Отзыв оппонента 1 (Синтез оптимальных стратегий в задачах последовательного хеджирования колл-опционов при наличии полосы нечувствительности)

отзыв официального оппонента на диссертацию Соболя Виталия Романовича «Синтез оптимальных стратегий в задачах последовательного хеджирования колл-опционов при наличии полосы нечувствительности», представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации ~авиационная и ракетно-космическая техника) В последние десятилетия приобрела популярность такая область знаний как финансовая,'актуарная математика.

С помощью методов, развиваемых в этом направлении науки, делаются попытки создания моделей рынков ценных бумаг и синтеза методов игры на бирже, которые бы приносили максимальный доход для игроков или минимизировали бы их потери. По-видимому, наиболее адекватными являются вероятностные модели рынка, пред- полагающие стохастическую природу изменения цен торгуемых активов, наличие случайных же внешних факторов, влияющнх на изменение динамики, а также использование рандомизированных стратегий поведеняя игроков.

Естественно, анализ таких моделей предполагает использование математического аппарата теории вероятностей и случайных процессов, а оптимизируемые величины имеют вид математического ожидания, рисков и т.д. Разумеется, в этой области применяются и другие модели, — детерминированные. В частности, интересными представляются подходы, развиваемые в работах Б. Бармиша, где применяются методы теории управления и робастного анали- за; впрочем., эти модели не имеют столь широкого распространения. В оппонируемой работе изучается как раз стохастическая постановка задач, в основном исследуются известные математические модели и стратегии поведения. Мате- матический анализ некоторых из них ранее не проводился, и соответствующие результаты вовсе отсутствуют в литературе. Кроме того, также предложены некоторые новые стратегпии и изучены их свойства. Прежде всего, ск»да относится исследование стратегии последовательного хеджи- рования при наличии "полосы нечувствительности' — диапазона текущих цен, внутри которого предлагается це предпринимать никаких действий по оптимизации портфеля.

Такая стратегия нацелена на уменьшение потерь хеджера в условиях частых колебаний цен. На примере американского са11-опциона в работе получены новые результаты по оценке вероятностных характеристик величины потерь (таких, как математическое ожидание. условное математическое ожидание, функция распределения, квантиль) и исследованы их свойста (непрерывность, дифференцируемость по аргументу — величине полосы нечувствительности). Существенным продвижением представляется фор- мулировка алгоритма нахождения оптимальной ширины полосы нечувствительности, — при которой средние потери хеджера минимальны Второй новой идеей, предложенной в работе, является введение предположения о том, что время ожидания исполнения операции купли-продажи положительно и неизвестно. На примере европейского са11-опциона в диссертации изучены свойства модели хеджирования при случайной длительности транзакций (в частности, предполагалось экспоненпиальное распределение времени).

Такое предположение весьма гармонично вписывается в рамки стохастических моделей рынка, и оно является совершенно новым. Исследована двухшаговая задача хеджирования в этих условиях, получено аналитичс- ское выражение для средних потерь хеджера на. втором шаге и численный алгоритм поиска оптимальной стратегии на первом шаге. Полученный результат о наличии не более двух минимумов у функции будущих потерь на втором шаге, а также интерпре- тация этого свойства мне кажутся очень интересными. Наконец, наглядным и всесторонне исследованным является содержательный при- мер управления аэростатом -- удержание его в заданной полосе высот в течение заданного времени посредством релсйных управлений.

Этот пример имеет замечательную аэро-механическую аналогию с основным объектом исследования в диссертации— стратегиями хеджирования опционов при наличии полосы нечувствительности, и при счете на модели он демонстрирует работоспособность предложенных алгоритмов. Работа написана очень хорошим четким, ясным языком; математические постановки задач и их финансовое происхождение весомо обоснованы; автором продемонстрировано глубокое понимание математического аппарата и возможностей его применения в данной предметной области; получены новые математические результаты, достовер- ность которых также обоснована; приведены результаты расчетов на некоторых модельных примерах. Работа не лишена недостатков. 1.

Не вполне обоснована адекватность моделей природе реальных рьшков. 2. Отсутствует счет по моделям на реальных данных и не проведено численное срав- пение с результатами, полученными по другим моделям, известным из литерату- ры. 3. Некоторые допущения, принятые в модели аэростата этакие как предположение о случайности внешних возмущений и их типе, а также о точном знании значений параметров как случайного процесса, так и самой модели) представляются не вполне реалистичными.

4, В работе присутствуют немногочисленные неизбежные опечатки. Первое замечание скорее относится не к диссертанту, а к сообществу финансовых математиков, в котором приняты такие модели, Второй недостаток, по-видимому объясняется труднодоступностью реальных данных. Таким образом, сделанные замечания не снижают общего положительного впечатления о работе, Диссертация представляет собой законченное научно-квалификационное исследование, выполненное на высоком математическом уровне.

Основные результаты диссертационной работы представляются новыми и строго обоснованными; они полно опубликованы в научных журналах, в том числе входящих в перечень ВАК. Содержанке автореферата соответствует содержанию диссертации. Диссертация удовлетворяет всем требованием ВАК, предъявляемым к диссертациям на соискание ученой степени кандидата наук, а ее автор, Соболь В. Р., заслуживает присуждения ему ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации 1авиационная и ракетно-космическая техника) ь Официальный оппонент: гчавный научный сотрудник Института проблем управления им. В.А.

Трапезникова РАН, доктор физико-математических наук Щербаков Павел Сергеевич 117997,Москва ул. Профсоюзная, д. 65. Тел. +7 495 334-89-10, эл. почта: самопг118йтпа)1.гп Подпись Щербакова Павла Зам. директора ИПУ РАН И.Н, Варабанов .