  b132 , a8  a2  C1032  C1023 , a9  a1  B1112  B1121.ДалееBi  2 Bii12 , Aij  Aiijj (i  0,1,2,...; j  1,2,3).При k  2 введены обозначения:Ak1  Ak 1,k ,31  Ak 1,k ,13 ,Ak1  Ak 1,k ,31  Ak 1,k ,13,Ak  Ak ,k 2,11, Dk  Dk ,k 2,11, Ak 3  1 2 Ak1.Начиная с k  3 имеет место равенство Dk  Ak .25(1.18)Для описания движения деформированной системы как целого относительноцентра масс необходимо дополнить систему (1.17) динамическими уравнениямиЭйлера:J121  J 22 2  J 233  J121  J222  J233  ( J11  J 33 )13 J13 (32  12 )  J1223  J 2312  M 2  (e2 , dGu / dt ),(1.19)G u    [r,u ]dx.Остальные два уравнения могут быть получены циклической перестановкойиндексов: 1  2,2  3,3  1.

ЗдесьM  ( M 1 , M 2 , M 3 )  проекциимоментавнешних сил на связанные оси Cx1x2 x3 ; J ij  компоненты тензора инерциидеформированной системы в осях C xi , которые в линейном приближениизапишутся в виде:J11  A  J11, J 22  A  J22 , J33  C  J33 , J11  2  ( x2u2  x3u3 ) dx,J22  2  ( x1u1  x3u3 ) dx, J33  2  ( x1u1  x2u2 ) dx,Jij  J ji  2  ( xiuj  x jui) dx,(i  1,2; j  2,3; j  i),где A и C соответственно экваториальный и осевой моменты инерциинедеформированной системы.

Значения Jij выражаются через нормальныекоординаты следующим образом:J11  2 2 (a4 p0  b212 p2 ), J22  2 2 (a4 p0  b212 p2 ), J12  2 2b212q2 ,J33  4 2c011 p0 , J13   2a7 p1, J13   2 a7 q1.26(1.20)ДалееdG u / dt   2[ a (q1  3 p1 )  22q0b021, a( p1  3q1 ) 21q0b021, a (1 p1  2q1)  2q0b021].Если проекции M i заданы как функции времени t , то система уравнений (1.17),(1.19) с учетом (1.20) замкнута и описывает как динамику малых упругихколебаний, так и движение вокруг центра масс деформированной системы какцелого под действием приложенного момента.Отметим, что линеаризованная постановка с квадратичным функционаломупругой потенциальной энергии составляет основу теории упругости малыхдеформаций.

По виду правых частей уравнений (1.17) можно сделать вывод, чтомалость деформаций в задаче о движении системы упругое-твердое телоотносительно центра масс возможна, если переносные силы и инерции малы посравнению с упругими восстанавливающими силами, пропорциональнымичленам vi2qi и vi2 pi . В этом случае линейная теория позволяет в первомприближении вычислить деформации. Если, кроме того, частоты движениясистемы как целого и собственные частоты движения по внутренним степенямсвободы сильно разнесены, то для нахождения вынужденных упругих колебанийцелесообразно рассматривать квазистатические деформации [21]. В другихслучаях, для изучения движения в окрестности резонанса или при возмущенииначальных условий по qi и p i , следует пользоваться уравнениями вида (1.17),описывающими упругие колебания.271.3.

Задача о движении деформируемого спутника на участке разворотаВ качестве примера рассмотрим динамику системы упругое-твердое телона участке разворота при переориентации. Получим аналитические выражения,позволяющие оценить величину отклонения движения такой системы отпрограммного (для твердого спутника). При осуществлении оптимального побыстродействию разворота вокруг оси Cx2 значения M i на участке ускорениябудут:M1  M3  0, M 2  M (1  1 cos t ), M  0  const,0  1 1.(1.21)Будем предполагать, что малая осциллирующая добавка в выражении для M 2обусловлена, например, несовершенством работы исполнительных органов.Непосредственной проверкой можно убедиться, что если в начальный моментвремени t  0 принять1(0)  3 (0)  qk (0), k  0,1,2,...,(1.22)то эти нулевые значения переменных будут сохраняться во все время движения.Иными словами, система уравнений (1.17), (1.19) совместно с (1.21) и (1.22)имеет частное решение1  3  qk  0, k  0,1,2,...,(1.23)описывающее плоские вращения КА.Пустьt*и*  A1Mt* соответственнорасчетныезначенияпродолжительности участка ускорения и угловой скорости твердого спутника в28моментегоокончания.Введембезразмерноевремя  vt ,vнаинизшая собственная частота свободных упругих колебаний системы.

Послезамены переменных:i  i* , t  v1уравнение (1.19) примет вид1 )(1  J22 A1)  a 1 p1, 2  J22 2 J 22  *1(1  1 cos (1.24)где11 *  vt* ,    v 1, J 22 A1(1  J22 A1 ), a  aJ 222.С учетом (1.23) уравнения упругих колебаний будут:(1  a3 ) p0   02 p0   02 p0   a5 (2 2 p1   2 p1 )  2 22 ( D0011  D0033  a3 ) p0   2 22 D2 p2   2a4 22 ,(1  a1) p1  12 p1   12 p1   a5 (2 2 p0   2 p0 )  A2 (2 2 p2   2 p2 )   2 22 ( A12  A13  a1 ) p1   2 22 A3 p3   a 2 ,pk    k2 pk    k2 pk   Ak1 (2 2 pk 1   2 pk 1 )  Ak (2 2 pk 1   2 pk 1)   2 22 pk 2 Dk 2 22 ( Ak1  Ak 3 ) pk  2 22 pk 2 Ak 2  f pk ,f p2   2 22b212 , f pk  0  k  3,29(1.25)где  *v1,   bv,  i  viv1, i  0,1,2,... .

Здесьштрихомобозначенодифференцирование по безразмерной переменной   vt.Рассматривается случай малых деформаций, при котором отношение  1. Будем предполагать, что характерное время T1 затухания свободных1упругих колебаний на наинизшей частоте v (T1   ) существенно превосходитпериод T0 этих колебаний (T0  1), но намного меньше времени  * движениясистемы как целого вокруг центра масс - времени разворота. Это позволяетсчитать все переходные процессы по нормальным координатам закончившимисяи учитывать только вынужденные упругие колебания системы. Положим дляопределенности, что величина  порядка  . Заметим, что по физическому1смыслу задачи величина * порядка  , однако формально это обстоятельство входе решения задачи можно не учитывать.

Введенные выше соотношенияпредставляются в виде неравенств следующим образом:0     *1    1  1.(1.26)Решение системы уравнений (1.24) - (1.25) будем искать методом Пуанкаре,полагая, что в начальный момент времени спутник был неподвижен инедеформирован, т. е.2 (0)  pk (0)  0, k  0,1,2,...

.(1.27)Анализ уравнений (1.24) - (1.25) показывает, что с учетом (1.27) функции  2 иpk представимы в виде ряда по степеням малого параметра  следующимобразом:30 2   20   2 22  ..., p1   p11   2 p13  ...,2k2p0   p02  ..., p2   p22  ..., pk   pkk  ..., k  3,4,... .(1.28)Система уравнений для функций  20 и p11 будет )  a0 p11 , a0  aA1 2 , 20   *1 (1  1 cos (1  a1 ) p11   12 p11  12 p11  a 20.Её частное решение найдем в виде12   2 (1  a1)a ) p11  Ф cos(, cos  , *1212m 1 )  a0 Ф sin(   ), a1  a1  aa0 , 20   *1(  1 sin (1.29)1/22a1 222 2sin   , Ф, m 1  1  2 (1  a1)      .m 1 *m 1 12  1Уравнения для p02 и p22 аналогичны друг другу. Например, из (1.25) следуетуравнение для p02 :2(1  a3 ) p02   02 p02   02 p02  a5 (2 20 p11   20 p11)  a4 20.

(1.30)Для определения функции p22 требуется в решении, найденном для p02 , сделатьследующие замены: 0   2 , a5  A2 , a4  b212 , a3  0.Подставляя в (1.30) p11 и  20 согласно (1.29), получим31(1.31) (1  a3 ) p02   02 p02   02 p02  F1  F2 2  ( F3  F6 )cos   F7 cos2  F8 sin2 , Fi  const, (i  1,...,8).( F4  F5 )sin (1.32)В дальнейшем при определении закона движения деформированногоспутника как целого ограничимся учетом колебательных составляющих в p02 иp22 .

В конечную формулу войдут лишь выраженияF5  21 *2[Ф cos (a4a0  a5 )  a4  1],F  2  2Ф sin  (a  a a ), Ф    1Ф .81 *54 01 *Из уравнения (1.24) с учетом представления (1.28) получим 22  ( J22  20  J22 20 ) A1, J22  22 (a4 p02  b212 p22 ).(1.33)Структура частного решения уравнения (1.32), соответствующего вынужденнымупругим колебаниям, имеет вид  ( E3  E4 )cos   E5 cos2  E6 sin2 , (1.34)p02  (E1  E2 )sin где Ei  некоторые постоянные, зависящие от Fi .